Решение задач на построение сечентй тетраэдра и параллелепипеда
методическая разработка на тему

Слайд 1

Автор: Тарасенко Валентина Петровна преподаватель математики ГБОУ НПО РО ПУ № 

Слайд 2

Пояснения. На слайде № 6 имеются кнопки с гиперссылкой, позволяющие совершать переход на слайды №7, № 15, № 22. 2. На слайдах №14, № 21, № 28 имеются кнопки с гиперссылкой, позволяющие совершать переход на слайд №6. 3. Анимация объектов происходит либо по щелчку, либо «после предыдущего», «с предыдущим».

Слайд 3

Согласно требованиям федерального компонента государственного стандарта среднего общего образования в результате освоения дисциплины « Математика» обучающийся должен: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды. Вступление

Слайд 4

Задачи на построение простейших сечений тетраэдра и параллелепипеда способствуют более глубокому осмыслению раннее изученных вопросов о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве и играют важную роль в развитии пространственных представлений, умений чтения чертежа и алгоритмической культуры. Программа учебной дисциплины « М атематика » ориентирована на достижение нескольких целей. Вот одна из них: развитие логического мышления, пространственного воображения и алгоритмической культуры.

Слайд 5

В процессе решения задач нужно обратить внимание обучающихся на общий алгоритм: нахождения точек пересечения прямой, лежащей в плоскости, задаваемой гранью многогранника, с плоскостями, проходящими через остальные его грани; отыскания линии пересечения секущей плоскости с плоскостью, проходящей через грань многогранника; построения сечений тетраэдра и параллелепипеда. Обучение решению задач данной тематики целесообразно начинать с проведения анализа задачи (путем фронтальной беседы преподавателя с обучающимися) , позволяющего найти план построения. Основная часть

Слайд 6

Предлагаю вашему вниманию следующие задачи на построение: 1. точек пересечения прямой с плоскостью; 2 . сечения плоскостью, проходящей через точку, принадлежащей ребру многогранника, параллельно какой –либо грани;

Слайд 7

S B A C L K E C B H D A K А 1 C 1 D 1 B 1 А 1 C 1 B 1 B 1 B C D А L

Слайд 8

Задание. Построить точку пересечения прямой КЕ с плоскостью DCB . Анализ. Прямая КЕ лежит в плоскости  А D С и не параллельна DC , значит она может пересекать сторону DC т. е. КЕ  DC в некоторой точке F . 2. Прямая DC лежит так же в плоскости  DCB , значит точка F  DCB . 3. Точка F – точка пересечения прямой КЕ с плоскостью DCB . B D A K C E

Слайд 9

B D A K C E F Построение: 1. КЕ  DC = F . F = КЕ  DCB .

Слайд 10

На поверхности тетраэдра найти плоскость (грань), которой принадлежит данная прямая КЕ . Найти грани тетраэдра, с которыми будет пересекаться данная прямая КЕ . Найти общую прямую, принадлежащую как грани, в которой лежит данная прямая КЕ , так и грани, с которой данная прямая будет пересекаться. 4. Найти точку пересечения общей прямой и заданной прямой КЕ .

Слайд 11

с S B A C L K E Назовите плоскость, с которой пересекается прямая KL .

Слайд 12

1. На поверхности параллелепипеда найти плоскость, которой принадлежит прямая H К. 2. Найти плоскости, задаваемые гранями параллелепипеда, с которыми пересекается данная прямая H К. 3. Найти прямые ( k , m ), принадлежащие как плоскости, в которой лежит прямая H К, так и плоскости, с которыми H К будет пересекаться 4. Найти точку пересечения прямых k , m и прямой H К. А 1 C B H D A K C 1 D 1 B 1 m k

Слайд 13

B F S D A C А 1 D 1 C 1 B 1 C B H D A K А 1 C 1 D 1 B 1 Назовите плоскости , с которыми пересекаются прямые KH , FS .

Слайд 14

D C B 1 C 1 А D 1 А 1 B F S А 1 C 1 B 1 B 1 B C D А L F Назовите плоскости , с которыми пересекаются прямые FS , FL .

Слайд 15

D B L F N C A A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 F N L M Под сечением тетраэдра (параллелепипеда) понимается секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) , по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Слайд 16

Построении сечений такого вида опирается на свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. С В А N M D K Анализ. Так как секущая плоскость параллельна основанию АВС, то боковые грани пирамиды пересекаются с секущей плоскостью по прямым, параллельным сторонам основания. Задача1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку N параллельно грани АВС. 1. NK  AC, KM  CB, NM  AB. 2.  NM К   АВС. Построение.

Слайд 17

D B L F N C A S B A C L K E

Слайд 18

Задача2. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку N параллельно грани АВС D . Анализ. Так как секущая плоскость , проходящая через точку N , параллельна грани АВС D , то боковые грани параллелепипеда пересекаются с секущей плоскостью по прямым, которые параллельны сторонам параллелограмма АВС D . A B D С Построение. 1. NL  DC, KM  AB, NM  AD, LK  С B. 2. NM К L   АВС D . K M N L A 1 B 1 D 1 C 1

Слайд 19

Алгоритм 1. На рисунке находим грань многогранника, параллельно которой нужно построить плоскость сечения. 2. На рисунке находим плоскости, в которых лежит данная точка N (А DD 1 и С DD 1 ). 3. Через точку N проводим прямые параллельные прямым А D и С D ( NM  AD , NL  DC ), которые соответственно пересекают ребра АА 1 и СС 1 в точках M и L . 4. Через точки M и L проводим прямые параллельные ребрам AB и С B . 5. NM К L   АВС D .

Слайд 20

A B C D B C A D D 1 C 1 B 1 A 1 A 1 D 1 C 1 B 1 K K M M L L N N

Слайд 22

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники. D B L F N C A H Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники. D 1 L F C 1 A B C D A 1

Слайд 23

B D A K C E F R H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 K M P Х У H V S

Слайд 24

Дано: тетраэдр  CD , K є А D , F є CD , E є BC . Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , F , E . B D A K C E F Анализ. Секущая плоскость имеет общие точки с гранями тетраэдра ABC , ABD , BCD , AD С, следовательно в сечении получится четырехугольник. Две стороны четырехугольника есть отрезки KF и FE . Прямые KF и AC пересекутся в некоторой точке R , которая принадлежит сечению и плоскости ABC (по аксиоме2). Прямая RE пересечет ребро AB в некоторой точке, которая принадлежит и сечению и плоскости ABC (по аксиоме2). Итак мы имеем 4 точки принадлежащие и сечению и тетраэдру.

Слайд 25

B D A K C E F R H Построение. 1 . KF и FE ; 2.  F  AC = R ; 3. ER  A  = H ; 4. HK ; 5. HKFE – искомая фигура сечения.

Слайд 26

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб M є AA 1, K є DD 1 , P є DD 1 C 1 C Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M,K,P . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 K M P Анализ. Куб имеет шесть граней, следовательно, секущая плоскость может пересекать или три, или четыре, или пять , или шесть граней. K є DD 1 C 1 C и P є DD 1 C 1 C  прямая КР  DD 1 C 1 C и плоскости сечения, КР  DC в некоторой точке У. 3. K є ADD 1 A 1 и M є ADD 1 A 1  прямая М K  ADD 1 A 1 и плоскости сечения, М K  D А в некоторой точке Х. 4. Точки Х и У лежат в плоскости ABCD и в плоскости сечения  прямая ХУ  ABCD и плоскости сечения, и пересечет стороны квадрата в точках Н и V . Точки Н и V так же лежат в плоскости сечения. 5. Итак мы имеем пять общих точек у плоскости сечения и куба.

Слайд 27

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 K M P Х У H V S Построение. 1. KP  DC = У. 2. MK  AD = Х. 3. ХУ  AB = H , ХУ  BC = V . 4. MH и VS . 5. SVHMK – искомая фигура сечения.

Слайд 28

Алгоритм Находим точки M , K , P , задающие секущую плоскость. Из данных точек выбираем такие пары точек, каждая из которых принадлежала бы секущей плоскости и плоскости, проходящей через грань многоугольника. Через пары точек проводим прямые MK , KP и находим отрезки, которые принадлежат этим прямым и соответствующим граням данного многогранника. Находим линию ХУ пересечения секущей плоскости с плоскостью, проходящей через такую грань многогранника, которой не принадлежат данные точки M , K , P . Находим точки пересечения полученной прямой со сторонами этой грани.

Слайд 29

Литература 1. Л. С. Атанасян. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни .- 16 - е изд. – М. : Просвещение, 2007. 2. З.П. Мотова. «Решение задач на построение сечений многогранников». Методические рекомендации., 1990г. Ростовский областной институт усовершенствование учителей. 3. Г. Д. Глейзер. Геометрия: Учебное пособие для 10-12кл. веч. шк. и самообразования.- М.: Просвещение, 1989.