Учебно-методическое пособие для студентов первого курса средних профессиональных учебных заведений по теме "Решение показательных уравнений".
методическая разработка по теме

КГБОУ СПО «Комсомольский- на - Амуре авиационно-технический техникум»

Решение показательных уравнений.

Учебно-методическое

пособие для студентов первого курса

средних профессиональных учебных заведений

Комсомольск-на-Амуре, 2013

Учебно-методическое пособие для студентов первого  курса средних профессиональных учебных заведений. Решение показательных уравнений. /Сост. Синишина И.В.- Комсомольск – на – Амуре авиационно- технический  техникум, 2013 -   20с.

Рассмотрено и рекомендовано предметно-цикловой комиссией «Естественнонаучных дисциплин и математики».

Председатель ПЦК ________________________ / Ю.В. Стонога/

Рецензент    ______________________________ / _____________/

Предисловие

Данное методическое пособие охватывает материал по теме: «Решение показательных уравнений». При решении задач по предложенной теме студенту необходимо владеть комплексом умений, а также новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений. Такого объема заданий, который обычно предлагается в литературе недостаточно для формирования умения решать показательные  уравнения. Восполнить этот пробел поможет данное методическое пособие, в котором  рассматриваются основные методы решения показательных уравнений, примеры задач ЕГЭ,  варианты тестовой работы, а также предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений.

Цель работы направлена на обучение решения показательных уравнений стандартного вида, решения задач ЕГЭ.  Теория написана доступным языком даже для тех, кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны так, чтобы начать с самых простейших уравнений и закончить более сложными.

Предлагаемое пособие состоит из трёх блоков. В первом блоке рассмотрен краткий теоретический материал, способствующий более эффективному развитию навыков решения уравнений и неравенств. Во втором блоке рассмотрены решения типовых примеров. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы (тренажёр, тесты, индивидуальные задания).

Данные дидактические материалы создают условия для открытия новых знаний: методов решения показательных уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.

Теоретический материал и задания  данных дидактических материалов построены в соответствии с требованиями государственного стандарта,  на основе  материалов учебника и   дополнительных сведений из области дидактики.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.
2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.
3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
4. Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).

при  а > 1, функция возрастает                    при 0 < а <  1, функция убывает

Определение 1. Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

 К таким относятся, например, уравнения  ,  и другие.

Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:  a x= b.

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.

Способ 1.   Приведение обеих частей к общему основанию.

Примеры:

1. 9x = ;  

        32x = 3-3;

        x = - .

Ответ: х =- .

2. ;

     ;

 ;  x = 3

 Ответ: x = 3.

3.  ;    ;    х=     Ответ: х=

4.  ()x ∙ ()x = .     По свойству степени: (x = ;

                                                                           (x = ()3 ; х= 3.

                                                                           Ответ: х= 3.

5.   = ()4-5x;

     = ()-4+5x;  

x2 = - 4+5x;

       x2-5x+4 = 0;  x1 =4;  x2 =1.

    Ответ: x1 = 4; x2 = 1.

Способ 2.  Вынесение  общего множителя за скобку.

Примеры:

1. 6x+1+356x-1 = 71;

     6x-1(62+35) =71;

     6x-1 = 1;  

     6x-1= 60;

      x = 1.

          Ответ:   x = 1.

2. 7∙ -

∙(7-5) =

∙ 2 =

 =

 = ;  = -3. Ответ: x = -3.

3. 2x+5 ∙2x+1+7 ∙2x+2 = 312.
   Вынося в левой части уравнения за скобки 2x, получим

2x ∙(1+5 ∙21+7 ∙22) = 312;
2x ∙39 = 312;

2x = 8;

2x = 23;

х = 3.
Ответ: х = 3.

4. 3x-2 ∙3x-2 = 63.
   3x-2 ∙(32-2) = 63;
   3x-2 ∙7 = 63;
   3x-2 = 9;
   3x-2 = 32;
   x-2 = 2; x = 4.
   Ответ: x = 4.

5. +

Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :

(+

(+

х - 1= 1;

х = 2.   Ответ: x = 2.

Способ 3.   Приведение показательного уравнения к  квадратному.

1. 72x-8 ∙7x+7 =0
   Данное уравнение имеет вид A ∙ a2x+B ∙ ax+C=0.

Пусть  = у, тогда 72x =у2 и для определения y получим квадратное уравнение: y2-8y+7 =0;
                   y1 =7; y2 =1.
Имеем:
1) 7x =7; 7x =71; x =1; 2) 7x =1; 7x =70; x =0;
Ответ: x1 =1; x2 =0.

2. 5∙52x-6 ∙5x+1 =0

Пусть:  = у, тогда 5у2 - 6у + 1у = 0:

D=16;  у1= , у2= 1.

Так как       у1=, то  = , х= -1;

                    у2= 1, то  = 1 , х= 0;

Ответ: x1 = -1; x2 =0.

3. 22+x-22-x =15;
   22 ∙ 2x-22 ∙ 2-x =15;
   Получили уравнение вида A ∙ ax + B ∙ a-x+ C=0.

Используя подстановку 2x = y  и  2-x , переходим к уравнению 4y-   = 15 или 4y2-15y-4 = 0. Находим корни:  y1 = 4; y2 = - .
1) 2x = 4; 2x = 22; x = 2;
2)2x = --   - корней нет, так как 2x>0, xR.
Ответ: x = 2.

4. 4x+6x =2 ∙ 32x.
   22x+2x ∙ 3x-2 ∙ 32x =0.

 Разделим обе части последнего уравнения почленно на 32x:
Тогда  +   -2 = 0;

()2x+()x-2 = 0.
Пусть ()x = y, тогда ()2x = y2; y2+y-2 = 0;
y1 = 1; y2 = - 2.
1)  ()x = 1; ()x = ()0;  x = 0.
2)  ()x = - 2 - корней нет.
Ответ: x = 0

5. =0.

Первый член уравнения можно представить в виде .

Тогда исходное уравнение принимает вид  -= 0;

Обозначим:  = с, тогда

с1=3, с2 = 1.

Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак,

Ответ: x = 1.

Задачи ЕГЭ:

x = - 7

          Ответ: x = - 7

Решение:

Сделаем замену: , при этом  тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 4 и – 1.

Условию  удовлетворяет только  

Решим уравнение: , x = 1

Ответ: x = 1

Решение:  Поделим уравнение на  

Сделаем замену: , при этом  тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 1 и – 2.

Условию  удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 0.

Ответ: x = 0.

4. 125 ∙

Решение:  Преобразуем левую и правую части уравнений, используя свойства степеней:  125 ∙∙

Получаем ∙=

Учитывая свойства степенной и показательных функций делаем вывод, что левая часть уравнения всегда убывает, а правая всегда возрастает, следовательно их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем этот корень. При x=1 левая часть уравнения больше правой. При x=2 левая часть уравнения меньше правой. Значит корень лежит между 1 и 2. Проверим x=1,5. Левая часть равна правой, следовательно x=1,5 - единственный корень уравнения.

Ответ: x = 1,5.

Задания для самостоятельной работы

• Тест по теме:  Показательные уравнения.   Вариант1

1. Решите уравнение:  .

а) -;    б) - ;    в) ;    г) .

2. Решите уравнение:  .

а) -2;    б) -1,5; 0,5;    в) -0,5; 1,5;     г) -0,5; 2.

3. Решите уравнение:  5∙4∙.

а) -1;    б) 4;    в);     г) -2.

4. Решите уравнение:  7∙.

а) 0,5;    б) -0,5;    в) 1;     г) -1.

5. Решите уравнение:   -3.  Запишите сумму его корней:

а) 2;    б) -1;    в) 4;     г) -2.

6. Решите уравнение:  .

Ответ:_________________________

               7.   Найдите наибольшие корни  уравнения:

 Ответ:_________________________

• Тест по теме: Показательные уравнения.   Вариант2

1. Решите уравнение:  .

а) –;    б) – 0,2;    в)1,4;    г)1,7.

2. Решите уравнение:

а) -3;    б) -3; -;    в) 3; -;    г) 3; ;    

3. Решите уравнение:  2∙4∙.

а) 3;    б) 1;    в) 9;     г) 2.

4. Решите уравнение:  3∙.

а) 0,5;    б) -1;    в) -2;     г) -0,5.

5. Решите уравнение:   -2. Запишите сумму его  корней:

а) -1;    б) 1,5;    в) -2;     г) 1.

6. Решите уравнение:  .

Ответ:_________________________

              7.   Найдите наибольшие корни  уравнения:  

Ответ:_________________________

• Тренажер.       Решить уравнения:

1

2

3

             1)

             2)

             3)

4

    1)

          3)  

                  = 1.

     5

• Задания для индивидуальной работы.

Индивидуальная работа №1.

Индивидуальная работа № 2

Индивидуальная работа № 3

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Литература:

1. Т. И. Лисичкин, И. Л. Соловейчик  «Математика»
2. Н. В. Богомолов  Практические задания по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – 5-е. изд., стер.- М.: Высш. Шк., 2000г.
3. Сборник задач по математике: Учеб. пособие для ссузов.-М.:Дрофа,2003г.
4. Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В и др. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы./. Общая ред.: Татур А.О.-М.:Интеллект-Центр,2009г.
5. А.Я. Симонов, Д.С.Бакаев, А.Г. Эпельман и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ – М.: Просвещение, 1991г.

Оглавление

1. Показательные уравнения...........................................................  4

2. Виды показательных уравнений и способы их решений.........  5

3. Задачи ЕГЭ...........……………………………….........................  9

4. Задачи для самостоятельной работы   ………………………..  11

• Тесты …………………………………………………….. 11

• Тренажер…………………………………………………  13

• Индивидуальная работа ………………………………..   15

Контрольные вопросы………………………………………………… 18

Литература………………………………………………………………..19