Объемы и площади поверхностей геометрических тел
учебно-методическое пособие по теме

Министерство образования и науки РФ

Фрязинский государственный техникум электроники, управления и права

Объёмы и площади поверхностей геометрических тел

Учебное пособие

I курс

г. Фрязино 2011 год

Одобрен

предметной комиссией

____________________

Автор                                                                               Морозова Н.Е.

                                                                                          Преподаватель ФГТЭУП

Учебное пособие «Объёмы и площади поверхностей геометрических тел».

Фрязинский государственный техникум электроники, управления и права, 2011 год.

Количество страниц 12.

Рецензент:                                                                       Погудина Л.Г.

                                                                                          преподаватель

РЕЦЕНЗИЯ

на методическую разработку преподавателя Морозовой Н.Е.

Тема: Нахождение объёмов и площадей поверхностей геометрических фигур

Методическая разработка представляет собой теоретический материал урока. Написана в доступной для самостоятельного обучения форме. Ясно прослеживается алгоритм вывода формул, что однообразно, но «повторенье - мать ученья», а значит оправдано.

Положительным моментом является быстрота её распространения среди студентов. Аналогичным образом надо оформлять и последующие методические разработки.

Преподаватель ФГТЭУП____________/Погудина Л.Г.

СОДЕОЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..3ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ……………...……………………………..…4

1. Объём цилиндра…………………………………………………………4
2. Объём конуса…………………………………………………………….5
3. Объём шара………………………………………………………………6

1. ПЛОЩАДИ БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ……..7

2.1 Площадь боковой поверхности цилиндра…………………..…………7

2.2 Площадь боковой поверхности конуса…………………………….…..8

2.3 Площадь боковой поверхности шара……………………………….….9

3. ОБЪЁМЫ МНОГОГРАННИКОВ………………………………………10

3.1 Объём призмы…………………………………………………………..10

3.2 Объём пирамиды…………………………………………...…………..11

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………….12

Для нахождения объёмов и площадей поверхностей геометрических тел существует математический аппарат, который называется определённый интеграл.  При этом используются различные формулы:

1. Sповерхности тела вращения = 2П
2. Vгеом. тела =

Чтобы ими пользоваться и делать выводы стандартных формул для

1. Свойства определённых интегралов:

• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;
• Интеграл от суммы - разности равен сумме -разности интегралов;
• Промежутки интегрирования можно разбивать на части;
• Определённый интеграл от дифференциала  равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования:            

1. Формулу Ньютона – Лейбница:

=F(b) – F(a)

1. Табличные интегралы:

;                        

1. Правила нахождения производных:

 ;     ;      

1. Уравнения линий, образующих при вращении тела вращения.
2. Помнить, под знаком интеграла только одна переменная х, всё остальное – величины постоянные и их можно как постоянный множитель выносить за знак интеграла.

1. ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

1.1 Объём цилиндра

 y

                                                     y = R          

                           h                        y=

                                                              x

Рисунок 1.1

1. При вращении прямой  y=R получается цилиндр, если рассматривать отрезок от (0;0) до (h;0).
2. Используем формулу:

Vт.в. =       и имеем                       Vцил. = П =

1. Как постоянный множитель выносим за знак интеграла R2

Vцил. =  =

1. Определённый интеграл от дифференциала равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования

Vцил =ПR2 (h-0) = ПR2h

1. Окончательная формула:

1.2 Объём конуса

у             l =

                                                  y =

              l

                   h

(0;0)                                                 х

Рисунок 1.2

1. Конус получается при вращении прямой      y =            в пределах от 0 до h.
2. Используем формулу    Vт.в. =    и получим:                        Vкон = П =

1. Как постоянный множитель выносим за знак интеграла                       Vкон = =

1. Используем табличный интеграл                            Vкон =          

1. Окончательная формула:

3. Объём шара

                    y

                                           y2 = R2 – x2

                                                         x

  (-R;0)                            (R;0)    

Рисунок 1.3

1. Шар получается при вращении кривой         y2 = R2 – x2 , в пределах от   -R     до     R.
2. Используем формулу    Vт.в. =    и получим:                  

Vшара = П

или, если промежутки интегрирования в 2 раза уменьшить и для компенсации интеграл в 2 раза увеличить, то получим:

Vшара = 2П

1. Интеграл от разности R2 -  x2, плюс табличный интеграл                

 + C           дает:                                                                               Vшара = 2П (R2x -

1. Вычисляем по формуле Ньютона – Лейбница:

Vшара = 2П

1.  Окончательная формула:

1. ПЛОЩАДЬ БОКОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

2.1 Площадь боковой поверхности цилиндра

 y

                                                           y = R

                          h                                                  

                                                                x

Рисунок 2.1

1. Цилиндр получается при вращении прямой y = R, в пределах от 0 до h.
2. Предварительные вычисления:  y=R; y' = 0;  
3. Используем формулу:

Sт.в. =2П

1. Получаем:

Sбок.цил. = 2П

1. Как постоянный множитель выносим R

Sбок.цил.=2ПR

1. Окончательная формула:

2.2 Площадь боковой поверхности конуса

у             l =

                                                  y =

              l

                   h

(0;0)                                                 х        

Рисунок 2.2

1. Конус получается при вращении прямой y =  в пределах от 0 до h.
2. Предварительные вычисления:

y = ;  ; (y ')² = .

1. Используем формулу

Sт.в. =2П

1. Получаем

Sбок. конуса =2П =

1. Как постоянный множитель выносим    и  

Sбок. конуса =2П

Приводим к общему знаменателю под корнем и выносим из – под корня, заменяем  

 на l

Sбок.кон.=2П=2П(h2-h0) = ПRl

1. Окончательная формула:

2.3 Площадь поверхности шара

                    y

                                           y2 =

                                           R          x

Рисунок 2.3

1. Шар получается при вращении с кривой    y2 =       в пределах от   -R до R.
2. Предварительные вычисления ;                                        ;

(

1. Используем формулу: Sт.в. =2П
2. Получаем:  Sпов.шара=2П
3. Приводим к общему знаменателю и перемножаем корни:                          

И это R выносим как постоянный множитель за знак интеграла

Sпов.шара=2ПRПR(R-(-R))= 2ПR(2R)

1. Окончательная формула:

3. ОБЪЁМ МНОГОГРАННИКОВ

3.1Объём призмы

            (0;0)                                                 y

                 (h;0)

                х      

Рисунок 3.1

1. Располагаем призму относительно системы координат так, чтобы ось 0х была её высотой, а ось 0у лежала в плоскости верхнего основания призмы.
2. Используем формулу: Vгеом.тела=:

= Sоснование призмы, так как сечением перпендикулярным к высоте и будет основание.

1. Получаем: Vгеом.тела =
2. Как постоянный множитель выносим за знак интервала      и .

Vпризмы =  h

1. Окончательная формула:

ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ

                             x

                     Scеч

                            h

         Sосн

Рисунок 3.2

1. В роли сечения  к высоте пирамиды выступает сечение, площадь которого меняется в зависимости от его расстояния х от вершины. (С увеличением х растёт площадь сечения и наоборот). В школьной геометрии есть утверждение, что площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины:                                       Sсеч =
2. Используем формулу: Vгеом.тела =
3. Получаем: Vпирамиды =
4. Выносим как постоянный множитель:   и берём интеграл:        

Vпирамиды=

1. Окончательная формула: