Метдическаяразработка по теме "Эластичность функции"
методическая разработка по теме

Методическая разработка

по теме "Кривые спроса и предложения. Эластичность функции в экономике".

        Экономика, как и любая наука оперирует различными моделями – словесными, графическими и математическими. Первые словесные модели экономики были разработаны Адамом Смитом, и они представляли собой цепочку взаимосвязанных логических выводов, объясняющих причину богатства народов и роль в этом рыночной экономики. Первая математическая модель в экономике была предложена Франсуа Кэне, который попытался описать действие экономики государства в виде взаимосвязанных блоков, описываемых математически. Графические модели, как наиболее удобный инструмент научного анализа, были введены в практику Альфредом Маршаллом – его кривые спроса и предложения известны не только экономистам, но практически всем грамотным людям.

        При изучении этой темы студентам понадобятся:

знания:

- понятия графиков функций и системы координат,

- понятия возрастающей и убывающей функции,

умения:

- построение точек в системе координат,

- построение графиков различных функций, заданных формулами,

- нахождение точек пересечения графиков.

        Эластичность – одна из самых важных категорий экономической науки. Впервые она была введена в экономическую теорию А. Маршаллом и представляет собой выраженное в процентах изменение одной переменной в ответ на выраженное в процентах изменение другой переменной. Понятие эластичности позволяет выяснить, как происходит адаптация рынка к изменениям его факторов и поэтому имеет огромное значение для производителей товаров, т. к. дает ответ на вопрос о том на какую величину изменится объем спроса и предложения при изменении цены.

        при изучении темы студентам необходимо

 знать:

- понятие процентов и отношений,

- понятие производной функции

уметь:

- находить проценты по данным, предложенным в таблицах,

- использовать технику дифференцирования.

1. Кривые спроса и предложения.

        В классической постановке, сформулированной еще А. Маршаллом, кривые спроса и предложения могут быть изображены графически на плоскости цена-объем. В экономической теории зачастую для упрощения рисуют не кривые, а прямые линии. В этом есть определенная логика, так как на определенных участках указанные кривые имеют линейных характер. При этом, говоря о функциональной зависимости объемов от цен, А. Маршалл, как это не парадоксально, тем не менее, на графике изобразил обратную функциональную зависимость – зависимость цен от объемов: на горизонтальную ось выдающимся экономистом было предложено наносить объемы, а на вертикальную шкалу – цену. При этом большая часть экономистов отдает себе отчет в том, что кривые спроса и предложения изображаются ими не совсем корректно, но так уж принято на протяжении многих десятилетий – ошибку не исправляют.

        Рассмотрим пример 1 построения кривых спроса и предложения.

В "Принципах экономической науки", говоря о поведении покупателя, А. Маршалл приводит следующую зависимость объема (фунты) от стоимости единицы товара (пенсы).

        Кривая спроса, изображенная на рисунке, показывает графическое выражение зависимости между ценой товара и величиной спроса, предъявляемого покупателями на этот товар, обозначается по традиции двумя буквами D. Важно заметить, что в условиях рыночной экономики кривая спроса всегда представляет график убывающей функции, что означает, что для того, чтобы продать больше товара производителю необходимо снизить цены на него.

        Аналогично, имея табличные данные можно построить и кривую предложения, которая покажет зависимость между ценой товара и количеством этого товара, которые производители хотят предложить на рынке.  Она обозначается двумя буквами S, и является, как правило, графиком возрастающей функции.

        При изучении кривых спроса и предложения важным понятием является точка рыночного равновесия, которая определяется точкой пересечения кривой спроса и кривой предложения.

Рассмотрим пример 2.

        Кривые спроса и предложения пересекаются в точке А, которая характеризует точку рыночного равновесия, ситуацию, когда планы покупателей и продавцов на рынке совпадают, так, что при данной цене величина предложения равна величине спроса. По графику видно, что рыночное равновесие возникает на рынке при цене 18 руб., что означает, что равновесная цена равна 18 руб., и при этой цене может быть реализовано 70 млн. штук товара.

        Рассмотрим две возможных ситуации на рынке дефицит и избыток товара.

        Дефицит – это ситуация, в которой при данной цене величина спроса превосходит предложенное количество товара. В рассмотренном нами примере такая ситуация возникает в частности при цене 14 рублей: спрос на товар 80 млн. штук, а предложение – 65 млн. штук. При такой ситуации производители будут вынуждены изменить свои планы -  увеличить выпуск продукции. Но и покупатели вынуждены менять свои планы, так как дефицит оказывает давление снизу, двигаясь по кривой влево и вверх они будут вынуждены урезать свое потребление. В результате изменения планов покупателей и продавцов рынок вновь вернется в состояние равновесия.

        Избыток товара – ситуация, когда величина предложения товара по данной цене превышает величину спроса на него. В нашем примере такая ситуация возникнет при цене 22 руб.: спрос на товар 60 млн. штук, а предложение – 75 млн. штук. Также как и при дефиците избыток товара изменит планы производителей и покупателей, их поведение на рынке изменится и как результат рынок опять вернется в состояние равновесия.

        Учитывая все перечисленное выше можно предположить, что потребители очень сильно реагируют на изменение спроса и предложения. Соответственно, что быстрота и интенсивность реакции на изменившиеся условия будет разной. Однако степень реакции в отношении одного и того же вида продукции существенно варьируется. Кто-то реагирует быстрее, кто-то слабее. Разная интенсивность реакции может наблюдаться при изменении цены на товар и при изменении дохода, при изменении моды и при изменении ценовых ожиданий. Наблюдение и изучение реакций типичных потребителей и типичных производителей на изменение тех или иных условий позволяет прогнозировать реакцию рынка в целом.

        Способность спроса и предложения адаптироваться к изменившимся условиям рынка называется эластичностью.

Понятие эластичности спроса по цене.

        Величина спроса на товар находится в обратной зависимости от цены. Допустим, произошло повышение цен на молоко и “Пепси-колу” в 2 раза. Но величина спроса на эти товары снизится в разной степени: от “Пепси-колы” покупатель быстрей откажется, чем от молока. Поведение покупателей в условиях снижения или повышения цен характеризуется показателем “ценовая эластичность”.

Ценовая эластичность – это степень изменения величины спроса на товар при изменении цены.

Количественное значение определяется коэффициентом эластичности, который показывает, на сколько изменится в процентном отношении величина спроса при изменении цены на 1%.

        Ер =  = ,

где Q – изменение величины спроса в %, Р – изменение цены в %.

        Индекс "Р" означает, что эластичность рассматривается по цене. Аналогично можно определить показатель эластичности по доходам или какой-то другой экономической величине.

        Показатель ценовой эластичности спроса для всех товаров является отрицательной величиной. Действительно, если цена снижается – величина спроса растет, и наоборот. Поэтому для оценки эластичности часто используется абсолютная величина.

Например, если снижение цены стирального порошка на 5% вызвало увеличение спроса на него на 10%, то показатель эластичности будет равен:

                ;  |Ep| = 2.

Значение коэффициента эластичности изменяется относительно единицы:

Если Ер > 1, то спрос на товар эластичный, т.е. изменение величины спроса происходит в большей степени, чем изменение цены. Покупатель быстро реагирует на незначительное снижение или повышение цен. Например, увеличение цены на ювелирные изделия заставит покупателей отказаться от предметов роскоши.

Если Ер < 1, то спрос на товар неэластичный, т.е. изменение цены на товар происходит в большей степени, чем величина спроса. Покупатель слабо реагирует на незначительное снижение или повышение цен. Например, увеличение цены на хлеб не заставит покупателей отказаться от этого жизненно важного продукта.

Если Ер = 1, то эластичность считается единичной, т.е. величина спроса и цена изменяются в равной степени.

        Рассмотрим графическую иллюстрацию эластичности.

        На рис. 1 снижение цены с Р0 до Р1 на 100 руб. (33%) приведет к росту величины спроса с Q0 до Q1 на 20 ед. (200%). Коэффициент эластичности будет равен: , т. е. он больше 1 и спрос эластичен. Выручка от реализации увеличится с 3000 (30010) до 6000 руб. (20030) , т. е. вырастет в 2 раза. Заштрихованные прямоугольники 0 и 1 наглядно показывают увеличение выручки от реализации продукции при снижении цены в условиях эластичного спроса. Площадь прямоугольника 1 заметно больше площади прямоугольника 0.

        Рис 2. графически иллюстрирует пример неэластичного спроса. Снижение цены на 100 руб. увеличит величину спроса лишь на 2 ед. При этом выручка от реализации упадет с 3000 до 2400 руб. (20012). Естественно, что при такой ситуации фирма не будет снижать цену своей продукции.

Рис. 1. Эластичный спрос.                                Рис. 2. Неэластичный спрос.

Существуют два крайних случая эластичности.

        Первый случай – существование только одной цены, при которой товар будет приобретаться покупателями. Любое изменение цены приведет либо к полному отказу от приобретения данного товара (если цена повысится), либо к неограниченному увеличению спроса (если цена снизится). Например, спрос на помидоры, продаваемые отдельным торговцем на рынке абсолютно эластичен (однако рыночный спрос на помидоры не является эластичным). Графически этот случай можно изобразить в виде прямой, параллельной горизонтальной оси (рис. 3).

        Другой крайний случай – изменение цены не отражается на величине спроса. График абсолютно неэластичного спроса (рис.4) выглядит как прямая, перпендикулярная горизонтальной оси. Примером может служить спрос на отдельные виды лекарства, без которых больной не может обойтись.

Неценовые факторы, влияющие на изменение эластичности.

• Наличие заменителей у данного товара. Если есть заменители, то спрос эластичный (мыло-порошок, автобусы - троллейбусы). Если нет заменителей – спрос неэластичный (электроэнергия).
• Степень необходимости товара для потребителей. Жизненно важные товары – спрос неэластичный (продукты питания, жильё). Предметы роскоши (украшения, автомобили) – спрос эластичный.
• Доля расходов на товар в семейном бюджете. Дешёвые товары (соль, спички, мыло) – спрос неэластичный. Дорогие товары (мебель, телевизор) – спрос эластичный.
• Фактор времени. Спрос в долгосрочном периоде эластичен, т.к. люди постепенно находят заменители подорожавшему товару. Спрос, ограниченный коротким промежутком времени, неэластичен (цветы к празднику 8-ое Марта).

        Информация об эластичности или неэластичности спроса на товар очень важна для продавца, т.к. от этого зависит размер выручки или дохода от продаж.  Обычно предполагается, что фирма, повышая цену на свою продукцию, имеет возможность увеличить выручку от ее продажи. Выручка подсчитывается умножением цены за единицу товара на количество проданного товара. Однако в действительности так бывает не всегда: возможна ситуация, когда повышение цены приведет не к росту, а наоборот, к снижению выручки в силу уменьшения спроса и соответствующего сокращения сбыта. Поведение продавца можно проанализировать при решении практических задач.

Решение задач на определение коэффициента эластичности.

Для нахождения эластичности спроса необходимо вычислить процентные изменения величины спроса и цены и соотнести их:

Из этой формулы видно, что показатель эластичности зависит не только от соотношения приростов цены и объема или от наклона кривой спроса, но и от их фактических значений. даже если наклон кривой спроса является постоянным, показатель эластичности будет различным для разных точек на этой прямой.

Пример 1. Булочная выпекает батоны и продает их по свободной цене. Чем ниже будет цена, тем большее количество батонов булочная сможет продать. Зависимость объема продаж от цены представлена в таблице. Найти эластичность спроса в различных интервалах.

Решение:

        Найдем эластичность спроса в интервале от 1000 до 1500 батонов. Для этого необходимо найти процентное изменение количества батонов. Величина спроса изменилась на 500 батонов, или на 50% (500:1000=0,5). Однако, если мы рассмотрим изменение величины спроса в обратном направлении, т. е. с 1500 до 1000 батонов, то в процентном отношении это составит лишь 33% (500:1500=0,33). Такие различия создают сложности при расчете коэффициента эластичности. Поэтому для измерения процентного изменения каждой рассматриваемой величины используется средняя точка выбранного интервала. В нашем примере это (1000+1500):2=1250 батонов.

        Изменение величины спроса в интервале от 1000 до 1500 батонов составит: 500:1250 = 0,4 (или 40%). Аналогично, процентное измерение цены составит 0,5:(5,5:2) = 0,18.

        В итоге коэффициент эластичности спроса на интервале от 1000 до 1500 составит 40:18 = 2,2.

        Выведем формулу для расчета эластичности на интервале от Р0 до Р1.

                ; .

                .

        Используя данную формулу найдем эластичность на всех участках. Итак, на четырех участках, представленных в таблице эластичность соответственно равна: 4,3;  2,2;  1,3;  0,8.

        На участках эластичного спроса снижение цены и рост объема продаж приводят к увеличению общей выручки от реализации продукции, на участке неэластичного спроса – к уменьшению выручки. Поэтому каждая фирма будет стремиться избегать того участка спроса на свою продукцию, где коэффициент эластичности меньше единицы.

Пример 2. Соотношение цены и величины спроса задано таблицей. Определить коэффициент эластичности. Дать оценку действиям продавца.

Решение:

        Ер =;   Ер>1.

Вывод: Спрос эластичный. Действие продавца не верное, т.к. в условиях эластичного спроса выгоднее снижать цену, а не повышать.

        Все выше сказанное касалось случаев расчета эластичности спроса для функций, заданных дискретно. Рассмотрим случай непрерывной функции.

        Пусть функция Р = Р(Q) непрерывна и дифференцируема.

Заметим, что:

,   и в силу непрерывности , откуда .

        Следовательно, .

        В случае непрерывной и дифференцируемой функции эластичность находится по формуле:

                                        .

 Пример 3. Соотношение цены товара и величины спроса задано функцией Q= 38-3p . Определить коэффициент эластичности при цене 5 рублей и 7 рублей.

Решение:

Q(Р)=38-3Р , Р1 = 5, Р2 = 7 .

,      

Если Р = 5, то ,

Если Р = 7, то

Вывод: При цене товара 5 рублей спрос неэластичный. При цене 7 рублей спрос эластичный.

Пример 4. Опытным путем установлены функции спроса  и предложения , где Q и S – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу, Р – цена товара. Найти:

1. равновесную цену,
2. эластичность спроса для этой цены,

Решение. 1. Равновесная цена определяется из условия Q = S:

, откуда Р = 2, т. е. равновесная цена равна 2.

2. По определению эластичности спроса находим

.

Если Р = 2, то .

Вывод. Так как полученное значение эластичности по абсолютной величине меньше 1 спрос на данный товар неэластичен, что означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса.. Так при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3%.

Пример 5. Соотношение цены товара и величины спроса задано функцией Q=21-5P. При какой цене спрос на товар будет неэластичным (Ер = 0,9) или эластичным (Ер = 1,1).

Решение:

Qd=21-5P 

,

Вывод. Спрос эластичный при цене товара P=2,2 рубля, спрос неэластичный при цене P=1,99 рубля.

Вопросы для закрепления нового материала.

1. Зачем продавцу необходимо учитывать показатель эластичности?
2. В условиях эластичного спроса выгодно снижать или повышать цену?
3. В условиях неэластичного спроса выгодно снижать или повышать цену?
4. Что означает ценовая эластичность спроса?
5. Какой эластичностью обладают следующие виды товаров: бензин, легковые автомобили отечественного производства, грузовые автомобили, легковые автомобили зарубежного производства, компьютеры, сотовые телефоны.
6. Спрос на перевозки пассажиров в маршрутных автобусах неэластичный. Что нужно предпринять, чтобы спрос стал эластичным?
7. Приведите примеры товаров, спрос на которые ограничен коротким промежутком времени.
8. Продавец решает увеличить цену на мороженое на 20%, при этом предполагает, что объем продаж, снизится на 40%. Выиграет ли продавец в выручке?

Самостоятельная  работа.

        Каждому студенту выдается карточка с домашним заданием, где три задачи подобные тем, которые решали на уроке.

Литература.

1.С.И.Иванов, Основы экономической теории, Вита-Проф., Москва 2003г.

2.Б.И.Табачников, Основы экономики, Учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования, Вита-Пресс., Москва 2000г.

3.Л.Л.Любимов, Н.А.Ранева, Основы экономических знаний, Вита-Проф., Москва 1999г.

4.В.С.Автономов Введение в экономику, Вита-Пресс., Москва 2005г.

5.А.Г.Мордкович, Алгебра и начала анализа, Москва 2000г.

6. С.Ю.Жолков, Математика и информатика для гуманитариев, учебник для студентов вузов.

Оснащение урока:

1. Комплект формул.

2. Карточки-задания.

3. Информация на стендах.

4. Презентация (формулы, таблица соотношения цены и выручки, задачи).