Круглый треугольник Рело

Оглавление

1. Оглавление  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Круглый треугольник Рело  . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7

 Введение

Круг – самая известная фигура постоянной ширины. Эта фигура обладает многими полезными свойствами, которые человек широко использует: центр круга всегда находится на одном расстояние от окружности, ширина круга всегда постоянна и т.д..

Также существует множество других фигур постоянной ширины, симметричных и несимметричных, и способов их построения. Все эти фигуры имеют одинаковый периметр при одинаковом диаметре. Самую большую площадь ограничивает круг, а меньшую    – треугольник Рело. Существуют и тела постоянной ширины: на круге построена сфера, на остальных так же строятся тела постоянной ширины.

Работая над этим проектом, я поставила перед собой цели:

- узнать как можно больше о треугольнике Рело;

- выделить из изученного новое, интересное и удивительное;

- донести собранную мною информацию до моих одноклассников и, возможно, до других учащихся, интересующихся, как и я, фигурами постоянной ширины.

Для достижения этих  целей мною были решены задачи:

- изучение дополнительной литературы, в которой рассматриваются вопросы о фигурах постоянной ширины;

- проведение экспериментов, помогающих подтвердить изученные теории;

- рассмотрение вклада отечественных и зарубежных математиков в изучение свойств треугольника Рело;

- обобщение изученного материала и применение его при создании данного проекта.

Круглый треугольник Рело

Проектор 8 миллиметровой кинопленки Луч-2. Именно он был в каждом доме, где сами снимали и смотрели киноэтюды.

Колесо… Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина. Проведем две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между ними. Начнем вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая имеет постоянную ширину.

Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом равным длине стороны. Эта кривая и носит имя "треугольник Рело". Оказывается, она тоже является кривой постоянной ширины. Как и в случае окружности проведем две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнем их вращать. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из "углов" треугольника Рело, а другая на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника.

В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним не шелохнувшись.

Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как центр такой фигуры описывает сложную линию при качении фигуры по прямой.

Бывают ли какие-то еще кривые постоянной ширины? Оказывается их бесконечно много.

На любом правильном нечетном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии монета в 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

Рассмотренные кривые не исчерпывают весь класс кривых постоянной ширины. Оказывается, среди них бывают и несимметричные кривые. Рассмотрим произвольный набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведем дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых, определяющих этот сектор. Возьмем соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведем окружность. Радиус подбирается такой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем так делать дальше. Оказывается, при таком построении кривая замкнется и будет иметь постоянную ширину. Докажите это!

Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело —  минимальную в классе кривых данной ширины.

Треугольник Рело часто изучают на математических кружках. Оказывается, что эта геометрическая фигура имеет интересные приложения в механике.

Смотрите, это Мазда RX-7. В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. Как же он устроен внутри? В качестве ротора используется именно треугольник Рело! Между ним и стенками образуется три камеры, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишен некоторых недостатков поршневого аналога - здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.

А это — грейферный механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.

Вот такие интересные применения, казалось бы, чисто математической задачи используют люди.

Заключение

Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира. Мы в своей работе попытались распространить это свойство на другие фигуры этого семейства, семейства фигур постоянной ширины.

Систематизируя и углубляя теоретические знания, мы в треугольнике Рело (самой известной после круга фигуры постоянной ширины) обозначили его сильные и слабые стороны. Ученые и изобретатели неоднократно обращались к этому семейству. В России в настоящее время делается упор на новые технологии и не стандартные решения. Данная работа расширила горизонты и предложила пути прорыва нашей страны в новое «светлое будущее». Отличительные свойства треугольника Рело находят множество применений. Это доказывает, что мы должны более тщательно изучить свойства фигур постоянной ширины и находить им ещё больше применений.  

Список литературы:

1. Учебно-методическая газета «Математика».

2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, И.И. Юдина. ГЕОМЕТРИЯ. Дополнительные главы к учебнику 9 класса.

3. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. Математика: Учебник для 5 класса.

4. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. Математика: Учебник для 6 класса.

5. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев «Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов», М.1962 г.