"Золотое сечение вокруг нас", исследовательская работа

МОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»

Оренбургского района       Оренбургской области

     ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ   РАБОТА

«ЗОЛОТОЕ   СЕЧЕНИЕ  ВОКРУГ  НАС»

          Выполнили:   Лихтина Анастасия,

                                                               Фардеева Юлия,

                                        Каплина Анастасия,          

                               Султангалиева Алия,

                                                                        Комарницкая Оксана,

        Ученицы 10 класса

                                                        Научный  руководитель:

                                                                                 Газизова Валерия Валерьевна

                учитель математики                                                                       высшей категории

п. Экспериментальный

2010г

Оглавление

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ  ЗАПИСКА …………………………………………………………………3        

Введение. Формула красоты………………………………………………………..4        

Глава 1. «Золотое сечение» в математике. Числа Фибоначчи……………………6.        

Глава 2. «Золотое сечение» в архитектуре, живописи и скульптуре…………….8.                

Глава 3..  Тело человека и «Золотое сечение»…………………………………….12.        

Глава 4.  «Золотое сечение» в живой природе……………………………………        14.

Глава 5. Пирамиды в пропорциях золотого сечения-генератор  жизни………....17        

Глава 6. Наши исследования………………………………………………………..19        

               ЗАКЛЮЧЕНИЕ,   ВЫВОДЫ……………………………………………………………………………23

                    СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ   …………………………………………………….25                                      

               ПРИЛОЖЕНИЯ                                                                                                

1. Объект  исследования:  
2. предметы домашнего обихода,   художественные изделия,   архитектурные шедевры,           человек,   окружающий растительный   мир.
3. Предмет  исследования: 
4. форма и строение исследуемых предметов и явлений.
5. Цель исследования: 

выявить принципы применения «золо того сечения» в различных областях знаний, и проверить гармонию  числовыми закономерностями.

6. Задачи работы:    
7.  описать геометрический смысл «золотого сечения»;
8.  проследить этапы исторического возникновения «золотого сечения» в науке;
9.  исследовать принципы и возможности практического при менения «золотого сечения» в различных областях искусства;
10.  определить возможные направления применения «золотого сечения» в науке.
11. Новизна  исследования: 
12. раскрытие  учащимися школы «золотого сечения»  в окружающей нас  действительности.

13. Практическая  значимость:

14. Использование  приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других школьных предметов.
15. Использование работы при ведении элективного курса в старших классах по математике.
16. Умения и навыки:
17. Организация  и проведение   эксперимента.
18. Использование  специальной литературы.
19. Приобретение  умения  делать обзор  собранного материала (доклад, презентацию, реферат).
20. Оформление работы    рисунками, диаграммами, фотографиями.
21. Активное  участие   в обсуждении  своей работы.
22. Методы исследования:
23. эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).
24. теоретический (логическая ступень познания).

                                     Пояснительная записка

   Изучая в школе математику, мы часто слышим, что без знания этой науки никак не обойтись в современной жизни. Но взгляните на странички наших учебников!

Где они, эти пропорции, корни, пирамиды, синусы в окружающей нас действительности?

Где же они прячутся – эти числа и математические закономерности во всём, что нас привлекает? А что же нас привлекает в жизни? Всё красивое и гармоничное!  Но тогда как же это связано между собой -  красота, гармония и … математика?

       Мы обратились к современному источнику информации – к Интернету. И обнаружили, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».

   Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887...

   Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому.  Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

                                         Так что же такое «золотое сечение»?..

 Что это за идеальное, божественное сочетание?

                           Может быть, это закон красоты?

                                          Или все-таки он — мистическая тайна?

                                                     Научный феномен или этический принцип?

Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен.

«Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.                                                                          

Мы захотели узнать  о  тайнах  “золотого сечения”. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

1. Гипотеза: За красоту и гармонию в природе «отвечает» математика. То есть особые числовые закономерности существуют во всем, что нас окружает.

Введение. Формула красоты.

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.

                                                                                                      Иоганн Кеплер.

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами.

На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Ещё у древних греков родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

      О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты человеческого тела...". И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного.

Эта формула отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.

Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике.

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. Трудно найти человека, который бы не знал собор Василия Блаженного. Его пропорции соответствуют золотой.

Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция. Стихи А. С. Пушкина занимают особое место, остаются непревзойденными в русской поэзии. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Размер стиха у А. С. Пушкина, число строк в нем выступают не как произвольные или случайные величины. Они не изменяются от наименьшей к наибольшей непрерывно, а имеют некоторые частотные максимумы. В метрике стихов А. С. Пушкина преобладают числа Фибоначчи.

Алгеброй можно поверить не только гармонию архитектуры и поэзии, но и гармонию музыки.

Простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения, обычно она смещена, асимметрична. Изучая произведения Баха, Бетховена, Шопена, Скрябина можно установить, что во многих из них вершина, или высшая точка находится в точке золотого сечения.

Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер.

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле мужчины.

На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы её гармонии, её красоту. Он жил в духовном единстве с природой, и это создавало благодатную почву для его творчества.

   Многие ученые абсолютизировали пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека – формула золотого сечения.

Рассмотрим примеры,  где встречается “золотое сечение”

в живой и не живой природе.

                                      1.  Золотое сечение в математике.

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.

Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором

целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.

Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.

 Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.

Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.

Задача 1. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.

(6,2 см и 3,8 см) одна часть отрезка больше другой в 1,6 раза.

Части “золотого сечения” составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

В эпоху Возрождения “золотое сечение»  было очень популярным среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношение ее сторон равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть “золотым”.

Задача 2. Построим золотой прямоугольник.

Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.

В одном из прямоугольников проведем диагональ АВ.

Циркулем проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А.

Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведем под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношения большей стороны к меньшей. (Отношение сторон должно быть примерно равно 1,6).

Но как же разделить отрезок в золотом отношении?

С помощью непосредственных измерений сделать это невозможно, поскольку число Ф–иррациональное. Древние мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Рассмотрим один из них, самый простой.

Пусть дан отрезок АВ, и надо осуществить его “золотое сечение”. Проведем перпендикуляр к отрезку АВ (будем считать, что АВ=1) и отложим на нем отрезок ВД = 2АВ.  Из точки Д проведем окружность радиусом ДК, где ДК=АВ.

  Проведем окружность с центром в точке А и радиусом АЕ=1/2АК.    Она пересечет отрезок АВ в точке С золотого сечения.

Итак, найдена, казалось бы, совершенно ординарная точка на обычном отрезке. А между тем ею обеспечивается присутствие красоты, соразмерности всех частей.

                                     Числа Фибоначчи.

Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Мона  Лиза", подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?

Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи (род. ок. 1170 - умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы "Liber Abaci" (1202) - трактат об арифметике (индийские цифры) и алгебре (до квадратных уравнений), "Practica Geometriae" (1220).

После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел. 2

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.

В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618        

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем.

Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

                              2. “Золотое сечение” в архитектуре  живописи и скульптуре.

1.Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.).

Строительством храма Парфенон руководил архитектор Фидий.

Парфенон — главный храм в древних Афинах, посвященный покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине-Девственнице. Он красовался на самом высоком пункте афинского акрополя, там, где перед тем стоял не вполне достроенный храм той же богини, заложенный еще до нашествия. По окончании персидских войн, в правление Перикла, приступили к сооружению, на месте прежнего святилища, нового, более обширного и роскошного храма, при чем пущено в ход искусство лучших из тогдашних художников и употреблены огромные денежные средства. Строителями П. называют Иктина и Калликрата; первому, по-видимому, принадлежал проект этого здания, а второй заведовал производством строительных работ. Великий скульптор Фидий и сам Перикл наблюдали за постройкой, продолжавшейся около десяти лет, с 448 по 438 г. До Р. Хр. На прямоугольной платформе (в 68,4 м длины и в 30,38 м ширины), сложенной из пирейского камня и на которую можно было со всех сторон подниматься по трем ступеням, высился построенный из пентелийского мрамора величественный периптер дорического стиля с восемью колоннами в каждом коротком фасе и с семнадцатью в каждом длинном. Высотой эти колонны были в 11 м, диаметр их разреза в нижнем конце равнялся 1,8 м. Окруженный этой колоннадой, стоит и посей день.

Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи).

КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф.

2.Собор Василия Блаженного - один из самых ярких и знаменитых памятников древнерусской архитектуры. Уже в 16 веке собор восхищал путешественников и гостей Москвы, а для россиян стал символом отечественной истории и национального характера.

        Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют  ряд золотого сечения.

В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

3.Особый вид изобразительного искусства Древней Греции -  изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

В живописи и  на предметах домашнего обихода  чаще всего изображали богов и фараонов.    Были установлены каноны изображения стоящего человека, идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет,  чтобы научиться  пользоваться каноном.

4.Перед вами канон изображения стоящего человека, все пропорции человека связаны формулой “золотого сечения”.

5.Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.

              Леонардо да Винчи

Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Сам термин “золотое сечение” ввел Леонардо да Винчи. Он говорил о пропорции человеческого тела.

В  картине Леонардо, портрете Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503, Лувр) образ богатой горожанки.  Внутреннюю значительность композиции придает космически-величавый и в то же время тревожно-отчужденный пейзаж, тающий в холодной дымке. Ее композиция основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника.

Это самая православная картина во всей истории живописи. Написанная почти пять столетий назад, стала сенсацией XX века, темой газетной шумихи. Миллионные очереди зрителей простаивали сутками перед зданиями музеев Америки, Японии, Москвы, чтобы в течение нескольких минут посмотреть на заключенный в бронированную витрину, очень плохо различимый в её искусственной среде шедевр Леонардо.

 Удивительная изменчивость лица молодой женщины. В нём проступает то холодная ирония, то кокетливое лукавство, то печаль, то душевная ясность, то серьезная сосредоточенность, то доверчивая открытость. Вся композиция несет в себе пафос господства человека в мире, его центрального положения во Вселенной.

6.Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его “Венера”. Для Боттичелли его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии “золотого сечения”, господствующего в природе.

Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом .

7. Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорции. Отношение частей человеческого тела связывалось с формулой “золотого сечения”.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из

частей, делящихся по золотым отношениям.

 Адольф Цейзинг  (немецкий  фолософ) проверял справедливость своей теории на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.

Статуя полна спокойной уверенности, гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

8.Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях.

Самая знаменитая из них была статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света!

Это статуя бога, в честь которого проводились древние Олимпийские Игры. Она располагалась в Олимпии, которая и дала свое название играм. Во время игр войны прекращались, и атлеты приходили из Азии, Сирии, Египта, и Сицилии, чтобы поучаствовать в Олимпийских играх и поклониться Зевсу.

    Находится статуя в древнем городе Олимпия, на западном побережье современной Греции, около 150 км.  к западу от Афин.

 Великолепный храм Зевса был задуман архитектором  Либоном и был построен около 450 г. до н. э. Из-за возрастающей мощности древней Греции, простой стиль дорического храма казался слишком светским, и потребовались некоторые изменения. Было решено поставить величественную статую. Афинский скульптор Фидий был  главным архитектором  и осуществил  эту  задачу.

                                   3. Тело человека и «золотое сечение».

    Удивительно то, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения".

    Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.

Его труды продолжил Цейзинг. Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах 13 : 8 = 1, 625.

  А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.

  Пропорции "золотого сечения" проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев и т.д.

   Поразительно, но в лице человека можно проследить множество пропорций, подчиненных "золотому сечению". Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется. Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение "правильные черты лица". У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1, 618: или 62 : 38.

   Какие же пропорции в лице человека стремятся к "золотому сечению"?

   Прежде всего, у людей с красивыми лицами наблюдается:

 Идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это соотношение называется "динамической симметрией" или "динамическим равновесием".

Соотношение высоты верхней и нижней губы будет 1,618:

Высота надгубной складки  и высота губ будут составлять соотношение 62 : 38:

  Ширина одной ноздри суммарно с шириной переносицы относится к ширине другой ноздри в пропорции "золотого сечения".

  Ширина ротовой щели также относится к ширине между наружными краями глаз, а расстояние между наружными уголками глаз - к ширине лба на уровне линии бровей, как все пропорции "золотого сечения".

Расстояние между линией верхней части лба до линии зрачков и расстояние между линией зрачков и линией смыкания губ имеет пропорцию "золотого сечения"

    Получается, правильную красоту можно математически просчитать и даже прибегнуть к хирургической корректировке с целью совершенствования внешности.

   В настоящее время стоматология,  занимается не только лечением заболеваний полости рта, но и эстетической медициной.

  Удивительно, но и в стоматологии можно проследить пропорции "золотого сечения".

Красивая улыбка - это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное соотношение и расположение. И здесь мы опять сталкиваемся с закономерность "золотого сечения"

  Вот некоторые примеры соотношений размеров и расстояний между зубами:

 Ширина верхнего центрального резца относится к ширине нижнего центрального резца, как 62 : 38, т.е. 1, 618:, в соотношении "золотого сечения"

В этой же пропорции находится ширина двух верхних резцов к ширине двух нижних.

Расстояние между премолярами верхней челюсти относится к ширине четырёх верхних резцов, как 62 : 38:

И этот список можно продолжить:

Как же на практике можно использовать знание о "золотом сечении" и его влиянии на параметры в стоматологии?

Разумеется, искать применение золотых пропорций в эстетической стоматологии.

 Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта - всё это подчинено общему закону - "золотому сечению".

Вольно или невольно, врач использует эти пропорции при восстановлении коронковой части зуба, при протезировании или ортодонтических мероприятиях. Лучше, конечно, чтобы врач применял математическую составляющую в формировании вашей красоты и здоровья.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения.

    Закономерности «золотой» симметрии проявляются и в генетическом коде человека. В «золотых» соотношениях  находятся показатели артериального давления, пульса и дыхания. Циклическим  колебаниям в «золотой» пропорции подвержены многие  другие показатели человеческого организма, даже соотношение периодов сна (медленный сон – быстрый сон), находятся в пропорциях, близких к «золотым». Господь,  как величайший художник наделил нас не только совершенным организмом, но и дал нам определенный «запас прочности».  Причем этот запас дан в точном соответствии с «золотым сечением». ( Например, если по какой-то случайности на 1/3 пересекается человеческий нерв, то его функция сохраняется.)  

 Мы теперь знаем, что человек - только часть живого мира на нашей планете, подчиняющийся общим законам мирозданья. И доказательство тому - учение о "золотом сечении", дошедшее до нас из глубины веков.

                                   4. Золотое сечение в живой природе.

С давних пор так повелось: все самое лучшее, ценное и желанное люди называли золотым: чьи-то умелые руки, доброе сердце, отзывчивый характер, незабываемые радостные деньки, покрытые ковром спелой ржи поля.… А в трудах Пифагора, Платона, Аристотеля, Евклида нередко упоминается о загадочном «Золотом сечении». Именно оно управляет всей нашей жизнью.

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.

 Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

Рисунок 1. Винтовая симметрия.

В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем - число листьев в этом цикле.

     Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения (Рис.1). Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии". Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

       Спиралью закручиваются усики растений.

 Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей, всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Приглядимся внимательно к побегу цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

     У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Спиралевидную форму имеют большинство раковин. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десяти сантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Если посмотреть на изображение раковины на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром.

 Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении лепестков на цветке розы и в разрезе яблока (пентаграмма), и в сосновой шишке, и в головке подсолнечника. И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам.

           8.  Пирамиды в пропорциях Золотого Сечения - генератор жизни

                         В течение ряда лет в России проводятся исследования Пирамид в пропорциях Золотого Сечения.

Уже многие тысячелетия форма четырехгранной пирамиды является предметом размышлений для пытливого ума. Хотим обратить внимание на то, что в данном случае мы будем говорить о Пирамидах с конкретной геометрией, основанной на пропорции Золотого Сечения. Диаметры соседних шаров в последовательности шаров, вписанных в эту Пирамиду, образуют именно такую пропорцию. При этом высота такой Пирамиды примерно в 2 раза больше стороны квадрата, лежащего в ее основании. Очень важен тот факт, что Пирамиды изготовлены из непроводящего материала - стеклопластика или стеклобетона.  Пирамиды должны быть ориентированы в Пространстве по земному меридиану. Грань Пирамиды "смотрит" точно на Полярную Звезду.

        Пирамида  исправляет структуру Пространства.  Все, что  попадает в её поле, начинает развиваться в направлении Гармонии.

В зоне воздействия Пирамиды проявляются явления, которые сегодня можно отнести к феноменологии. Даже при морозе в 40 С, внутри Пирамиды не замерзает обычная вода. При резком встряхивании бутылки с такой переохлажденной водой она замерзает за 2-3 секунды. Если смотреть на Пирамиду локатором в диапазоне волн 10 см, над ней виден ионный столб в несколько километров высотой. Когда начинают подсчитывать, сколько же необходимо энергии для создания и поддержания такого столба, то оказывается, что всех электростанций нашей планеты далеко недостаточно для этого. Предположение о том, что такой ионный столб является мощной подпиткой ионосферы и может решить все проблемы озонового слоя, нашло подтверждение после завершения строительства Пирамиды высотой 22 метра на берегу озера Селигер летом 1997 года. Уже через несколько месяцев после этого в Северном Полушарии планеты озоновый слой был приведен в норму, и мы начали забывать об "озоновых дырах". Если бы подобную Пирамиду построить в Южном Полушарии, либо перенести туда воздействие уже существующей Пирамиды, например, на территории Австралии, Бразилии или Перу, то через несколько месяцев мы констатировали бы ликвидацию проблемы "озоновых дыр" в масштабе всей планеты. Аналогичный ионный столб наблюдается над энергоблоками атомных станций, местами захоронений ядерных отходов, другими объектами с высокими энергиями. Но радиационная обстановка вокруг и внутри Пирамиды не отличается от фоновых значений. Существенно меняют свои физические и химические свойства многие вещества: полупроводники, углеродные материалы и др. При этом удивительно то, что эти вещества как бы оживают. Их свойства изменяются по синусоидальному закону во времени с достаточно большой амплитудой. Происходит спонтанная зарядка конденсаторов, изменяется температурный порог сверхпроводимости, изменяется масштаб физического времени. Под воздействием поля Пирамиды в несколько раз изменяется вес физического тела. Со школьной скамьи мы привыкли считать, что существуют некие Абсолюты, физические константы - скорость света в вакууме, постоянная Планка, температура абсолютного нуля и др. Да, эти физические величины действительно являются константами, но только для того состояния Пространства, при котором проводились их измерения и вычисления. При изменении структуры Пространства, например, с помощью Пирамид все эти величины начинают изменяться и в достаточно широком диапазоне. Существенно усиливается иммунитет животных, побывавших в зоне воздействия Пирамиды, во много раз возрастает жизнеспособность клеточной ткани, блокируется злокачественный процесс в организме. Пирамида оказывает мощное антистрессорное воздействие, не дает иммунной системе свалиться в сторону "стареющего организма". Лекарственные препараты многократно усиливают свои специфические свойства даже при уменьшении концентрации во много раз, исчезают побочные эффекты от их применения. Человек Ленивый захочет во всем сказанном усмотреть мистику и все отвергнуть, Человек Разумный захочет во всем этом разобраться и очень скоро поймет, что в данном случае мы просто имеем дело с физикой, которой мы еще не знаем, с биологией, которой мы еще не знаем. Тем более нужны усилия Науки физики, философии, биологии и др. для того, чтобы разобраться, что есть наш Мир, в котором мы живем.

    Энергия Пирамид напрямую связана с Человеком, с нашим вниманием, нашими мыслями, нашим представлением о Гармонии. Те мысли, те представления, которые находятся в резонансе с Золотым Сечением, с формой Пирамиды, начинают доминировать в окружающем Пространстве. Это и есть основа механизма изменения программы нашей Среды Обитания с помощью Пирамид.

Наши исследования.

Мы захотели проверить, что «Золотая пропорция» действительно является универсальным информационным кодом. И провели следующие эксперименты:

Фикус и «золотая пропорция».

Шаг 1.

Для начала мы измерили высоту фикуса и расстояние между листами.

Шаг 2.

На основе данных была сделана диаграмма, в которой показаны изменения расстояния между листьями по мере его роста.

Шаг 3.

Затем были измерены листья.

Заметим, что отношение длин соседних столбиков примерно равно числу φ ≈ 0,6.

Исследование «Золотой спирали» в  раковинах.

Шаг 1.

Мы внимательно изучили ракушки на нахождение в них «золотой спирали».

Шаг 2.

ВО/АВ = АВ /АО ≈ 0,62….. ЕF /АЕ = АЕ/АF ≈ 0,616…..

Вывод:

В наших исследованиях мы подтвердили, что окружающие нас предметы содержат золотую пропорцию, характеризующую соразмерность и гармоничность их строения.

Фикус и ракушка содержат искомые «золотые пропорции».

 Золотое сечение, действительно, универсальный закон живых систем.

 Нахождение золотой пропорции в здании  Драматического театра.

BO/AB ≈ AO/OE ≈ KM/MF ≈ 0,625….

Заметим, что оригинал и изображение на фотографии – подобные фигуры. Следовательно, отношение линейных размеров будет сохраняться.  Фасад здания с колоннами представляет из себя золотой прямоугольник. Обратим внимание: KM=5 см, MF=8 см – числа из ряда Фибоначчи!

Мы провели расчеты лестницы к Уралу. Вот что у нас получилось:

AB/BL = BL/LO = AL/LE = BO/OF ≈ 0,62…

На изображении отмечены золотые прямоугольники. Не случайно данный памятник архитектуры привлекает к себе внимание и поражает своим совершенством.

Вывод:

Творения человека тоже подчиняются удивительному закону золотого сечения. Всё красивое и гармоничное, что сумеет сделать человек, содержит в себе золотые пропорции.

                                  Заключение исследовательской группы.

                                                                                      Симметрия, я  гимн тебе пою!

                                                                                      Тебя повсюду в мире узнаю.

                                                                                      Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

                                                                                       Ты в ёлочке, что у лесной дорожки,

                                                                                       С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

                                                                                       И снежный рай – творение мороза!

Мы изучили динамическую симметрию, которая называется   божественной пропорцией или «золотым сечением».

 Проанализировали  проявления  «золотого сечения» в окружающей нас действительности, а также  научные открытия о существовании «зо лотой пропорции» в различных областях нашей жизни и   отмечаем, что:

1. «Золотое сечение» является основной пропорционально стью мира;

2. «Золотое сечение» является оптимальным кодом живой природы;

3. С расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер,                   где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология  и астрономия.

   Подчеркнём также, что для наиболее оптимального, гармоничного, естественного построения чего-либо искусствен ного (то есть созданного человеком), вероятно, также требуется использование «золотого сечения».

Для  доказательства приведём  некоторые научные факты, которые были открыты благодаря «золотому сечению»:

1.  пояс астероидов между Марсом и Юпитером - по пропор ции там должна находиться еще одна планета;
2. возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении «зо лотого деления», не вызовет колебаний струны, то есть это точ ка компенсации;
3. на летательных аппаратах с электромагнитными источни ками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией «золотого сечения».

Таким образом, наша  гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию,   подтверждается. В данной работе мы алгеброй проверили множество гармоний!

Выводы:

     Мы убедились, что все-таки существует связь между математикой и литературой, между математикой и архитектурой, между математикой  и живописью. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных видах искусства.

   Нас поразил  тот факт, что  даже планеты солнечной системы обращаются вокруг солнца по орбитам с «золотым сечением», а Земля имеет самую совершенную орбиту из всех планет. Это доказали с помощью математики!

     Также мы увидели строгую математику в расположении листьев фикуса и в морской ракушке. Узнали, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения". И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой симметрии.

      Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика.

Явления всей вселенной подчинены определенным числовым соотношениям.  Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами.  Эта  основа учения Пифагора актуальна и в наши дни!

                                                             Литература

Корбюзье Л. Модулор.-М,. 1976.

Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.-М,. 1936.

Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

Dubner H.,  Keller W. "New Fibonacci and Lucas primes," Math. Comp., 68:225 (1999) 417--427, S1--S12.  MR 99c

Proportions in Music //Fibonacci Quarterly vol 2 (1964) pages 219-222

Howat R. Debussy in Proportion : A Musical Analysis

http://evolutionoftruth.com/goldensection/music.htm    

Лосев А.Ф. Эстетика Возрожденния.-М., 1978.

Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи/ Учебное пособие.-К., 1986.

Мещеряков В.Т. Гармония и гармоническое отношение.-Л., 1976.

Петрович Д. Теоректики пропорций.-М., 1979.

Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория.-М,. 1973.

Петухов С.В. Биомеханика, бионика и симметрия.-М., 1984.

Doczi G. The power of limite. Proportional harmonies in nature, art and architecture.-London, 1981.

http://www.math.smith.edu/~phyllo/index.html  

Frost A.J., Prechter R.R. Jr. Elliot Wave Principle: Key to Stock Market Profits. New Classics Library, Gainseville, Georgia, 1985.

Fisher R. Fibonacci Applications and Strategies for Traders, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1993.

Fechner G. T. Vorschule der Aesthetik. Breitkopf & Huartel, Lipsia, 1876.

Соколов А.А., Соколов Я.А. Математические закономерности электрических колебаний мозга.-М., 1977.

Prechter R R. The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science of Socionomics. New Classics Library, Gainseville, Georgia, 1999.

Стахов А.П. Коды золотой пропорции.-М,. 1984.

http://evolutionoftruth.com/abennett  http://evolutionoftruth.com/goldensection/solarsys.htm

http://www.goldenmuseum.com/

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott

http://goldennumber.net/

http://goldennumber.net/creditcard.htm

Zeising A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers. Leipzig, 1854..

Mandelbrot B. The Fractal Gometry of Nature / Benoit B. Mandelbrot.San Francisco : W.H. Freeman, 1982.

Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.

http://milan.milanovic.org/math/english/golden/golden2.html

http://goldennumber.net/dna.htm

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-6-html/CVETKOV-1/cvetkov-1.html

Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997.

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html  

Harris A. K., ‘‘Multicellular Mechanics in the Creation of Anatomical Structures,’’