Содержание

Введение

1. Методика изучения натуральных чисел......................................................4
   1.1. Понятие натурального числа в математике..............................................4  
   1.2. Методика введения понятия  натурального числа...................................5
   1.3. Методика изучения действий с натуральными числами и нулем..........6
2. Методика изучения дробных чисел............................................................12
   2.1. Введение дробного числа.........................................................................12
   2.3. Методика изучения действий над обыкновенными дробями...............13
3.  Методика изучения десятичных дробей...................................................18
   3.1. Определение десятичной дроби и их нумерация...................................18
   3.2. Сравнение десятичных дробей.................................................................19
   3.3. Методика изучения действий над десятичными дробями дробями.....20
4. Методика изучения рациональных чисел.................................................26
   4.1. Методика введения отрицательных чисел..............................................26
   4.2. Действия с рациональными числами.......................................................27

Заключение

Список литературы

Введение

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики. Оно относится к фундаментальным понятиям современной математики.

           Понятие числа прошло долгий исторический путь развития. Оно сложилось постепенно в процессе решения все более и более сложны вопросов сначала практического, а потом и теоретического характера, и является одним из древнейших понятий математики. Лишь постепенно человечество достигло современного понятия о числах и современной системы обозначения чисел.

     Содержательно-методическая линия чисел и вычислений включат 3 этапа:

1 этап – пропедевтический (начальная школа):Счет, натуральный ряд, число 0, четыре арифметических действия, сравнение чисел. Величины. Приемы решения текстовых арифметических задач.

2 этап – основной (курс арифметики 5-6 классов): Натуральные числа.  Делители и кратные числа. Обыкновенные дроби. Десятичные дроби. Среднее арифметическое. Отношения. Пропорции. Проценты. Решение текстовых задач арифметическими приемами. Положительные и отрицательные числа. Рациональные числа.

3 этап – завершающий (курс алгебры 7-9 классов): Иррациональные числа. Действительные числа. Квадратный корень. Корень третьей степени.

     Цель курсовой работы: изучить, систематизировать и обобщить материалы, касающиеся методики изучения числовых систем в курсе основной школы.

1. Методика изучения натуральных чисел.

1.1. Понятие натурального числа в математике.

 В математике имеются различные теории построения множества натуральных чисел. Среди них:

1. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел.

Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов  и существует отношение: « следует за » или « есть число, следующее за числом » (число, следующее за , будет обозначаться через ), удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Существует число 1, не следующее ни за каким числом, т.е.  для любого числа .
2. Для любого числа  существует следующее за ним число  и притом только одно, т.е. из  следует .
3. Любое число следует не более чем за одним числом, т.е. из  следует .
4. (Аксиома индукции.) Любое подмножество М множества N натуральных чисел, обладающее свойствами:

а) 1 ∈ М,

б) если  ∈ М, то ∈ М,

содержит все натуральные числа, т.е. совпадает с N.

2.  Генетическое построение множества натуральных чисел.

При генетическом построении натуральное число выступает как характеристика мощности класса равносильных конечных множеств. Другими словами, при переходе от одного множества к какому-нибудь другому, ему равносильному , неизменным остается свойство мощности.

1.2. Методика введения понятия  натурального числа

        Сущность понятия натурального числа выясняется индуктивным путем, исходя из рассмотрения конкретных частных примеров. Содержание этих примеров направлено на осознание учащимися счета как процесса составления натурального ряда чисел. При этом формулировка «Числа, которые используют при счете предметов, называются натуральными».

После того, как натуральный ряд чисел записан на доске, необходимо перейти к рассмотрению его свойств (бесконечность и упорядоченность). В качестве метода обучения в данном случае предпочтительнее беседа следующего содержания: Какое натуральное число предшествует 1? Какое число следует за ...? Какое число предшествует ...?

Следующий вопрос – это устная и письменная нумерация целых чисел (система счисления), т.е. способ записи целых чисел. Учащиеся из курса начальной школы имеют достаточные сведения о разрядах и классах. Наглядным пособием при повторении нумерации может служить таблица, в которой отражены нумерации разрядных единиц.

Следующий шаг в изучении натуральных чисел – это сравнение натуральных чисел между собой. Алгоритм сравнения двух натуральных чисел может:

–  основываться на предшествующем опыте школьников, связанном с процедурой счета;

– опираться на понятие позиционной десятичной системы счисления: «из двух чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр больше».

Созданию мотивации учебной деятельности, развитию интереса к изучению математики способствует историческая составляющая содержания темы «Натуральные числа».  

1.3. Методика изучения действий с натуральными числами и нулем.

Тема «Действия с натуральными числами» предоставляет возможности для повторения материала начальной школы. При этом очень удобно воспользоваться таблицей 2.

Таблица 2

Сложение

Содержательная сторона.

Определение 1 (аксиоматическое построение N): Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждым натуральным числам а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число a + b и обладает следующими свойствами:

1. a + 1 = a′  для любого a,
2. a + b′ = ( a + b )′  для любых a  и  b.

Определение 2 (генетическое построение N):  Суммой данных натуральных чисел a и b называется натуральное число с, выражающее мощность множества, которое получается в результате объединения множеств А и В, имеющих соответственно мощности a и b, при условии, что множества А и В не имеют общих элементов. Операция получения суммы с по данным a  и  b называется сложением или действием сложения.

Алгебраическая сторона

Из курса начальной школы учащимся знакомы переместительный и сочетательный законы сложения. Задача 5 класса: научить учащихся словесной формулировке и буквенной записи законов, применению их при решении упражнений вычислительного характера.

Кроме того, в результате изучения темы «Сложение натуральных чисел» учащиеся должны знать закон поглощения нуля: а + 0 = 0 + a = а.

Алгоритмическая сторона.

 В задачи математики 5-го класса входит их обоснование с помощью применения основных законов сложения натуральных чисел. Учителю достаточно показать действие этих законов на конкретных примерах.

Пример.

Найдем сумму 267 + 521.

Представим данные числа в виде суммы разрядных слагаемых и применим сочетательный и переместительный законы сложения. Получим:            267 + 521 = (200 + 60 + 7) + (500 + 20 + 1) =

        = (200 + 500) + (60 + 20) + (7 + 1 ) = 700 + 80 + 8 = 788.

Подчеркнутая часть записи и объясняет сложение натуральных чисел «столбиком:

267 = 200 + 60 + 7                         или короче:  267

          +                                                                            +

            521 = 500 + 20 + 1                                                521

                      700 + 80 + 8 = 788                                      788.

Вычитание

Установление сущности действия вычитания натуральных чисел начинается с рассмотрения задач с конкретным содержанием. Например: Автотурист за два дня проехал 972 км. Сколько он проехал за первый день, если его путь за второй день равен 426 км?

Определение  вычитания дается как действия, обратного сложению: «разностью чисел а и b называют такое число, которое при сложении с числом b дает число а», а операция получения разности – вычитанием.

Не все авторы современных учебников математики предусматривают знакомство учащихся со свойствами вычитания.

Это такие свойства, как:

1. Свойство  вычитания суммы из числа:

     a – (b + c) = (a – b) – c,

     a – (b + c) = (a – c) – b;

2. Свойство вычитания числа из суммы:

     (a + b) - c = (a – c) + b,

     (a + b) - c = a + (b – c).

Правила вычитания многозначных чисел знакомы учащимся из курса начальной школы. Для  обоснования этого правила достаточно ограничиться такого рода записью:

Особого внимания требуют следующие случаи:

–  в обозначении уменьшаемого имеется один или несколько нулей, например, 6903 – 4871, 6903 – 4875, 6003 – 4875;

– дополнение числа до единицы высшего разряда, например, 100000 – 56783.

Умножение
        Определение  (школьное): Произведением натурального числа а на 1 называется само число а; произведением а на натуральное число b, большее 1, называется сумма b слагаемых, каждое из которых равно а, т.е. а ⋅ 1 = а,

                а ⋅ b = а + а + а + … + а.

                                        b слагаемых

Порядок изучения умножения тот же, что и при рассмотрении других действий. Отметим некоторые особенности:

1. В школьном курсе математики действие умножения натуральных чисел основывается на законах: 

–  переместительном:  а ⋅ b = b ⋅ а,

–  сочетательном:  (а ⋅ b) ⋅ с= а ⋅ (b ⋅ с),

–  распределительном: а ⋅ (b + с) = а ⋅ b + а ⋅ с.

Метод неполной индукции остается ведущим при пояснении законов умножения.

2. Особого внимания требуют случаи, когда сомножителями являются единица и нуль: 1 ⋅ а, 0 ⋅ а,  а ⋅ 1, а ⋅ 0. Первые два случая не вызывают у учащихся затруднений.

Случаи а ⋅ 1 и  а ⋅ 0 значительно труднее усваиваются учащимися. Это связано с тем, что нельзя придумать задачи с конкретным содержанием.

Деление

В арифметике принято говорить о делении в узком и широком смыслах:

–  деление  в узком смысле (деление без остатка) определяют как действие, позволяющее по данному произведению двух сомножителей и одному из них найти другой сомножитель, т.е. если а : b = с, то с ⋅ b = а, где а, b, с – натуральные числа; при этом а – делимое, b – делитель, с – частное;

–  деление в широком смысле (деление с остатком) определяют как действие, позволяющее по двум данным числам а и b найти два новых числа q и r, которые обладают свойствами: b ⋅ q + r = a, r < b, где а  - натуральное число, b, q, r – целые неотрицательные числа; при этом q – частное, r – остаток, а – делимое, b – делитель.

В 5-6-х классах действие деления рассматривается в два этапа.

1 этап: деление нацело (определение деления на множестве натуральных чисел, свойства деления, в том числе и действия с нулем, правила деления).

 2 этап: деление с остатком (определение, алгоритм нахождения неполного частного и остатка).

Основанием для перехода от одного этапа к другому служит необходимость дальнейшего изучение свойств множества натуральных чисел.

С целью обобщения понятия действия деления для целых неотрицательных чисел особо выделяется случай деления нуля на натуральное число: 0 : а = 0, при этом случай деления числа на нуль исключается.

 Методика изучения делимости натуральных чисел. 

Материал темы «Делимость натуральных чисел» считается достаточно сложным для учащихся 5-6-х классов. Затруднения, с которыми встречаются ученики, обусловлены следующими причинами:

–  тема насыщена новыми понятиями;

–  положения теории чисел даются учащимся без доказательства при очень небольшой затрате времени на эту работу;

 – практический материал темы требует от учащихся высокой концентрации внимания, достаточного уровня развития вычислительных навыков.

Авторы современных учебников математики неоднозначно решают вопрос о необходимости рассмотрения основных теорем делимости чисел (свойств деления) в рамках школьного курса. Можно выделить два подхода в решении этого вопроса.

Первый подход – свойства делимости суммы (разности) и произведения являются теоретическим материалом, знакомство с которым для учащихся является обязательным.

Второй подход – возраст, развитие и подготовка учащихся 5-6-х классов не позволяют дать строгие доказательства теории делимости. Поэтому из всего теоретического материала должен быть отобран тот минимум, без которого нельзя обойтись при изучении программы.

При изучении понятий НОД (наибольшего общего делителя) и НОК (наименьшего общего кратного) двух данных чисел с последующим обобщением на случай любого числа данных чисел придерживаются последовательности, традиционной для работы с алгоритмами:

–  введение алгоритма: актуализация знаний и рассмотрение частных случаев, необходимых для введения и обоснования алгоритма нахождения НОД (НОК);

–  усвоение алгоритма: отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности;

–  применение алгоритма: отработка алгоритма в знакомых и незнакомых ситуациях.

2. Методика изучения дробных чисел.

2.1. Введение дробного числа

Традиционно получение дробного числа в школьном курсе связано с процессом деления целого на части и с процессом измерения величин. Но в современных учебниках математики предпочтение отдается первому способу получения дробного числа. Его реализация в учебном процессе состоит в следующем:

– учащиеся делят некоторые объекты (арбуз, торт, яблоко) на 2, 3, … равных частей (долей);

– учащиеся называют в каждом случае отдельные доли (половина, треть, и т.п.);

– полученные результаты записывают в виде дробей, читают их, называют члены дробей и объясняют значение каждого из них.

При реализации второго способа получения дробного числа самым доступным объектом для практических занятий учащихся в классе является непосредственное измерение длины. Поэтому получения дробного числа при измерении может протекать следующим образом:

– учитель дает задание измерить, например, длину классной доски, используя при этом в качестве единицы измерения метр;

–  учащиеся убеждаются в том, что при измерении остается некоторый остаток;

– для измерения остатка единицу измерения (метр) делят на несколько равных долей  и одну из них принять за новую единицу измерения;

– повторяют процесс измерения, откладывая новую единицу измерения на остатке;

–  записывают полученный результат измерения – дробное число.

2.2. Методика изучения действий над обыкновенными дробями.

Сложение дробей

Сложение дробей состоит в подсчете одинаковых долей, содержащихся в данных дробях вместе. Таким образом, сложение дробей имеет тот же смысл, что и сложение целых чисел.

Для мотивации изучения действий над обыкновенными дробями используют системы подготовительных простых задач (содержат одно действие над двумя данными числами) с конкретным содержанием.

Современные учебные пособия предлагают следующий порядок изучения темы: сложение дробей с равными знаменателями, сложение дробей с разными знаменателями, основные свойства  сложения; сложение смешанных дробей.

Не смотря на то, что при изучении правила сложения дробей с равными знаменателями учащиеся не испытывают больших затруднений, методисты считают необходимым:

–  широко использовать все виды наглядности;

– особое внимание уделять чтению условий задач, подчеркивая «ключевые» слова.

При подборе примеров на сложение дробей с различными знаменателями целесообразно соблюдать следующую последовательность:

1. Сложение дробей, у которых наибольший знаменатель одной из дробей является наименьшим общим кратным всех знаменателей данных дробей.

2. Сложение дробей с небольшими по величине знаменателями, которые можно привести к общему знаменателю, используя прием: увеличить наибольший знаменатель во столько раз, чтобы полученное число делилось на второй знаменатель.

3. Сложение дробей, знаменатели которых являются взаимно простыми числами.

Одна из особенностей содержания рассматриваемой темы – многообразие возможных случаев сложения дробных чисел. Последовательность рассмотрения этих случаев может быть следующая:

1. Сложение целых чисел и правильных дробей.
2. Сложение целых чисел и смешанных дробей:.
3. Сложение смешанной дроби и правильной дроби.

Особо рассматриваются случаи получения неправильной дроби в результате сложения дробей.

4. Сложение смешанных дробей.

Вычитание дробей

Вычитание дробей определяется так же, как и для целых чисел, как действие, обратное сложению. Поэтому изучение вычитания дробей начинается с повторения вычитания целых чисел.

Материал темы «Вычитание дробей» можно расположить примерно в таком порядке:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Вычитание дробей с разными знаменателями.

            3. Частные случаи вычитания дробей:

• вычитание целого числа из смешанной дроби;
• вычитание правильной дроби из целого числа;
• вычитание смешанной дроби из целого числа;
• вычитание правильной дроби из смешанного числа;
• вычитание смешанных дробей.

При рассмотрении частных случаев учитель обращает внимание учащихся на то, что все свойства суммы и разности целых чисел распространяются на сумму и разность дробей.

Для развития и закрепления навыков учащиеся решают числовые примеры на сложение и вычитание дробей и текстовые задачи.

 Умножение дробей

Существует несколько подходов к рассмотрению понятия "умножения". Рассмотрим некоторые:

1. Способ объяснения, в основу которого положено определение: умножение числа на дробь – это нахождение дроби от данного числа. Суть способа состоит в следующем:

•    учащимся предлагается ряд задач на нахождение части от числа;
• эти задачи решаются двумя действиями: делением на знаменатель дроби и умножением на ее числитель;
• формулируется вывод: чтобы найти часть от числа, надо это число разделить на знаменатель дроби и полученное частное умножить на числитель той же дроби;
• пользуясь полученным выводом, учитель сообщает, что определение части от числа считается умножением на дробь.

2. Способ объяснения умножения дробей на основе решения задач с конкретным содержанием, предложенный В.А. Евтушевским^[1] (одним из первых русских методистов). Учащимся предлагается простая текстовая задача с конкретным, практическим содержанием, которая решается действием умножения. Исходные величины задачи задаются натуральными числами. Затем одно из данных последовательно заменяется правильной дробью и смешанным числом.

Пример. Один метр ткани стоит 20 рублей. Сколько стоят:

1) 4 м; 2)  м;  3)  м этой ткани?

Решение.

1. 1 м ткани стоит 20 р., а 4 м будут стоить в 4 раза дороже, поэтому:

20 ⋅ 4 = 80 (р.);

2. 1 м ткани стоит 20 р., а  м будет стоить в 2 раза дешевле, поэтому:

20 : 2 = 10 (р.);

3. так как , то (20 : 4) ⋅ 13 = 65 (р.).

В заключении формулируется правило умножения числа на дробь.

Недостаток этого способа состоит в том, что задача, решаемая умножением на натуральное число, – простая задача, а на дробное число – сложная, т.е. решается двумя действиями: делением и умножением. Достоинство – при объяснении учащийся овладевает не только техникой выполнения умножения на дробь, но и получает возможность применять это действие при решении задач.

Помещенный обзор (далеко неполный) способов объяснения умножения числа на дробь свидетельствует о том, что каждый из способов не лишен достоинств и недостатков. Поэтому нельзя рекомендовать учителю отдать предпочтение одному из них. Необходимо их разумное сочетание.

Деление дробей

Практически во всех современных школьных учебниках математики деление дробей определяется как действие, обратное умножению: разделить дробь  на  – это значит найти число (дробь), которое, будучи умножено на , дает . Таким образом, определение деления дробей остается по своей сути тем же, что и при делении натуральных чисел.

Возможны различные подходы к введению правила деления дробей:

1. На основе непосредственного применения определения деления дробей правило может быть получено как на любом конкретном примере, так и в общем виде.

        Этот подход к получению правила деления дробей получил наибольшее распространение и реализован в современных школьных учебниках математики ([4], [6]).

2. Правило деления дробей может быть получено на основе анализа решения конкретной задачи. При этом учащимся предлагается задача, решаемая делением. Например: по известной стоимости и количеству товара найти цену 1 килограмма.

Изучение темы «Деление дробей» должно сопровождаться решением достаточного числа задач и примеров, среди которых особое место должны занимать:

• деление на единицу, т.к. частное равно делимому;
• деление на неправильную дробь, т.к. частное меньше делимого;
• деление на правильную дробь, т.к.частное больше делимого;
• деление на 0 исключается.

Чтобы завершить изучение деления дробей, необходимо познакомить учащихся с некоторыми свойствами этой операции. К основным свойствам деления дробей относят:

–   свойство распределительности при делении суммы и разности:;

– свойство деления произведения на дробное число;

– свойство деления дробного числа на произведение.

3. Методика изучения десятичных дробей.

3.1. Определение десятичной дроби и их нумерация.

В учебной и методической литературе применяются два вида определений десятичной дроби: «Десятичной дробью называется дробь, у которой знаменатель – число, изображенное единицей с последующими нулями»^[2] или «Дробь, знаменателем которой является степень числа 10, называется десятичной»^[3], т.е. десятичная дробь – частный случай обыкновенной дроби.

В современных школьных учебниках математики ([3], [6], [17], [19]) чаще встречается второе определение.

В процессе дальнейшего систематического изучения десятичных дробей учащиеся знакомятся с положениями, необходимыми для овладения их письменной нумерацией:

1) в десятичной записи дроби значение каждой цифры зависит от места ее записи (позиции);

2) единица каждого разряда содержит 10 единиц предыдущего разряда;

3) каждую десятичную дробь можно представить в виде суммы десятичных дробей разных разрядов, например.

Письменная нумерация десятичных дробей, как правило, не представляет сложностей для учащихся, если число десятичных знаков в дроби в точности соответствует числу нулей в записи знаменателя.

Современные школьные учебники математики  отдают предпочтение непоразрядному  чтению десятичных дробей. При этом на первых порах рекомендуется:

1. Проговаривать названия разрядов.

2. Отмечать точками над цифрами каждый очередной разряд.

Наибольшие затруднения у учащихся вызывает переход от устной нумерации десятичных дробей к письменной, т.е. запись десятичных дробей, диктуемых поразрядно.

Среди приемов проверки умений учащихся переходить от устной нумерации десятичных дробей к письменной особое значение имеют математические диктанты. 

Подводя первые итоги работы с десятичными дробями, учителю необходимо обратиться к истории открытия десятичных дробей. Отметим, что историческая составляющая темы «Десятичные дроби» во многом доступна пониманию учащихся 5-6-х классов и представляет для них несомненный интерес.

3.2. Сравнение десятичных дробей

Методика изучения сравнения десятичных дробей определяется последовательностью изучения десятичных и обыкновенных дробей.

Если курс обыкновенных дробей изучается раньше десятичных дробей, то формулируется правило сравнения десятичных дробей: из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей – больше та, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых – больше та дробь, у которой цифра разряда сотых больше и т.д.

Эта схема реализована в современных школьных учебниках [6], [17], [19].

Если изучение десятичных дробей предшествует систематическому изучению обыкновенных дробей, то в этом случае обращаются:

– к конкретным примерам сравнения длин, площадей, объемов, весов, иллюстрируя с их помощью равенство двух десятичных дробей ([3]), например:  2,3 м =  м = 2 м 3 дм;

               2,300 м =  м = 2 м 300 мм = 2 м 3 дм;

               2,3 = 2,300;

– к представлению десятичной дроби в виде суммы разрядных слагаемых ([14]), например: ; ;  ; 3,702 = 3,7020 = 3,702000.

Использование координатного луча при сравнении десятичных дробей ([3], [8], [11]) позволяет сделать этот процесс более доступным и интересным для учащихся.

Наиболее распространенная ошибка, допускаемая учащимися при сравнении десятичных дробей, заключается в том, что они часто считают большей ту дробь, в письменном обозначении которой больше цифр.

3.3. Методика изучения действий над десятичными дробями дробями.
           Сложение и вычитание десятичных дробей.

Методика изучения сложения и вычитания десятичных дробей определяется последовательностью изучения обыкновенных и десятичных дробей.

При изучении курса обыкновенных дробей раньше десятичных в качестве основной образовательной технологии может выступать технология проблемного обучения. В данном случае проблема возникает в связи с необходимостью решения задачи нового типа – нахождение суммы или разности десятичных дробей. Эта проблема доступна пониманию учащихся, посильна для решения, естественна  в своей постановке. Так как правило сложения (вычитания) обыкновенных дробей уже известно учащимся, то правило сложения (вычитания) десятичных дробей учащиеся могут вывести самостоятельно, разобрав несколько примеров, например:

.

После наблюдений учащиеся самостоятельно или при помощи учителя приходят к выводу, что процесс нахождения суммы (разности) десятичных дробей будет проще, если производить сложение (вычитание) «столбиком».

 Итоги работы можно сформулировать в виде алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей:

1. Уравнять в дробях число знаков после запятой.
2. Записать их в «столбик» так, чтобы запятая оказалась под запятой.
3. Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую.
4. Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

При изучении десятичных дробей до систематического изучения обыкновенных при обосновании правила сложения десятичных дробей, чаще всего, обращаются к серии конкретных задач. Например:

Задача. Деталь имеет две части. Длина одной из них 15,7 см, длина другой 13,2 см. Какую длину должна иметь заготовка?

Решение. Выразив, длину каждой части заготовки в миллиметрах, получим 15,7 см = 157 мм; 13,2 см = 132 мм. Тогда длина заготовки равна сумме 157 + 132 = 289 (мм), но 289 мм = 28,9 см.  

Получили: 15,7 + 13,2 = 28,9.

Далее заметив, что десятичные дроби записываются по тому же принципу, что и натуральные числа, выдвигают гипотезу: складываются десятичные дроби так же, как и натуральные числа. Формулируется алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей.

Дальнейшее формирование навыка нахождения суммы (разности) дробей не возможно без рассмотрения всевозможных частных случаев:

1) при сложении:

• сложение десятичных дробей с одинаковым числом десятичных знаков без перехода в следующий разряд;

– сложение десятичных дробей с одинаковым числом десятичных знаков с переходом в высший разряд;

– сложение десятичной дроби с целым числом;

– сложение десятичных дробей с разным числом десятичных знаков;

– сложение десятичных дробей, дающих в сумме одну или несколько целых единиц.

2) при вычитании:

–    вычитание десятичных дробей с одинаковым числом десятичных знаков без перехода из одного разряда в другой – без раздробления;

•   вычитание десятичных дробей с одинаковым числом десятичных знаков с раздроблением высшего разряда в низший;
• вычитание целого числа из десятичной дроби;

–     вычитание десятичной дроби из 1 или из целого числа.

Учителю необходимо следить за тем, чтобы уроки решения упражнений на сложение и вычитание десятичных дробей не были монотонными и однообразными. Для этого необходимо использовать занимательный материал, применять игровые образовательные технологии.

Умножение десятичных дробей

Правило умножения десятичных дробей можно объяснить учащимся разными способами:

1. На основании правила умножения обыкновенных дробей.

На доске записывается решение нескольких примеров на умножение десятичных дробей. Например:

.

В данном случае наиболее эффективен метод сопоставление. Провести сопоставление планомерно позволяет беседа следующего содержания: Каков был числитель первой дроби? Числитель второй дроби? Как получен числитель произведения? Каков был знаменатель первой дроби? Второй дроби? Как получен знаменатель произведения? Сколько нулей в знаменателе первой дроби? Второй дроби? Сколько нулей в знаменателе произведения? Сколько десятичных знаков надо отделить в произведении?

По результатам проведенного сопоставления формулируется правило умножения десятичных дробей.

Способ объяснения, основанный на правиле умножения обыкновенных дробей, уместен в том случае, когда десятичные дроби изучаются после обыкновенных ([17], [19], [6]).

2. На основании свойства изменения произведения с изменением сомножителей.

В данном случае вопрос об умножении и делении десятичной дроби на 10; 100; 1000; ..., и т.д.  рассматривается до изучения умножения десятичных дробей.

Основным недостатком данного способа объяснения является его искусственность, которая «нелегко воспринимается учащимися»^[4].

3. На примере решения конкретных задач с именованными числами, выраженными в метрических мерах.

Основная идея этого способа объяснения – в замене десятичных дробей натуральными числами путем перехода к более мелким единицам.

Задача. Стороны прямоугольника 2,3 см и 3,5 см. Вычислите площадь прямоугольника.

Решение.   

1. 2,3 см = 23 мм; 3,5 см = 35 мм.
2. 23 · 35 = 805 (мм2) – площадь прямоугольника.
3. 1 см2 = 100 мм2, 1 мм2 =  см2,

805 мм2 =  см2 = 8  см2 = 8,05 см2.

Ответ. Площадь прямоугольника 8,05 см2.

В процессе обсуждения решения задачи учащиеся под руководством учителя убеждаются в том, что можно избежать двойного перехода , введя правило умножения десятичных дробей. Заметим, что при этом правило формулируется в общем виде без ссылки на десятичную систему мер и конкретные примеры.

Деление десятичных дробей

Операцию деления десятичных дробей можно ввести как операцию, обратную умножению десятичных дробей. В современных учебниках приняты более простые последовательности введения этой операции:

1. деление десятичных дробей на целое число;
2. деление целых чисел и десятичных дробей на десятичную дробь.

Рассмотрение деления десятичных дробей на целое число начинают с повторения деления целых многозначных чисел на однозначное, двузначное и многозначное число.

При построении алгоритма деления десятичной дроби на целое число целесообразно обратиться к практической задаче, связанной с десятичной системой мер. Например: «Моток проволоки длиной 5,58 м разрезали на три равные части. Чему равна длина каждой части (в метрах)?». Учащимся предлагается сравнить два способа решения задачи и совместно с учителем проанализировать процесс получения запятой в частном.

Особое внимание необходимо уделить следующим случаям:

– делению, при котором единицы последнего разряда раздробляются в низший разряд;

– делению целого числа на целое при частном в виде конечной десятичной дроби.

Обоснование алгоритма деления на десятичную дробь можно осуществить одним из следующих способов:

1. С использованием правила деления на обыкновенную дробь:       .

В дальнейшем промежуточные звенья записи пропускаются и остается запись: . Таким образом, деление на десятичную дробь сводится к делению на целое число. Преимущество этого способа обоснования состоит в том, что подчеркивается связь десятичных дробей с обыкновенными, не строится новая теория для десятичных дробей^[5].

2. С использованием основного свойства дроби: . Этот способ реализован в учебниках ([17], [9]).

3. С использованием основного свойства частного, состоящего в том, что величина частного не изменится при увеличении делимого и делителя в одно и то же число раз: . 4. Именно этим способом дано обоснование алгоритма деления на десятичную дробь в учебнике ([3]), в котором для анализа предлагается следующая задача: «Площадь прямоугольника равна 2,88 дм2, а его ширина равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?».

После изучения всех теоретических вопросов о действиях над десятичными дробями приступают к решению задач и упражнений на все действия с десятичными дробями.

4. Методика изучения рациональных чисел.

4.1. Методика введения отрицательных чисел

В зависимости от характера мотивации введения отрицательных чисел выделяют несколько приемов:

 1. Алгебраический. Этот прием предполагает использование некоторой конкретной задачи, при решении которой, исходя из одной формулы, рассматриваются случаи, когда вычитание на множестве положительных чисел невыполнимо. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел – отрицательных.

2. Практический. Данный прием введения отрицательных чисел основан на рассмотрении величин, которые могут изменяться в противоположных направлениях. При этом на страницах школьных учебников встречаются две модификации этого приема:

1-я модификация. Рациональное число рассматривается как мера изменения величины. При этом положительные числа характеризуют увеличение величины, отрицательные – ее уменьшение.

Преимущество этой модификации состоит в том, что у учащихся отсутствует путаница со смыслом знаков « + » и « – » как знаков сложения и вычитания и в то же время знаков положительных и отрицательных чисел.

2-я модификация. Рациональное число рассматривается как мера значения величины, имеющей два противоположных направления.

3. Геометрический. В основе данного приема лежит необходимость установления соответствия между точками прямой и числами: основным средством введения отрицательных чисел является координатная прямая.

4. Арифметический. Учащимся показывают, что действие вычитания можно свести к процедуре счета, т.е. к «отсчитыванию» необходимого числа единиц от данного числа.

4.2. Действия с рациональными числами.

Сложение и вычитание рациональных чисел

В методической и учебной литературе существуют различные подходы к введению правил сложения рациональных чисел:

1. При формальном  подходе сразу формулируется правило сложения рациональных чисел, затем на конкретных примерах показывается его целесообразность.

2. В рамках геометрического подхода данного подхода сложение рациональных чисел выполняется с опорой на сложение направленных отрезков на числовой прямой. В основе объяснения лежат утверждения о  изменении различных величин (температуры, длины пружины и др.):

– прибавить в числу a число b – значит изменить число a на  b единиц;

– любое число от прибавления положительного числа увеличивается, а от прибавления отрицательного числа уменьшается;

– чтобы к числу a прибавить положительное число b, надо на координатной прямой от точки, соответствующей числу а, отложить вправо отрезок, равный b;

– чтобы к числу a прибавить отрицательное число (- b) , надо на координатной прямой от точки, соответствующей числу а, отложить влево отрезок, равный b.

Введение правила вычитания рациональных чисел проводится по следующей схеме:

– актуализация знаний: учащиеся повторяют определение вычитания для положительных чисел;

– объяснение нового материала: учитель распространяет это определение на множество рациональных чисел, рассматривает примеры на вычитание, предусматривающие все возможные комбинации знаков уменьшаемого и вычитаемого;

– первичное закрепление: выполнение примеров, аналогичных разобранным учителем;

– объяснение нового материала: учитель показывает, как вычитание заменяется сложением;

– решение примеров на вычитание рациональных чисел.

Умножение и деление рациональных чисел

В методике существуют несколько способов введения определения умножения рациональных чисел: формальный (догматический), содержательный и логический.

Формальный способ предполагает:

– формулировку учителем правил умножения рациональных чисел и пояснения их примерами;

– показ практической целесообразности введенных правил.

Содержательный способ предполагает рассмотрение целесообразно подобранных задач. Примером такой задачи может служить следующая задача: «Температура изменяется каждый час на a0. В настоящий момент термометр показывает 00. Сколько градусов покажет термометр через t часов?».

При логическом способе введения правил умножения рациональных чисел учитель:

– замечает, что учащимся уже известно, что ;

– предлагает умножение  рассматривать как сокращенное сложение, т.е. ;

– получает , считая, что переместительный закон умножения справедлив для рациональных чисел;

– получает , рассуждая следующим образом: произведение должно быть положительным или отрицательным числом; отрицательным оно быть не может, так как в произведении получается знак минус, когда сомножители разных знаков; следовательно,  – положительное число.

Авторы учебников по-разному формулируют правила умножения рациональных чисел. Однако порядок действий по его применению должен быть следующим:

1. сравнивают знаки множителей;
2. ставят знак произведения;
3. приписывают произведение модулей сомножителей.

Деление рациональных чисел рассматривается как действие обратное умножению.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2007.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2007.
3. Гастева С.А., Крельштейн Б.И., Ляпин С.Е., Шидловский М.М. Методика преподавания математики в восьмилетней школе. М.: Просвещение, 1965, с.258.
4. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Часть 2. М.: ООО «Баласс», ООО «С-инфо», 2001.
5. Дорофеев Г. В. , Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф.  и др.Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений  М.: Дрофа, 2002.
6. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 6 класс. Часть 3. М.: ООО «Баласс», ООО «С-инфо», 2002.
7. Евтушевский В.А. Методика арифметики. СПб., 1885.
8. Епишева О.Б. Методическая система обучения математике на основе формирования приемов учебной деятельности учащихся: Основные технологические процедуры. Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1999. С. 23, 26.
9. Киселев А. Систематический курс арифметики. М.: Учпедгиз, 1937, с. 98.
10. Ляпина С.Е.,  Гастева С.А., Крельштейн Б.Н., Ляпин С.Е., Шидловская М.М. Методика преподавания математики в средней школе.  М.: Просвещение, 1965. С.260.
11. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин. А.В.  Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. М.: Просвещение, 2007.
12. Саговская Е.Н. Методические разработки по арифметике. 5 класс. М.: Учпедгиз, 1956, с. 198.
13. Шевченко И.Н. Арифметика. Учебник для 5 и 6 классов восьмилетней школы. М.: Учпедгиз, 1964, с.116;
14. Шевченко И.Н. Арифметика. Учебник для 5 и 6 классов восьмилетней школы. М.: Учпедгиз, 1964, с.116;

Оглавление

Введение......................................................................................................................................................2

Глава 1. Матрицы        4

§1. Основные определения.        4

§2. Линейные операции над матрицами.        5

§3. Умножение матриц.        6

Глава 2. Определители        8

§1. Определители второго и более высоких порядков.        8

§2. Свойства определителей.        10

Глава 3. Обратная матрица        13

§1. Существование и структура обратной матрицы.        13

Примеры решения задач на вычисление определителей.        16

Примеры решения задач на вычисление обратной матрицы.        17

Демонстрационный вариант теста по дисциплине "Алгебра"        18

Спецификация теста        21

Заключение...............................................................................................................................................24
Список литературы...................................................................................................................................24

Введение.

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

В алгебре под определителем понимается функция, зависящая от n-значения, которое обозначает скалярную величину и представляется в соотношении с конкретным параметром (nxn) квадратной матрицы. Главное геометрическое значение определителя подразумевает масштабный коэффициент для вычисления объема, когда квадратная матрица понимается в качестве линейного преобразования.

 Определитель необходим для того, чтобы дать характеристику обратимой матрицы (т.е. матрицы с ненулевым определителем) и чтобы точно описать систему линейных уравнений, используя в том числе положения Крамера.

 Квадратная матрица с параметром nxn изучается также в виде координатного представления линейного преобразования в соответствии со значением n-мерного вектора в плоскости.

С точки зрения истории, феномен определителя стал изучаться раньше чем сами матрицы. Первоначально, определитель был представлен как собственно система линейных уравнений. Определитель «определял» имеет система одно или несколько возможных решений (в случае, когда определитель являлся ненулевым).

 Впервые определители начали использовать в китайских учебниках по математике. В Европе же, парные определители подверглись поверхностным исследованиям Кордано в конце 16в., и в большей степени со стороны Лейбница.

 В Японии определители использовались с целью изучения исключения переменной в системах алгебраических уравнений более высокого порядка. В этом контексте определители были полезными с точки зрения предоставления краткого содержания такого математического понятия как «результант».

В Европе Крамер (1750г) добавил к уже проведенным исследованиям в этой области, так называемое положение о системах уравнений. И только лишь в 1771г Вандермонд впервые представил определители в виде независимых функций, а в 1772г Лаплас сделал популярным среди математиков общий метод разложения определителя на дополнительные миноры.

 Лагранж — первый, кто начал изучение определителей в рамках теории исключения. Гаусс в 1801г начал использовать феномен определителя в теории чисел. Он ввел в обиход термин «детерминант» (Лаплас называл его «результантом»), хотя и не в том понимании, которое присуще современной математике, тем не менее, в качестве дополнения к такому понятию как дискриминант. Гаусс занимался также вычислением обратной величины определителей и приблизился в своих работах к выводам, которые в современной математике, сформулированы в теореме умножения.

Еще одной важной фигурой в проведении исследований математического феномена детерминанта или определителя, стал прусский математик Якоби. В своих работах исследователь большое количество времени посвятил изучению функционального определителя, который впоследствии стали называть определителем Якоби.

Исследование определенных выражений детерминанта явилось естественным последствием процесса изучения общей теории.

 В результате заинтересованности подобного феномена и исследования его свойств с давних времен, в современной математике стали известны такие понятия как осесимметричный определитель, пер-симметрический определитель, отклонения в значениях определителей и др.

Глава 1. Матрицы

§1. Основные определения.

Определение 1:
МАТРИЦЕЙ размера m .n называется прямоугольная таблица чисел
,
содержащая m строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы а
ik имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца. Краткая форма записи матрицы: А = (аik)m,n

Определение 2:
Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка n, если она состоит из n строк, и n столбцов.

Определение 3:
Матрица размера 1 .n называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ, а матрица размера m.1 - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ.

Определение 4:
НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Определение 5:
ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
.
Определение 6:

ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрица 
n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нули:
.

Определение 7:
Матрицы А = (аik)m,n и В = (вik)m,n называются РАВНЫМИ, если аik = вik 

i = 1,…,m
k = 1,…,n.

§2. Линейные операции над матрицами.

Определение 1:
СУММОЙ матриц А = (аik)m,n и В = (вik)m,n называются матрица

А + В = (аik + вik)m,n.

Определение 2:
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (аik)m,n на число l называется матрица

 lА = (lаik)m,n.

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел l и m выполняются свойства:

1) А + В = В +А 2) А + (В + С) = (А + В) + С

3) А + 0 = А 4) l(mА) = (lm)А

5) l(А + В) = lА + lВ 6) (l + m)А = lА + mА

Докажем свойство 5):

(А + В) = (l(аik + вik)) m,n = (lаik +lвik) m,n = (lаik)m,n + lвik) m,n = lА + lВ

Определение 3:
ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица АТ, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.

ПРИМЕР 1. Даны матрицы
и

Построить матрицу С = 2А – 3В + АТ.
РЕШЕНИЕ.
-+=.

§3. Умножение матриц.

Определение 1:
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (аik)m,р на матрицу В = (вik)р,n называется матрица D
размера m.n с элементами
Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.

ПРИМЕР 2. Найти произведение матрицы
на матрицу .
РЕШЕНИЕ.

т.е. .
В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это – условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Поэтому возможна ситуация, когда произведение А*В существует, а произведение В*А – нет. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т.е. в большинстве случаев произведение матриц некоммутативно: А*В¹В*А. Если А, В, С – квадратные матрицы одинакового порядка и Е – единичная матрица того же размера, то справедливы тождества:


Докажем 2):

Свойство 3) доказывается аналогично, а 4) следует из определения умножения матриц.

Глава 2. Определители

§1. Определители второго и более высоких порядков.

Определение 1:
Пусть - квадратная матрица 2-го порядка.
Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число
D(А) = .

Пример. Вычислить определитель матрицы
.
РЕШЕНИЕ. D(А) =

Определение 2:
Пусть - матрица 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число

D(А) =

Правило Саррюса (треугольника)
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус".

Пример. Вычислить определить
D(А) =

Определение 3:
Минором элемента aik называется определитель Мik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца.

Определение 4:

Алгебраическим дополнением элемента aik называется число .
Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические допоплнения:
D(А) =
Данную формулу называют разложением определителя по первой строке.

Пример. Вычислить определитель матрицы
.
Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:

Вычисляем искомый определитель:
D(А) = 3.7 + (-2).(-35) + 4.(-7) = 63.
Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.

Определение 5:
Определителем
n-го порядка называется число
.

§2. Свойства определителей.
Изложенные ниже свойства справедливы для любого n-го порядка. Доказательства будем проводить для n = 3.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. D(АТ) = D (А). Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк.

2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.

6.

7. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

8. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой сроки (столбца) равно 0.

Свойства 1), 2), 8) доказываются непосредственно полным раскрытием определителя. Докажем 3).

Если раны нулю все элементы 1-ой сроки, то по определению

D = 0.А11 + 0.А12 + 0.А13 = 0.

Если нулю равны все элементы другой сроки, то поменяв ее местами с первой (что может повлиять лишь на знак определителя), мы сведем дело к предыдущему. Свойства 4), 6) читатель докажет самостоятельно, используя понятия определителя.

Доказательство 5). Если поменять местами одинаковые строки, то, с одной стороны, определитель не измениться, а с другой – на основании св. 2, он поменяет знак, т.е.

D = -D Þ 2D = 0 Þ D = 0.

Доказательство 7) следует теперь из 6) и 5).

9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали
.
Доказательство. Раскладывая D по элементам 1-го столбца, получаем произведение ведущего элемента а11 на определитель такого же вида (n-1)-го порядка с ведущим элементом а22 . Раскладывая этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем произведение а22 на определитель такого же вида (n-2)-го порядка. Это значит, что D равен произведению а11.а22 на этот новый определитель. Продолжая этот процесс необходимое число раз, приходим к равенству D = а11.а22.а33.… аnn .
Сформулируем без доказательств еще один важный факт.

ТЕОРЕМА 1.1. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то
D(А.В) = D(А) .D(В).
СЛЕДСТВИЕ.D(А.В) =D(В.А).

Глава 3. Обратная матрица

§1. Существование и структура обратной матрицы.

Определение 1:
Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А, если
А.А-1 = А-1.А = Е.

Теорема 1:

Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невыраженной.

Доказательство:
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: D(А) ¹= 0. Докажем, что обратной к матрице А является матрица
.
В самом деле,



Каждый из элементов главной диагонали равен определителю D(А), ибо представляет собой сумму произведений элементов одной из строк матрицы на свои алгебраические дополнения. Все остальные числа в результирующей матрице равны нулю на основании второй части свойства 8).

Поэтому,

Совершенно аналогично доказывается, что А.А-1 = Е.

Это завершает доказательство достаточности.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано, что матрица А-1 существует. Надо доказать, что

D(А) ¹ 0. Допуска, что D(А) = 0, мы бы получили из равенства А.А-1 = Е,

D(А) .D(А-1) =DЕ, откуда D(А) .D(А-1) = 1, что невозможно, ибо левая часть этого равенства есть 0.

ПРИМЕР. Найти обратную к матрице


.
РЕШЕНИЕ. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

Находим определитель матрицы А:
DА = 2.7 +(-1) . (-10)+(-2) .11 = 2
Теперь записываем обратную матрицу
.

ПРОВЕРКА.
=

Значит, матрица А-1 найдена верно.

Примеры решения задач на вычисление определителей.
Теория изложена в главе 2 §1.

Пример 1. Вычислить определитель .


Вычислим по правилу Саррюса
D = 1(-1) . (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.

Пример 2. Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.

Найдем алгебраические дополнения.

D = 1. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83.

Пример 3. Вычислить определитель 4го порядка.
.
Найдем алгебраические дополнения А12, А13


D = 0.

Примеры решения задач на вычисление обратной матрицы.
Теория изложена в главе 3.

Пример 1. Найти обратную к матрице

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы
А11 = +(-4)=-4 А21 = -(-2)=2

А12 = -3 А22 = +1
Найдем определитель D = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2

Проверка
.
Пример 2. Найти обратную к матрице


D(А) = -2

Проверка
.

Демонстрационный вариант теста по дисциплине «Алгебра»

Инструкция по выполнению работы:

Прочитайте внимательно задания теста и инструкции к ним. Задания выполняйте последовательно. Если задание не удаётся выполнить сразу, перейдите к следующему. Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям. В каждом задании может быть один или несколько правильных ответов, а также некоторые задания требуют самостоятельного получения ответа и ввода его с клавиатуры, имеются задания на сопоставление.

1. Закончите предложение верно.

Дополнительным минором МР называется

• матрица состоящая из дополнительных миноров.
• определитель (n - p)-порядка, полученный вычёркиванием n соответствующих строк и столбцов.
• определитель (n - p)-порядка, полученный вычёркиванием p соответствующих строк и столбцов.
• нет правильного варианта
  
  2.  Найдите дополнительный минор М 13  данной матрицы

Ответ: 27

3.  Найти определитель

Ответ: 0

4. Найти алгебраическое дополнение  определителя

• 11
• 28
• -8
• 17

5. Решить систему уравнений методом Крамера:  

6. Матрицей m х n  называется

• квадратная таблица из чисел, содержащая n- строк и n- столбцов
• прямоугольная таблица из чисел, содержащая n- строк и m- столбцов
• прямоугольная таблица из чисел, содержащая m - строк и n- столбцов.
• нет правильного варианта

7. Матрицей второго порядка называется:

• определитель
• выражение с двумя элементами
• таблица из четырех элементов.
• четыре числа

8. Вычислить АВ, если ,

• АВ=(0)
• АВ=(20)
• АВ=(-20).
• АВ=(10)

9. Элементы обратной матрицы это-

• алгебраические дополнения.
• миноры
• мажоры
• противоположные элементы

10. Результатом сложения двух матриц есть

• матрица того же порядка и размера.
• числовое значение
• матрица большего размера
• диагональная матрица

Спецификация теста

Предметная область (дисциплина) Алгебра.

1. Назначение теста – тест итогового контроля
2. Элементы содержания курса «Алгебра», включённые в тест:

Матрицы и определители

1. Определитель. Основные понятия
2. Дополнительный минор
3. Найти определитель по свойству
4. Найти  алгебраическое определение
5. Решить систему уравнений методом Крамера
6. Матрица. Основные понятия
7. Умножение матриц
8. Обратная матрица
9. Сложение матриц, транспонирование

3. Перечень объектов контроля (виды знаний, умений, контролируемых заданиями теста).

     4. Распределение заданий тестовой работы по уровню сложности

Варианты теста равноценны по трудности, одинаковы по структуре, параллельны по расположению заданий: под одним и тем же номером во всех вариантах работы находится задание, проверяющее один и тот же элемент содержания.

5. Уровень сложности определяется:

• Содержательной частью задания;
• Количеством действий, необходимых для выполнения заданий
• Вариативностью этих действий

6. План теста

7. Структура теста по формам тестовых заданий. Примеры инструкций к заданиям.

Общее число заданий в тесте равно – 15.

Задания являются текстовыми заданиями, требующими выбора одного правильного ответа  или нескольких из предложенных, ввода самостоятельно полученного студентами ответа с клавиатуры, а также вопрос на сопоставление.

Инструкция к заданиям:

Прочитайте внимательно задания теста и инструкции к ним. Задания выполняйте последовательно. Если задание не удаётся выполнить сразу, перейдите к следующему. Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям. В каждом задании может быть один или несколько правильных ответов, а также некоторые задания требуют самостоятельного получения ответа и ввода его с клавиатуры, имеются задания на сопоставление.

8. Время выполнения работы

Общее время выполнения работы 30 минут.

Заключение
В заключение отметим, что в курсовой работе рассмотрены понятия "матрица"," определитель", линейные операции над матрицами, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков.  Так же сказано, что называется минором, алгебраическим определением. Сформулированы и доказаны свойства определителя. Приведены примеры решения задач на вычисление определителей, обратной матрицы.
Составлена тестовая работа по дисциплине "Алгебра". Она включает в себя 10 заданий: теоретические вопросы, задания на нахождения дополнительного минора, определителя и т.д.

Список литературы:

 Основная

1. И.В. Виленкин, В.М. Гробер Высшая математика. Ростон-на-Дону, 2002
2. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов Краткий курс высшей математики. Т. 1, М. 1978

Дополнительная
1. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М. 1980

Содержание

Введение ................................................................................................................. 3

1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.................................................................................................................. 4

1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.............................................................................................................. 4
2. Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве.................................................................................................... 5
3. Понятие равномерной сходимости на множестве................................... 7
4. Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости функциональных последовательностей (Критерий Коши)............................................................................................................8
5. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.......................................................................................................... 10

1. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.............................................................................................................. 13

1.  Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.................................................................. 13
2.  Почленное интегрирование функциональных рядов на R.................. 15
3.  Почленное дифференцирование функциональных рядов на R.......... 18

2. Равномерная сходимость в примерах и задачах........................................... 21

3.1. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей....................................................................................... 21

3.2. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов....... 21

Заключение...................................................................................................... 29

Литература....................................................................................................... 30

Введение.

        Сходимость - одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторый математический объект имеет предел. В этом смысле говорят о сходимости последовательности каких-либо элементов, сходимости ряда, сходимости бесконечного произведения, цепной дроби, интеграла и т. п. Понятие сходимости возникает, например, при изучении математических объектов с помощью приближения их в каком-то смысле более простыми. Можно сказать, что математический анализ начинается с того момента, когда в множестве тех или иных элементов введено понятие сходимости.
        В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. А вычисление равномерной сходимости является важной практической задачей.

        Задачи  работы:  изучить литературу по данной теме, рассмотреть равномерную сходимость функциональных последовательностей и рядов, познакомиться со свойствами равномерно сходящихся последовательностей и рядов, рассмотреть применение равномерной сходимости при решении задач.

        Остановимся подробнее на свойствах равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

1. Равномерная сходимость

1.1 Понятие функциональной последовательности и функционального      ряда

                Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция , заданная на множестве  X, то множество занумерованных функций ,,...,,...,  xX называется функциональной последовательностью.

                Функции  - это члены или  элементы рассматриваемой последовательности, а множество X — ее область определения. Для обозначения функциональной последовательности  используется  символ .

                Формально написанная сумма

                                                         (1.1) бесконечного числа членов функциональной последовательности  называется функциональным рядом.

                Члены  этого ряда представляют собой функции, определенные на некотором множестве X. Указанное множество X называется при этом областью определения функционального ряда (1.1). Cумму первых n членов ряда (1.1) называют n-й частичной суммой этого ряда:

                Изучение функциональных рядов совершенно эквивалентно изучению функциональных последовательностей, так как каждому функциональному ряду (1.1) однозначно соответствует функциональная последовательность

                                                                                                (1.2) его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последовательности (1.2) однозначно соответствует функциональный ряд

  (1.1) с членами

          ,

для которого последовательность (1.2) является последовательностью

частичных сумм.

1.2. Сходимость функциональной последовательности

в точке и на множестве.

        Пусть функциональная последовательность или функциональный ряд определены на множестве X.

        Фиксируя произвольную точку  из множества X, можно рассматривать все члены последовательности (или ряда) в точке , получив при этом  числовую последовательность (или ряд). Если эта числовая последовательность (или ряд) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (или ряд) сходится в точке .

        Множество всех точек , в которых сходится данная функциональная последовательность (или ряд), называется областью сходимости этой последовательности (или ряда).

        В различных конкретных случаях область сходимости может либо совпадать с областью определения, либо составлять часть области определения, либо вообще являться пустым множеством.

        Пусть функциональная последовательность { } имеет в качестве области сходимости множество X. Совокупность пределов, взятых для всех значений х из множества X, образует вполне определенную функцию , также заданную на множестве X. Эту функцию называют предельной функцией последовательности {}.

        Аналогично, если функциональный ряд (1.1)  сходится на некотором множестве X, то на этом множестве определена функция S(x), являющаяся предельной функцией последовательности его частичных сумм и называемая суммой этого ряда.

        Например, последовательность функций

                                                                 (1.3)

сходится на всем отрезке 0  х  1. В самом деле,  = 1 для всех номеров n, т. е. в точке х = 0 последовательность  сходится к единице.

        Если же фиксировать любое х из промежутка 0  х  1, то все  , начиная с некоторого номера (зависящего от x), будут равны нулю. Стало быть, в любой точке х промежутка 0  х  1 последовательность  сходится к нулю.

        Итак, последовательность  сходится на всем отрезке 0  х  1 к предельной функции f(x), имеющей разрыв при x=0:

Ниже изображены графики функций последовательности  и предельной функции f(x).

1.3. Понятие равномерной сходимости на множестве.

        Пусть последовательность ,,...,,...                              (1.4)

сходится на множестве X к предельной функции f(x).

        Определение 1. Будем говорить, что последовательность (1.4) сходится к функции f(x) равномерно на множестве X, если для любого  > 0иможно указать такой номер N(ℰ), что при n N(ℰ) для всех хX справедливо неравенство                                                                           (1.5)

        Замечание 1. В этом определении весьма существенно то, что номер N зависит только от ℰ и не зависит от х. Таким образом, для любого ℰ > 0 найдется универсальный номер N(ℰ), начиная с которого неравенство (1.5) справедливо сразу для всех х из множества X.

        Замечание 2. Из сходимости последовательности { } на множестве X вовсе не вытекает равномерная сходимость ее на этом множестве. Так, последовательность (1.3) из рассмотренного выше примера  сходится на всем отрезке [0, 1] (это установлено выше), но не равномерно. Для того, чтобы доказать это, можно рассмотреть последовательность точек  = 1/(2n) (n = 1, 2,..), принадлежащих отрезку [0, 1]. В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера n) справедливы соотношения = , f() = 0. Таким образом, для любого номера n

т. е. при ℰ   неравенству (1.5) нельзя удовлетворить сразу для всех точек х из сегмента [0, 1] ни при каком номере n.

        Замечание 3. Равномерная на множестве X сходимость функциональной последовательности { } к функции f(x) эквивалентна сходимости числовой последовательности {}, члены  которой представляют собой точные верхние грани функции  на множестве X.

        Замечание 4. Из определения 1 непосредственно вытекает, что если последовательность {} равномерно сходится  к f(x) на всем множестве X, то {} равномерно сходится к f(x) и на любой части множества X.

        В качестве примера функциональной последовательности, равномерно сходящейся на некотором множестве X. Рассмотрим все ту же последовательность (1.3), но не на всем отрезке [0, 1], а на отрезке [,1], где — фиксированное число из интервала 0 <  < 1. Для любого такого  найдется номер, начиная с которого все элементы  равны нулю на отрезке [, 1]. Так как предельная функция f(x) также равна нулю на отрезке [, 1], то на всем этом отрезкенеравенство (1.5) будет справедливо для любого ℰ > 0, начиная с указанного номера. Это доказывает равномерную сходимость последовательности (1.3) на отрезке [, 1].

        Определение 2. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве X к своей сумме S(x), если последовательность {} его частичных сумм сходится равномерно на множестве X к предельной функции S(x).

1.4. Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости функциональных последовательностей (критерий Коши)

        Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность {}  равномерно на множестве X сходилась к некоторой предельной функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы для любого ℰ > 0 нашелся номер N(ℰ) такой, что

                                            (1.6)

Доказательство необходимости

         Пусть последовательность функций  равномерно сходится на

множестве Х, где Х – область определения этих функций. Требуется доказать, что для ∀ℰ •0 ∃ N ∈N, ∀νn ≥ N , p∈N и ∀ х∈ Х :

 Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности , существует такая предельная функция , к которой эта последовательность сходится, т.е. ∀ℰ • 0, ∃N ∈N, ∀n ≥ N , ∀х∈ Х  При тех же условиях существует такой номер N, что при ∀(n + p) • N будет выполняться неравенство:

        .

        Если сложить эти два неравенства и воспользоваться свойством модуля разности двух действительных чисел: , то

Следовательно, ∀ℰ • 0,  ∀n • N ,    p∈N.

Доказательство достаточности

Пусть ∀ℰ • 0 ∃ N ∈N: ∀n • N , p∈N, х∈ Х:   

Требуется доказать, что { }  равномерно сходится к предельной функции  на X.

        По условию достаточности выполняется неравенство. Какое бы х из Х не было взято, функциональная последовательность в этой точке {}  является числовой последовательностью. Следовательно, выполняется критерий Коши сходимости числовой последовательности, т.е. последовательность {} сходится в каждой точке х∈ Х .

Значит, ∀ х∈ Х у функциональной последовательности { }  существует конечный предел, а это доказывает существование предельной функции для функциональной последовательности:  , т.е. выполняется неравенство: , перейдем к пределу при р→∞, а постоянном n,неравенство:  - условие равномерной сходимости функциональной последовательности по определению.

Теорема доказана.

1.5. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов

        Определение. Последовательность функций {} называется равномерно ограниченной на множестве Х, если существует такое вещественное число А, что для всех х из множества Х  и для всех номеров n справедливо неравенство .

        Теорема 2.  (признак Дирихле-Абеля).

Функциональный ряд   сходится равномерно на множестве Х, если выполнены следующие условия:

1)        последовательность  является невозрастающей на множестве Х и равномерно на этом множестве сходится к нулю;

2)        ряд   имеет равномерно ограниченную на множестве Х последовательность частичных сумм.

        Например, для доказательства равномерной сходимости ряда

                                                                                                  (1.7)

по признаку Дирихле-Абеля надо показать, что ряд

                                                                                                    (1.8)

обладает равномерно ограниченной последовательностью частичных сумм, так как последовательность {} (для всех x) не возрастает и равномерно стремится к нулю.

Так как   , то суммирование всех таких выражений для k от 1 до n дает равенство

Отсюда

        и для всех n справедливо неравенство

                                                                                            (1.9)

        Из неравенства (1.9) очевидно, что последовательность {} частичных сумм ряда (1.8) равномерно ограничена на любом фиксированном отрезке, не содержащем точек  (m= 0, ±1, ±2, ...), ибо на любом таком отрезке | sin()| имеет положительную точную нижнюю грань.

        Итак, по признаку Дирихле-Абеля , что ряд (1.7) сходится равномерно на любом отрезке, не содержащем точек  = 2, где  m = 0, ±1, ±2, ...

Теорема 3. (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд

                                                                                      (1.10)

определен на множестве Х  и если существует сходящийся числовой ряд
  такой, что для всех х из множества Х  и для любого номера k справедливо неравенство

                                                                                         (1.11)

то функциональный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве Х.

Доказательство

Согласно критерию Коши для числового ряда , для любого ℰ > 0 найдется номер N(ℰ) такой, что для всех nN(ℰ) и для любого натурального р справедливо неравенство

                                                                                          (1.12)

Из неравенств (1.11) и (1.12) и из того, что модуль суммы не превосходит суммы модулей, получим

 (для всех nN(ℰ), всех натуральных р и всех х из множества Х ).

Согласно критерию Коши функциональный ряд (1.10) сходится равномерно на множестве Х.

Теорема доказана.

Замечание . Признак Вейерштрасса не является необходимым.

В самом деле, выше установлено, что ряд (1.7) сходится равномерно на любом отрезке, не содержащем точек = 2 (m= 0, ±1, ±2, ...). В частности, ряд (1.7) сходится равномерно на отрезке [,]. Однако на указанном отрезке модуль k-го члена ряда (1.7)   имеет точную верхнюю грань, равную , т. е. мажорирующий числовой ряд  представляет собой заведомо расходящийся гармонический ряд.

2. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

2.1. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

        Теорема 4. Если функции (x) непрерывны в точке ∈Х и функциональный ряд  равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S(х) тоже непрерывна в точке .

Доказательство

Пусть (x) - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы функциональный ряд равномерно

сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной

последовательности можно записать: ∀ℰ), ∃N ∈N,  ∀n ≥ N:

 .

Так как функции   исследуемого ряда непрерывны в точке  по условию теоремы, то частичная сумма  будет непрерывна в точке , как сумма,  состоящая из конечного числа непрерывных функций, по теореме о непрерывности функции, полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

(x)= (x)+ (x) +…+ (x) .

На основании определения непрерывности функции Sn (x) в точке на языке

(  −  ) можно записать: ∀ℰ •0 )  : ∀ х∈Х ,  

 .

Так как последовательность функций {} будет равномерно сходиться к предельной функции S(x) , то и последовательность функций

{} будет тоже равномерно сходиться к S() .

На основании определения равномерной сходимости функциональной

последовательности {} можно записать: (∀ℰ • 0), (∃N ∈N), (∀n • N ):  .

Если сложить эти три неравенства одинакового смысла:  и воспользоваться  свойством

модуля суммы действительных чисел ≤  +, то: .

Следовательно,   - получено условие непрерывности функции S(x) в точке  .  

Теорема доказана.

Замечание.

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

 или ).

2) , то есть, предел функционального ряда  равен сумме пределов его элементов.

        Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда  равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

        Теорема 5. Если функции (x), n∈N непрерывны в точке ∈X и равномерно сходятся к функции S(x) на множестве Х, то и функция S(x) непрерывна в точке  и выполняется равенство:

 (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

         Так как функции (x) равномерно сходятся в предельной функции S(x) на множестве Х  на основании теоремы 4, то можно записать равенство:

        Функция S(x) является непрерывной в точке  множества Х на основании теоремы 4, то есть:  . Следовательно,

.

        Так как по условию теоремы функции (x) непрерывны в точке ∈X , то для пределов функции в точке можно записать

Переход к пределу при n →∞ в последнем равенстве: .

        Так как последовательность функций {}  равномерно сходится к предельной функции S() , то: , следовательно,

.

         Правые части полученных равенств равны, значит, равны и левые:

Теорема доказана.

2.2. Почленное интегрирование функциональных рядов на R.        Теорема 6. Если функциональная последовательность {} сходится к предельной функции f(x) равномерно на отрезке [а,b] и если каждая функция  интегрируема на отрезке [а,b] , то и предельная функция f(x) интегрируема на сегменте [а,b] , причем указанную последовательность можно интегрировать на сегменте [а,b] почленно, т. е. предел  существует и равен .

Доказательство.

         Пусть ℰ - произвольное положительное число. В силу равномерной сходимости последовательности {} к f(x) для фиксированного ℰ > 0 найдется номер N(ℰ) такой, что при всех n N(ℰ) и при всех х из отрезка [а,b] справедливо неравенство                                           (2.1)

        Если будет доказано, что предельная функция f(x) интегрируема на отрезке [а,b], то, используя известные оценки интегралов и неравенство (2.4), можно будет получить неравенство

 (для всех n N(ℰ)).

        Тем самым будет доказано, что предел  существует и равен , и  останется доказать только интегрируемость функции f(x) на отрезке [a,b].

        Пусть отрезок  [а,b] разбит при помощи произвольных точек

а = < < ...  = b на m частичных отрезков   (k =1, 2, ..., m),  (соответственно ) обозначено колебание на k-м частичном отрезке   функции f(x) (соответственно  ) . Для любого ℰ > 0 и любого k = 1,2,..,m найдется достаточно большой номер n, для которого справедливо неравенство  .                                     (2.2)

В самом деле, каковы бы ни были х' и х" из отрезка , для них справедливо неравенство

(2.3)

        В силу равномерной сходимости {} к f(x) для любого ℰ > 0 найдется номер n такой, что для всех x из [a,b] будет справедливо неравенство (2.1).         

Таким образом, для этого номера n

и, стало быть, в силу (2.5)

        Из последнего неравенства и из произвольности точек  х' и х" сразу же вытекает справедливость для выбранного номера n неравенства (2.2).

        Пусть для произвольного разбиения отрезка [a,b] символами S и s обозначается верхняя и нижняя суммы функции f(x), а символами  и  -верхняя и нижняя суммы функции . После умножения неравенства (2.2) на длину k-гo частичного сегмента ∆ и после этого суммируя его по всем

k = l,2,..., m, мы получим неравенство

S-s                                                                                                (2.4)

        Неравенство (2.4) установлено для произвольного разбиения отрезка [а,b]. В силу интегрируемости функции  на отрезке [а,b] найдется такое разбиение этого отрезка, для которого  и, стало быть, на основании (2.4)  S  s < 2ℰ. Так как ℰ — произвольное положительное число, то последнее неравенство доказывает интегрируемость f(x) на отрезке [а, b].

Теорема доказана.

        Эта теорема может быть сформулирована в терминах функциональных рядов:

        Если функциональный ряд (2.1) сходится к своей сумме S(x) равномерно на отрезке [а,b] и если каждый член этого ряда  представляет собой функцию, интегрируемую на отрезке [а,b] , то и сумма S(x) интегрируема на отрезке [а,b] , причем указанный ряд можно интегрировать на отрезке [а,b] почленно, т. е. ряд

сходится и имеет своей суммой .

2.3. Почленное дифференцирование функциональных рядов на R.

        Теорема 7. Пусть каждая функция  имеет на отрезке [а,b] производную , причем последовательность производных {} сходится равномерно на отрезке [а,b] , а сама последовательность {} сходится хотя бы в одной точке  отрезка [а,b]. Тогда последовательность {} сходится к некоторой предельной функции f(x) равномерно на всем отрезка [а,b] , причем эту последовательность можно дифференцировать на отрезке [а,b] почленно, т. е. всюду на отрезке   [а,b] предельная функция f(x) имеет производную , являющуюся предельной функцией последовательности {}.

Доказательство.

Сначала докажем, что последовательность {} сходится равномерно на отрезке [а,b]. Из сходимости числовой последовательности {} и из равномерной на [а,b] сходимости {} заключаем, что для произвольного ℰ > 0 найдется номер N(ℰ) такой, что

  ,                                   (2.5)

для всех nN(ℰ) всех натуральных р и (это относится ко второму неравенству (2.5)) всех х из [а,b].

Пусть х — произвольная точка отрезка [а,b]. Для функции [] при любых фиксированных n и р выполнены на отрезке [] все условия теоремы Лагранжа. По этой теореме между х и  найдется точка Ѯ такая, что

        Из последнего равенства и из неравенств (2.5) с учетом того, что, получим, что.

        Но это и означает, что последовательность {} равномерно на отрезке [а,b] сходится к некоторой предельной функции f(x).

        Остается доказать, что в любой точке  отрезка [а,b] предельная функция f(x) имеет производную и что эта производная является предельной функцией последовательности {}.

        Фиксируем на отрезке [а,b] произвольную точку  и по ней положительное число  такое, чтобы ℰ - окрестность точки  целиком содержалась в [а,b] (в случае, если  является граничной точкой сегмента [а,b] под ℰ - окрестностью точки  мы будем подразумевать правую полуокрестность [а,a+) точки а или соответственно левую полуокрестность (b-,b] точки b).

        Обозначим символом {∆x} множество всех чисел ∆x, удовлетворяющих условию 0 < |∆x | <  при а <  < b, условию О < ∆x <  при  = а и условию  < ∆x < 0 при  = b, и докажем, что последовательность функций аргумента ∆x

сходится равномерно на указанном множестве {∆x }.  

        Для произвольного ℰ > 0 в силу равномерной сходимости {} найдется номер N(ℰ) такой, что    

                                                                                        (2.6)                                    

для всех х из [а,b], всех nN(ℰ) и всех натуральных р.

Заметив это, фиксируем произвольное ∆x из множества {∆x} и применим к функции [] (при любых фиксированных n и р) на сегменте [, + ∆x] теорему Лагранжа. По этой теореме найдется число  из интервала 0 <  < 1 такое, что

Из последнего равенства и из неравенства (2.6), справедливого для всех точек х отрезка [а,b], получим, что

для любого ∆x из {∆x }, любого n  N(ℰ) и любого натурального р. Таким образом, последовательность {} сходится равномерно на множестве {∆x} (в силу критерия Коши). Значит, функция  , являющаяся предельной функцией последовательности {}, имеет при ∆x предельное значение, причем

.

Это и доказывает, что производная функции f(x) в точке  существует и равна.  

Теорема доказана.

3.Равномерная сходимость в примерах и задачах.

3.1. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пример 1. Доказать, что последовательность {} сходится равномерно на множестве Е, если:

1.  , E= ;
2.   , E= [0; + ;
3.  , E= [0; +.

Решение:

1) В этом случае f(x)=1 (т.к. ), поэтому  , т.к. . Следовательно, , x∊.

2) Заметив, что для всех xE и для всех nN выполняются неравенства

0  , , получаем 0  .

 Следовательно,  .

3) Так как при  и  справедливо неравенство , то  , откуда получаем  , .

Пример 2. Доказать неравномерную сходимость последовательности {}  на множестве Е, если:

1) , E=[0;1) ;

2) =  , E=[0; 2] ;

3) , E=[0;+.

Решение:

1) В этом случае , x  E. Покажем, что выполняется достаточное условие неравномерной сходимости последовательности. Возьмем  , тогда x [0;1) при n  N,

и поэтому последовательность  сходится к f(x)=0 на множестве [0;1) неравномерно.

2) Полагая  и учитывая, что f(x)=0, получаем

.

Условие равномерной сходимости последовательности выполняется при  , и поэтому последовательность {}  сходится к f(x)=0 на множестве E=[0; 2] неравномерно.

3) Так как предельная функция f(x)=, то взяв , получаем

Таким образом,  nN условие неравномерной сходимости последовательности выполняется при  =, и поэтому последовательность {} сходится к f(x)= на множестве [0; +) неравномерно.

Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость последовательность {} на указанных множествах:

1) , E=[0;1);

2), =[0;+), =[ ;

3) , E=[1;+).

Решение:

1) В этом случае предельная функция f(x)=0. Покажем, что выполняется условие неравномерной сходимости последовательности функций. Найдем точки экстремума функции  на множестве Е. Уравнение  имеет внутри отрезка [0;1] единственный корень x==  , причем   nN.

Заметим, что если x(0;), то , а если x(;1), то . Поэтому sup.

 Следовательно, sup.

Условие неравномерной сходимости последовательности функций выполняется, и поэтому , x[0;1].

2) В этом случае предельная функция , т.к.

Кроме того, , и поэтому . Вычислим sup. Найдем экстремумы функций .  Уравнение  

имеет на множестве  единственный корень  , причем

.

Так как  при  и  при  , то функция  возрастает на промежутке  и убывает на промежутке (). Следовательно, sup sup.

Условие неравномерной сходимости последовательности функций не выполняется, и поэтому последовательность {} сходится к  на множестве  неравномерно.

Покажем, что на множестве  последовательность {} сходится к  равномерно. Выберем номер  таким, чтобы выполнялось неравенство  Тогда для каждого  функция  будет убывающей на множестве , и поэтому  и  будут выполняться неравенства , где  при  Следовательно, , .

3) Покажем, что выполняется критерий равномерной сходимости последовательности функций. Возьмем , , , тогда

Поэтому последовательность {} не является равномерно сходящейся на множестве Е. Заметим, что ,

3.2. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов.

Пример 1. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда , если:

1.  ;
2. ;
3.  .

Решение:

1) Ряд  абсолютно сходится, если , и расходится, если . При  этот ряд сходится неабсолютно, а при  - расходиться. Поэтому ряд

абсолютно сходиться, если , т.е. если  , и сходиться неабсолютно, если , т.е. при . При других значениях  этот ряд расходится. Итак, полуинтервал - область сходимости, а интервал  - область абсолютной сходимости ряда  .

2) По признаку Даламбера ряд

абсолютно сходится, если , и расходится, если . При  этот ряд сходится неабсолютно (признак Лейбница), а при  - расходиться. Поэтому ряд  абсолютно сходится при тех значениях , для которых выполняется неравенство . Решая это неравенство, получаем . Следовательно, ряд  абсолютно сходится при . Если , то , .

Поэтому ряд  сходится неабсолютно. Итак, область сходимости ряда  - промежуток , а область абсолютной сходимости -интервал .

3) Пусть ; тогда , и поэтому ряд  абсолютно сходится, если .

 Пусть . Так как , то, полагая , получаем , где  Следовательно, ряд  абсолютно сходится, если .

Если , то  , и поэтому ряд расходится при  и . Итак, область сходимости и область абсолютной сходимости ряда  - множество, полученное из R удалением точек  и .

Пример 2. Доказать, что ряд  равномерно сходится на множестве Е, если:

1) , Е

2) , Е 

Решение: 

1) Если , то

Так как , то  , и поэтому  , откуда следует, что , т. е. ряд равномерно сходится на множестве Е.

2) Заметив, что  , получим  , откуда .

Так как , то , , откуда следует, что ряд равномерно сходится на множестве Е.

Пример 3. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать абсолютную и равномерную сходимость ряда  на множестве Е, если:

1)

2)

3)

Решение:

1) Так как для всех  и для всех  выполняются неравенства , то   . Из сходимости ряда  следует абсолютная и равномерная сходимости ряда  на R.

2) Пользуясь тем, что при  выполняются неравенства  , и учитывая, что , получаем

Из сходимости ряда  следует абсолютная и равномерная сходимости ряда .

3) Пусть , тогда  при , и поэтому  - возрастающая функция при . Так как , то . Из сходимости ряда , где , следует абсолютная и равномерная сходимости ряда  на множестве .

Пример 4. Исследовать на сходимость и равномерную сходимости на множестве E ряд , если:

1)  , ;

2) , ;

3) ,

Решение:

1) Если x > 0, то , откуда следует сходимость ряда на множестве Е. Пусть , тогда , . Таким образом, выполняется условие

,

и поэтому ряд сходится неравномерно на множестве Е.

2) Заметим, что , а если , то  , откуда следует, что ряд сходится на множестве Е. Для любого  возьмем  . Заметим, что если  то , и поэтому

т. е. выполняется условие  при . Следовательно, ряд сходится неравномерно на множестве Е.

3)  Если x > 0, то , так как  при Поэтому ряд сходится на множестве E. Покажем, что для этого ряда на множестве Е выполняется условие

.

Действительно, для любого возьмем

Следовательно, ряд сходится неравномерно на множестве Е.

Заключение.

        В данной курсовой работе рассмотрена тема "Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов". Тема очень обширна и имеет большое значение не только в математическом анализе, но и в других областях.

         В теоретической части курсовой работы представлены две главы. В первой главе даны понятия функциональной последовательности и функционального ряда. Рассматривается сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве, говориться о понятии равномерной сходимости. Представлен необходимый и достаточный признак равномерной сходимости функциональных последовательностей (признак Коши). Рассматривается достаточный признак равномерной сходимости функциональных рядов.

        Следующая глава раскрывает свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и функциональных рядов. Раскрываются почленное интегрирование и дифференцирование  функциональных рядов на R.

         Практическая часть курсовой работы содержит примеры и задачи на доказательство равномерной и неравномерной сходимости, на исследование равномерной и неравномерной сходимости, на нахождение области сходимости и абсолютной сходимости ряда,  на доказательство абсолютной и равномерной сходимости ряда.

Список литературы:

1.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II: Учебик.:для вузов. – 4-е изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 464 с.
2.  Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
3.  Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.