Исследовательские работы

Исследовательские работы

Скачать:

Предварительный просмотр:


Предварительный просмотр:

Районная научно-практическая конференция

«Шаги в науку-2019»

Секция: Математика

Исследовательская работа

Тема: Комплексные числа

Медведева Вероника Сергеевна,

МБОУ "ЛСОШ №2 имени Героя

Советского Союза Б.К Кузнецова

"Лаишевского муниципального

района РТ, 9Б класс

Савельева Анна Владимировна, учитель математики

2018 год

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………3

2.Историческая справка…………………………………………………...4

3. Алгебраическая форма комплексного числа…………………………6

4. Геометрическая форма комплексного числа…………………………7

5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме……8

6.Заключение……………………………………………………………....10

7.Литература……………………………………………………………….11

Введение

В данной исследовательской работе изучаются комплексные числа. В рамках школьной программы комплексные числа не изучаются, однако с их помощью можно решить множество задач. Например, уравнение х2= -4  будет иметь 2 корня, хотя в действительных числах данное уравнение решений не имеет.

Итак, объектом исследования являются комплексные числа, а предметом – их свойства и применение в науке.

Целью этой работы является изучение комплексных чисел, описание правил сложения, вычитания и других действий с ними, в том числе вывод формул сокращенного умножения.

Для достижения этих целей были поставлены следующие задачи:

- изучение понятия комплексных чисел;

- изучение истории «открытия» комплексных чисел;

- алгебраическая и геометрическая формы комплексного числа;

- изучение арифметических действий над комплексными числами;

- решение примеров с комплексными числами.

Актуальность работы состоит в том, что в 8 классе как раз начинается подробное  изучение квадратных уравнений с одной переменной. В школьном курсе все действия проходят во множестве действительных чисел, поэтому некоторые такие уравнения не имеют корней. Но на множестве комплексных чисел каждое квадратное уравнение будет иметь 2 корня.

Историческая справка

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за тысячелетия до н. э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби.

   Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э. а древнегреческий математик Диофант в третьем веке н.э. уже умел производить действия над отрицательными числами. В 13 веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в 16 веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой.

 Поэтому итальянский математик Дж. Кардано в 1545 году в своем труде «Великое искусство, или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. А в 1777 году один из крупнейших математиков 18 века – Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа I = √-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17 – 18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, а полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К. Вессель и Ж. Арган.

Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b –действительные числа,  i2= -1,

a = Re z –действительная  часть z (вещественная) (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);

 b = Im z  мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).

b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z = a + b·i  называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим уравнение:

х2+1=0

х2=–1

х=,

Обозначим i= мнимая единица

i2=–1, тогда i3= i2· i=–i

i24=( i2)12=(–1)12=1

i13=( i2)6·i=(–1)6·i=i

Добавив ко всем действительным числам числа мнимые, получим множество комплексных чисел K.

Определение. Числа вида z = a + b·i  (где а–действительная часть;

b–мнимая часть; i– мнимая единица), называются комплексными.

Запись z = a + b·i  называется алгебраической формой комплексного числа.

Геометрическая форма комплексного числа

Ось OX – действительная ось

Ось OY – мнимая ось

Комплексная плоскость

https://studfiles.net/html/2706/62/html_FAsR53dPoj.L288/img-_RdIT2.jpg

Z = a + b·i

ReZ = a– действительная часть

ImZ = b– мнимая часть

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Сумма (разность) комплексных чисел

Z1=a1±b1i;  Z2=a2±b2i

Z1±Z2=(a1±a2)+(b1±b2)i

Пример 1.

Z1=4+3i

Z2=11+4i

Z1+Z2=(4+11)+(3i+4i)=15+7i

Пример 2.

Z1=3-i,

Z2=5+4i

Z1-Z2=(3-5)+(-i-4i)=-2-5i

2) Произведение комплексных чисел

Z1·Z2=(a1+b1i)( a2+b2i)= a1a2+ a1b2i+b1ia2+ b1ib2i=( a1a2- b1ib2)+( a1b2+ b1a2)i

 (учли, что i2=–1)

Пример 3.

Z1=4+2i

Z2=7-3i

Z1·Z2=(4+2i)( 7-3i)=28-12i+14i+6=34+2i

Пример 4.

Z1=3+i,

Z2=4-5i

Z1·Z2=(3+i)(4-5i)=12-15i+4i+5=17-11i

3) Деление комплексных чисел

Для того чтобы выполнить деление комплексных чисел, надо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю:

Z2’=a2-b2i

Следовательно,

Пример 5.

Z1=3+2i

Z2=6+3i

Пример 6.

Решите уравнение х2х+6=0

Решение:

D=b2-4ac=16-24=

x1==2-i

x2==2+i

Пример 7.

Решите уравнение х2х+2=0

Решение:

D=b2-4ac=4-8=

x1==2-i.

x2==2+i

Заключение

В данной работе мы рассмотрели определение комплексных чисел. Была приведена историческая справка, освещен вклад в изучение комплексных чисел одного из величайших ученых  - Фридриха Гаусса.

Также привели примеры арифметических действий с ними, показав на практике, что для данных вычислений не требуется каких-либо специальных знаний, рассмотрели решения квадратных уравнений, которые не имеют действительных корней.

        

Литература

1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.

3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.

9.Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г

10.НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г