Исследовательские работы
Исследовательские работы
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Функции в окружающем мире | 1.25 МБ |
Комплексные числа | 38.87 КБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Районная научно-практическая конференция
«Шаги в науку-2019»
Секция: Математика
Исследовательская работа
Тема: Комплексные числа
Медведева Вероника Сергеевна, МБОУ "ЛСОШ №2 имени Героя Советского Союза Б.К Кузнецова "Лаишевского муниципального района РТ, 9Б класс | Савельева Анна Владимировна, учитель математики |
2018 год
Содержание
1. Введение…………………………………………………………………3
2.Историческая справка…………………………………………………...4
3. Алгебраическая форма комплексного числа…………………………6
4. Геометрическая форма комплексного числа…………………………7
5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме……8
6.Заключение……………………………………………………………....10
7.Литература……………………………………………………………….11
Введение
В данной исследовательской работе изучаются комплексные числа. В рамках школьной программы комплексные числа не изучаются, однако с их помощью можно решить множество задач. Например, уравнение х2= -4 будет иметь 2 корня, хотя в действительных числах данное уравнение решений не имеет.
Итак, объектом исследования являются комплексные числа, а предметом – их свойства и применение в науке.
Целью этой работы является изучение комплексных чисел, описание правил сложения, вычитания и других действий с ними, в том числе вывод формул сокращенного умножения.
Для достижения этих целей были поставлены следующие задачи:
- изучение понятия комплексных чисел;
- изучение истории «открытия» комплексных чисел;
- алгебраическая и геометрическая формы комплексного числа;
- изучение арифметических действий над комплексными числами;
- решение примеров с комплексными числами.
Актуальность работы состоит в том, что в 8 классе как раз начинается подробное изучение квадратных уравнений с одной переменной. В школьном курсе все действия проходят во множестве действительных чисел, поэтому некоторые такие уравнения не имеют корней. Но на множестве комплексных чисел каждое квадратное уравнение будет иметь 2 корня.
Историческая справка
Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за тысячелетия до н. э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э. а древнегреческий математик Диофант в третьем веке н.э. уже умел производить действия над отрицательными числами. В 13 веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в 16 веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой.
Поэтому итальянский математик Дж. Кардано в 1545 году в своем труде «Великое искусство, или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. А в 1777 году один из крупнейших математиков 18 века – Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа I = √-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17 – 18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, а полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К. Вессель и Ж. Арган.
Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b –действительные числа, i2= -1,
a = Re z –действительная часть z (вещественная) (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);
b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).
b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.
Запись комплексного числа z = a + b·i называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим уравнение:
х2+1=0
х2=–1
х=,
Обозначим i= мнимая единица
i2=–1, тогда i3= i2· i=–i
i24=( i2)12=(–1)12=1
i13=( i2)6·i=(–1)6·i=i
Добавив ко всем действительным числам числа мнимые, получим множество комплексных чисел K.
Определение. Числа вида z = a + b·i (где а–действительная часть;
b–мнимая часть; i– мнимая единица), называются комплексными.
Запись z = a + b·i называется алгебраической формой комплексного числа.
Геометрическая форма комплексного числа
Ось OX – действительная ось
Ось OY – мнимая ось
Комплексная плоскость
Z = a + b·i
ReZ = a– действительная часть
ImZ = b– мнимая часть
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
1) Сумма (разность) комплексных чисел
Z1=a1±b1i; Z2=a2±b2i
Z1±Z2=(a1±a2)+(b1±b2)i
Пример 1.
Z1=4+3i
Z2=11+4i
Z1+Z2=(4+11)+(3i+4i)=15+7i
Пример 2.
Z1=3-i,
Z2=5+4i
Z1-Z2=(3-5)+(-i-4i)=-2-5i
2) Произведение комплексных чисел
Z1·Z2=(a1+b1i)( a2+b2i)= a1a2+ a1b2i+b1ia2+ b1ib2i=( a1a2- b1ib2)+( a1b2+ b1a2)i
(учли, что i2=–1)
Пример 3.
Z1=4+2i
Z2=7-3i
Z1·Z2=(4+2i)( 7-3i)=28-12i+14i+6=34+2i
Пример 4.
Z1=3+i,
Z2=4-5i
Z1·Z2=(3+i)(4-5i)=12-15i+4i+5=17-11i
3) Деление комплексных чисел
Для того чтобы выполнить деление комплексных чисел, надо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю:
Z2’=a2-b2i
Следовательно,
Пример 5.
Z1=3+2i
Z2=6+3i
Пример 6.
Решите уравнение х2х+6=0
Решение:
D=b2-4ac=16-24=
x1==2-i
x2==2+i
Пример 7.
Решите уравнение х2х+2=0
Решение:
D=b2-4ac=4-8=
x1==2-i.
x2==2+i
Заключение
В данной работе мы рассмотрели определение комплексных чисел. Была приведена историческая справка, освещен вклад в изучение комплексных чисел одного из величайших ученых - Фридриха Гаусса.
Также привели примеры арифметических действий с ними, показав на практике, что для данных вычислений не требуется каких-либо специальных знаний, рассмотрели решения квадратных уравнений, которые не имеют действительных корней.
Литература
1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.
2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.
3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.
5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.
6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.
7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.
8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.
9.Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г
10.НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г