ЕГЭ

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Данный вид задач представляет собой сложный вид, т.к. эти задачи учащиеся решают очень плохо. После объяснения решения таких задач целесообразно прорешать аналогичные как индивидуально, так и со всеми вместе.

Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем. Рассмотрим задачи, решаемые арифметическим способом.

Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:

• Все получающиеся сплавы или смеси однородны;
• При слиянии двух растворов, имеющих объемы  и, получается смесь , объем которой равен V = +;
• При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.

Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента () в растворе ко всему объему смеси():

==,          .                          

Объемным процентным содержанием компонента А называется величина (3.4), то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса всего соединения.                

Задача  1 Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл. 8% раствора. Сколько миллилитров 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.

Решение: Обозначим через x – количество 4% раствора, а через y – количество 10% раствора. Запишем первое уравнение системы, т.к. должно получится 75 мл. раствора:

 x + y=75.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%, 10% и получившимся растворах:

0,04x + 0,1y =0,08(x+y).

Решим получившуюся систему уравнений:

x+y=75,

0,04x+0.1y=0,08(x+y);

x=25,

y=50.

Значит: 25 мл взяли 4% раствора и 50 мл 10% раствора.

Ответ: 25 мл; 50 мл.

Задача  2 Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?

Решение: Пусть добавили x кг чистого золота;

 3*0,3=0,9(кг) – чистого золота было в сплаве.

 Всего чистого золота стало (x+0,9) кг,

 а сплав массой  (кг) – чистого золота.

Составим и решим уравнение: , x=0,5, т. е. 0,5 (кг) – надо добавить чистого золота.

Ответ: 0,5 кг.

Задача  3 Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение: До сплавления в двух кусках было 300·20/100+200·40/100=140 г олова. После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140·100/500 (%) = 28(%) олова. Ответ: 28%.

Задача 4 Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение: Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:

100 p/100 + 200 q/100=50· (100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42· (300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%

Ответ: 60%

На основе рассмотренных методик разработана технологическая часть димлома.

Задача № 5 Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% -ный раствор?

Составление таких схем поможет детям разобраться в условии и быстрее составить уравнение к задаче.

Можно предложить учащимся  составить другое уравнение, сравнивая массу воды, и сделать вывод о том, какое уравнение проще.

Оставшиеся задачи  школьники решают самостоятельно. На доске можно только составлять рисунок и записывать уравнение.

Задача 6  Сколько граммов 25% -го сахарного сиропа нужно добавить к 200г воды, чтобы концентрация сахара в растворе была 5%.(Эта задача аналогична задаче 4.13)

Задача 7 Сколько граммов 30% -го раствора соли надо добавить к 80 г 12% -го раствора этой же соли, чтобы получить 20% -ный раствор.

Задача 8 Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?

        Для решения этой задачи лучше составить систему уравнений.

Задачи для самостоятельного решения

        Задача 1  К 15л 10%- ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8 %-ный раствор. Сколько литров 5%-ного раствора добавили?         

        Задача 2  В сплаве содержится 15 кг цинка, 8 кг олова и 27 кг меди. Каково процентное содержание составных частей сплава?

        Задача 3  При влажности 99% грибы весят 100 кг. Сколько будут весить эти грибы, если влажность уменьшится на 1%?

Задача 4  В 100 г 20 %-ного раствора соли добавили 300 г ее 10 %-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.

Ответ: 12,5%.

Задача 5 Какое количество воды надо добавить к 100 г 70 %-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5 %-ный раствор уксуса?

Ответ: 1300 г. .

В1    Задачи с ответами, решения некоторых смотри ниже.   ↓

1. Цена на электрический чайник была повышена на 20% и составила 1920 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

2. Цена на электрический чайник была повышена на 15% и составила 1725 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

3. Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 2052 рубля. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Ответы:   1600        1500       1800

4. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 9г. лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 5г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 7 литров маринада?

5. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 100 рублей после повышения цены на 15%?

6. Шариковая ручка стоит 10 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 1000 рублей после повышения цены на 25%?

Ответы:   13             2              80

7. В городе N живет 500000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых работает?

8. В городе N живет 1000000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 25% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых работает? 

9. В городе N живет 2000000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых работает?

Ответы:   260000      637500             1105000

10. Цена на электрический чайник была повышена на 23% и составила 2337 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

11. В городе N живет 1500000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых работает?

12. В летнем лагере 186 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 37 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

13. В летнем лагере 156 детей и 22 воспитателя. В автобус помещается не более 37 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

14. В летнем лагере 171 ребенок и 24 воспитателя. В автобус помещается не более 25 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Ответы:     1900     828750      6      5        8

15. Сырок стоит 8 рублей 30 копеек Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

16.Сырок стоит 7 рублей 90 копеек Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

Ответы:       7     7

17. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 19г. лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 5г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 5 литров маринада?

18. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 11г. лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 5г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 9 литров маринада?

19. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12г. лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 15г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 10 литров маринада?

Ответы:       19   20     8

20. Футболка стоила 500 рублей. После повышения цены она стала стоить 575 рублей. На сколько процентов была повышена цена на футболку?

21. Футболка стоила 300 рублей. После повышения цены она стала стоить 309 рублей. На сколько процентов была повышена цена на футболку?

22. В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, покупатель получает еще одну шоколадку в подарок. Шоколадка стоит 25 рублей. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель за 130 рублей?

23. В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 3 шоколадки, покупатель получает еще одну шоколадку в подарок. Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель за 290 рублей?

Ответы:     15          3        7        10

24. Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 450 рублей после понижения цены на 10%?

25. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 20%?

26. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 15%. Каое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей?

27. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 700 рублей?

Ответы:          16      21        11        4

28. В пачке бумаги 250 листов формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 7 недель?

29. В пачке бумаги 500 листов формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель?

30. Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 52 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 690 рублей, а разовая поездка 19 рублей?

31. Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 44 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 600 рублей, а разовая поездка 20 рублей?

Ответы:        23       20          298         280

32. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,25 г 3 раза в день в течение 18 дней. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

33. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 4 раза в день в течение 16 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

34. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

35. Железнодорожный билет для взрослого стоит 530 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

36. Железнодорожный билет для взрослого стоит 780 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 19 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Ответы:        7          7          34       5300         9750

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Митя 0,14 . 200000 = 28000 руб,

Антон 42000 руб,

Гоша 0,12 . 200000 = 24000 руб,

Борис 200000 – (28000 + 42000 + 24000) = 106000 руб,

106000/200000 = 0,53.

1000000  . 0,53 = 530000 руб.

Ответ.  530000 руб.