Методические разработки
Материалы к урокам
Скачать:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теорема о вписанном угле в окружность . Теорема: вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .
2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность. 2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу. Теорема: если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнительные дуги, их сумма равна 180 градусам.
2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр. Теорема: вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой. AC- диаметр
Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC. 3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.
4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих . Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть = . Теорема 2: угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть
5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих . Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть = Теорема 2: угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
6) Свойства квадрата отрезка касательной Теорема 1: Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть Теорема 2:угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
7) Угол между касательной и секущей Теорема: угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, которую отсекает секущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).
A В О С 23 0 Задача 1
A В С 56 0 О Задача 2
B C A О Задача 3
A B C 34 0 Задача 4
A B C 54 0 D Задача 7
B C A O 50 0 Задача 8
B C A х Задача 7
B C A Задача 8
A B D C 53 0 Задача 9
F B C A 45 0 D 89 0 Задача 10
F B C A 33 0 D 50 0 Задача 11
A B C D 35 0 18 0 K Задача 12
Предварительный просмотр:
Самостоятельная работа рассчитана на 5 мин. Всего вариантов 4 далее они повторяются. Я делаю 20-25. На 2 листах 12 вариантов как расположены смотри в ответах. Переписывание карточки не нужно, просто прикладывается карточка к листочку и пишутся ответы в столбик.
Вариант –2 = а2 – 2аb + b2 = (a + b)2 =(a + b)(a2 – ab + b2) = a2– b2 = a2 + 2ab + b2 = (a – b)2 = (a - b)(a + b) =(a – b)(a2 + ab + b2) | Вариант –1 = (a – b)2 = a2 –b2 =(a - b)(a2 + ab + b2) = а2 – 2аb + b2 = (a + b)2 = (a - b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a2 – ab + b2) |
Вариант –4 = (a – b)(a2 + ab + b2) = (a - b)(a + b) = (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 =(a + b)(a2 – ab + b2) = a2– b2 =(a + b)2 = a2 - 2ab + b2 | Вариант –3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = a2 + 2ab + b2 = (a - b)(a + b) = (a + b)2 = a2 - 2ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) = a2– b2 = (a - b)2 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла Теорема1 . Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. А Х М В С Е К Дано: ВАС, АХ – биссектриса, М є АХ, МЕ АВ, МК АС Доказать: МЕ = МК Теорема 2 ( обратная). Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости, равноудалённых от сторон этого угла.
Серединный перпендикуляр к отрезку Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Дано: АВ – отрезок, РК – серединный перпендикуляр, М є РК Доказать: МА = МВ А В Р К М Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек плоскости, равноудалённых от его концов.
Первая замечательная точка треугольника Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы, О - точка их пересечения Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ Доказательство: АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС, значит, ОМ = ОК ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = О P Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно, О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС. Е Т А В С О У Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника. К М Р
Вторая замечательная точка треугольника Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Дано: АВС, k,n – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, О – точка их пересечения Доказать: р – серединный перпендикуляр к ВС, О є р Доказательство: n – серединный перпендикуляр к АС и О є n , значит, ОА = ОС. k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ. Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р. Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p. А В С k n p О
Вторая замечательная точка треугольника (продолжение) Ещё возможное расположение:
Третья замечательная точка треугольника Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины. (центр тяжести треугольника – центроид) А В С М К Р О Дано: АВС, AM ,ВК,СР - медианы Доказать: АМ ВК СР = О Доказательство проведено ранее: задача 1 п. 62.
Четвёртая замечательная точка треугольника Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке ( ортоцентр). Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений. Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты М А С(К,Н,О) В А В С Н М К О В С А Н К М О
Доказательство: А В С К М Н О Получим: АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ Е Т У АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ. Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС Т. к. ЕТ АС по построению, значит, ВН ЕТ Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ. Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ и АК - серединный перпендикуляр к УЕ. Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ, проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ. Через вершины В, А, С треугольника АВС которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке, значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.
Задача № 680. А В С D К М Дано: АВС, АМ = ВМ, М D AB, AK = KC, DK AC, D є BC . Доказать: D - середина ВС, А = В + С. Доказательство: AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC BD = DC, следовательно, D – середина ВС. АМ = ВМ, М D AB, D є BC по условию, значит, В D = AD а) б) По доказанному В D = AD AD = DC , значит, треугольники АВ D и и АС D – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С. 1 2 ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.