Геометрия
Презентации к урокам
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
30.11. Классная работа Второй признак равенства треугольников.
Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А В С А 1 В 1 С 1
Решите задачу А В С D
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
3.12. Классная работа Третий признак равенства треугольников.
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. А С В А 1 В 1 С 1
Найти А D , если ВС = 12 см; АВ, если С D = 9 см. А В С D
Решение задач в классе. № 136
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Устная работа
Назовите лучи, изображенные на рисунке.
Сколько лучей выходит из точки А?
Как называется фигура, изображенная на рисунке?
Начертите развернутый и неразвернутый углы.
Назовите точки, принадлежащие: 1) внешней области угла; 2) внутренней области угла; 3) сторонам угла.
Задача. Начертите угол MNK и проведите луч NE , исходящий из вершины данного угла и проходящий внутри угла. На сколько углов поделил этот луч данный угол? Сколько всего углов получилось?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Продолжи предложение. Земля вращается вокруг … За зимой следует … Учебник, с.59 Учебник, с.344
Автор первого учебника по геометрии «Начала». Некоторые аксиомы назывались постулатами. Геометрия, изложенная в «Началах» называется евклидова геометрия.
25.01.11. Классная работа. Аксиома параллельных прямых.
Постройте треугольник АВС. Через вершину В проведите прямые параллельные АС. Сколько прямых получилось? Учебник, с.61
В 1823г. пытался доказать 5 постулат. В 1826г. сделал вывод- 5 постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида. Изложил свою «воображаемую геометрию» - неевклидову.
Аксиома параллельных прямых. b
Следствие 1. а b с
Следствие 2. а b с
Прямая d пересекает прямую b . Пересечет ли эта прямая прямую а? Почему? а b d c 100 0 8 0 0 № 199.
Домашняя работа п.27, 28 № 196, 200 (использовать следствия из аксиомы)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Учебник, с. 43. Чтение п.21 Отвечаем на вопросы.
Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках. Окружность – это ( абстрактная, геометрическая, плоская ) фигура, состоящая из ( множества, всех ) точек, расположенных на ( одинаковом, заданном ) расстоянии от ( некоторой, центральной ) точки. Радиусом окружности называется ( линия, прямая, отрезок ), соединяющая(ий) центр окружности с ( заданной, какой-либо ) точкой окружности.
Диаметр окружности – это… А) два радиуса, лежащие на одной прямой; Б) хорда, проходящая через центр окружности; В) прямая, проходящая через две точки и центр окружности.
Центр окружности – это… А) точка, куда ставится ножка циркуля при начертании окружности; Б) середина окружности; В) точка, равноудаленная от всех точек окружности.
Дуга окружности – это … А) часть окружности, выделенная точками; Б) часть окружности, ограниченная двумя точками; В) часть окружности, ограниченная хордой.
Основные элементы окружности.
Решение упражнений в классе. № 143 (устно) № 144 (а) № 146.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Доказать, что Δ АВ D = Δ DCA , если АВ = CD.
Доказать, что Δ АВ C = Δ CDA
Дано: АВ ║ CD. Доказать: BF = ED.
Доказать: BF = ED , если AF = EC.
Задача №265
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
23.12.11. Классная работа. Подобные треугольники.
А С В А1 В1 С1
Определите, подобны ли треугольники . М C A B N K 9 2 4 6 3 4
Итоги урока Какие фигуры называются подобными? Два треугольника называются подобными, если … Какие стороны треугольника называются сходственными? Как определить, подобны ли треугольники?
Домашнее задание пп . 56, 57. ТПО №51(3), №53. Дополнительно: разобрать задачу №535.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока:
Продолжите предложение: При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей… а c b а c b а c b 1 + 2 = 180 1 2 1 1 2 2 накрест лежащие углы равны соответственные углы равны сумма односторонних углов
Продолжите предложение: Два треугольника равны, если …
Назовите пары параллельных прямых А B C D E F K M O R P N Укажите четырехугольники, у которых не более двух параллельных сторон Укажите четырехугольники, у которых стороны попарно параллельны
А B C D AB CD, AD BC Определение Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом
Какими свойствами обладает параллелограмм? А C B D
Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. А В С D Дано: АВС D - параллелограмм Доказать: 1) АВ = С D, BC = AD ; 2) A = C, B = D Доказательство: рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC , AC - общая , 1 2 3 4 1 = 2 и 3 = 4 (как накрест лежащие углы) ∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников) АВ = С D, BC = AD 1 + 3 = 2 + 4 , т.е. A = C, B = D .
Свойство 2 . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. В А С D 1 3 4 Дано: АВС D - параллелограмм В D AC = O Доказать: ВО = О D , АО = ОС Доказательство: рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СО D , АВ С D , В D , AC – секущие 1= 2 и 3= 4 (как накрест лежащие углы) Следовательно: АО = ОС, ВО = О D ∆ АОВ = ∆СО D (по 2-му признаку равенства треугольников) O АВ = С D (противоположные стороны параллелограмма, 2 O
Построение параллелограмма
Построение параллелограмма
Решите задачу 1 M N P K 7 см 4 см Найдите периметр параллелограмма MNPK 2 70 Найдите все углы параллелограмма MNPK Решение 7 см 4 см Р = (7 + 4) · 2 = 22 (см) М = Р = 70 N = K = 180 - 70 = 110 70 110 110
Домашнее задание п. 42, теоремы о свойствах параллелограмма (учить доказательства), № 372 (а,в), 376 (а,в)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача 1. Подобны ли треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 , если известно, что АВ = 10см, ВС = 5см, АС = 7 см, А 1 В 1 = 15см, В 1 С 1 = 7,5см, А 1 С 1 = 9,5см. Если треугольники подобны, найти коэффициент подобия и отношение площадей.
Задача 2. Подобны ли треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 , если известно, что угол А = 37 0 , угол В = 48 0 , угол С 1 = 95 0 , угол В 1 =48 0 .
Задача 3. Подобны ли треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 , если известно, что АВ = 10см, ВС = 8см, А 1 В 1 = 5см, А 1 С 1 = 3см, угол С = углу С 1 = 90 0 . Если треугольники подобны, найти коэффициент подобия и отношение площадей.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Вычислите площадь параллелограмма А В С D 150 0 6 8
Вычислите площадь треугольника 45 0 А В С 4
Вычислите площадь треугольника В С D 100 0 50 0 9 12
Вычислите площадь трапеции А В С D К 5 5 45 0
Вычислите площадь треугольника D В С А 6 3 45 0
Домашняя работа Подготовиться к сам.работе, Учить формулы, РТ, № 43, 44 с.20.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Найдите ВС. С В А 7 5
Найдите АС. А В D С 12 13
Найдите ВС. В А С D О 2 √ 5
Сформулируйте утверждения, обратные данными выясните верны ли они. Сумма смежных углов равна 180 0 . Вертикальные углы равны. В параллелограмме противолежащие стороны равны. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
14.12. Классная работа. Теорема, обратная теореме Пифагора.
Если квадрат стороны Δ равен сумме квадратов двух других сторон, то Δ прямоугольный. А С В
Примечание. 1) Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетский. 2) Прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон называются пифагоровыми.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
10.02.12 Классная работа. Правильные многоугольники Определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Найдите правильные многоугольники.
Правильный многоугольник Формула для вычисления угла α правильного n- угольника Сумма всех углов n -угольника равна
Решение задач. ТПО с.32 № 61, 62, 64, 63.
Домашнее задание п.105, №1081, 1083.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. 1) Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. 2) Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Формулы для вычисления Площадь правильного многоугольника
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Формулы для вычисления Сторона правильного многоугольника
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Формулы для вычисления Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Решение упражнений. ТПО № 65, №70. Домашнее задание. П.106, 107, 108, №1087.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Геометрия Планиметрия Стереометрия stereos - телесный, твердый, объемный, пространственный metreo - измерять
Стереометрия. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.
Обозначение основных фигур в пространстве: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В , B С , CD, …
Геометрические тела: Куб. Параллелепипед. Тетраэдр. Октаэдр.
Геометрические тела: Цилиндр. Конус. Шар.
Геометрические понятия. Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро
Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
Аксиомы стереометрии. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А В С
Аксиомы стереометрии. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А В
Аксиомы стереометрии. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .
Аксиомы стереометрии описывают: А1. А2. А3. А В С Способ задания плоскости А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. а а М g а а а ∩ = М а ⊄
Прочитайте чертеж A С
Прочитайте чертеж B c b a
Прочитайте чертеж
а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC . А С В S D F E Пользуясь данным рисунком, назовите:
а) Две плоскости , c одержащие прямую DE . б) Прямую по которой пересекаются плоскости АЕ F и SBC . в) Плоскость, которую пересекает прямая SB . S В А С F E D Пользуясь данным рисунком, назовите:
S В А С F E D а) Две плоскости , c одержащие прямую EF . б ) Прямую по которой пересекаются плоскости BD Е и SAC . в ) Плоскость, которую пересекает прямая AC . Пользуясь данным рисунком, назовите:
Домашнее задание: Выучить аксиомы. 2) П. 1,2 3) № 1 (в, г); 2(в, г); 6.
Комментарий к задаче № 6: А В С 1 случай: точки лежат на одной прямой. А В С 2 случай: точки лежат в одной плоскости.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Устная работа Сформулируйте аксиому 3. Вспомним утверждение (с.12) Сформулируйте признаки подобия треугольников Теорема об отношении площадей подобных треугольников
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Плоскости Пересекаются Параллельны α β β α α || β α ∩ β
Параллельные плоскости в природе Если стоять спиной к водопаду, скалы образуют геометрически правильные параллельные плоскости
Параллельные плоскости в технике Параллельные плоскости «летают»
Параллельные плоскости в быту
Параллельные плоскости в искусстве Д.Грин «Мечты» Силуэты мальчика расположены в параллельных плоскостях
Признак параллельности двух плоскостей α β а а 1 ДАНО: а|| а 1 , b|| b 1 , а 1 є β , b 1 є β , ДОКАЗАТЬ : α || β b 1 b М а∩ b , а є α , b є α ДОКАЗАТЕЛЬСТВО : а || β и b || β по признаку параллельности прямой и плоскости . Пусть α ∩ β =с, тогда ає α , а || β а || с Но b є α , b || β b || с. Т. О. через т. М проходят две прямые, параллельные с ,что неверно. Значит наше предположение, что α ∩ β неверно, а || β α β с а b М
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны AA 1 = BB 1 . α β 1. Если а || β а || b а b α β А 1 А В 1 В
В классе № 53, 54, 63 (б)
Домашнее задание П. 10-11, № 57, 63(а)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Домашнее задание ТПО № 3-5
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Вспомним: какую фигуру в планиметрии мы называли многоугольником ? фигура, составленная из отрезков; часть плоскости, ограниченная линией .
A B C D
D А С В Поверхность, составленная из четырех треугольников называется тетраэдром. Тетраэдр – DABC . Основные элементы: Грани Вершины Ребра
D А С В Противоположные ребра основание А С В D основание Способы изображения тетраэдра.
Параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВС D и A 1 B 1 C 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ADD 1 A 1 , CDD 1 C 1 и ВСС 1 В 1 А В С D D 1 С 1 A 1 B 1
А В С D D 1 С 1 A 1 B 1 Параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 Грани Противоположные грани Вершины Противоположные вершины Ребра
А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 Диагональ параллелепипеда - отрезок, соединяющий противоположные вершины.
А В С D D 1 С 1 A 1 B 1 Свойства параллелепипеда 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
А В С D D 1 С 1 A 1 B 1 Свойства параллелепипеда 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Решение задач: № 67, 77.
Задачи на построение сечений.
Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники
Задачи № 1, 2 (с.27)
Домашнее задание П.12, 13 (учить конспект). № 66
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
многогранники выпуклые невыпуклые Тела Платона Тела Архимеда Выпуклые призмы и антипризмы Тела Кеплера- Пуансо Невыпуклые призмы и антипризмы Невыпуклые полуправильные однородные многогранники
Правильные многогранники Тетраэдр Гексаэдр Икосаэдр Октаэдр Додекаэдр Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники одного типа.
Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани – правильные многоугольники нескольких типов. Архимедовы тела
тела Архимеда
Выпуклые призмы и антипризмы
Тела Кеплера-Пуансо
Невыпуклые полуправильные однородные многогранники
Невыпуклые призмы и антипризмы
Многогранник, составленный из двух равных n -угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов называется призмой . Призма.
Изображение призмы с данным многоугольником в основании: соединить их концы в той же последовательности, как и на заданном основании провести из вершин многоугольника параллельные прямые отложить на них равные отрезки
Призма (основные элементы) основания боковая грань высота боковое ребро A1 An A2 В 1 В n В 2 A1 A2 …. An В 1 В 2 ….. В n – n- угольная призма
Площадь поверхности призмы Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней S полн = S бок + 2 S осн
Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту Дано: прямая призма h – высота а 1, а 2,… а n - стороны основания P – периметр основания Доказать: S бок = P * h Доказательство: S бок = S 1+ S 2+……+ S n = = а 1* h +а 2* h +…..=а n * h = P * h h а1 а2 а n
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Сначала вспомним как задаётся окружность A B О С D r Окружность (О, r ) r – радиус АВ – хорда CD - диаметр
Решение задач по готовым чертежам (устно) 1. А С О К Найти угол АОК
Решение задач по готовым чертежам (устно) 2. А С В О 5 Найти стороны треугольника АВС
Решение задач по готовым чертежам (устно) 3. О В С Н 5 Дано: ВО = 5 см, ВС = 8 см. Найти: ОН
Решение задач по готовым чертежам (устно) 4. О А Даны окружность с центром О и точка А. Найдите кратчайшее расстояние от точки А до окружности, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка равна: а) 4 см; б) 10 см, в) 7см.
Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? О а r Даны окружность радиуса r и прямая а, не проходящая через центр О окружности. Расстояние от точки О до прямой а равно d .
1) d 2) d = r p O H М d = r ОН= r , точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности ВЫВОД Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r) , то прямая и окружность имеют одну общую точку 3 ) d>r O p М H d>r r ОН >r , поэтому для любой точки М прямой р ОМ ≥ОН >r . Следовательно точка М не лежит на окружности. ВЫВОД Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r) , то прямая и окружность не имеют общих точек Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? d < r d = r d > r две общие точки одна общая точка не имеют общих точек Задача В равнобедренной трапеции АВС D меньшее основание ВС равно боковой стороне, а большее основание в два раза больше С D . С центром в точке D проведена окружность радиусом, равным С D . Докажите, что прямая АС и окружность имеют одну общую точку. А В D E C Решение задач в классе : ТПО №78, №631(а, б). Домашнее задание: п. 70, №631(в, г), № 633.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Касательная к окружности.
Касательная к окружности Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. O s = r M m
Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. m – касательная к окружности с центром О М – точка касания OM - радиус O M m
Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной. окружность с центром О радиуса OM m – прямая, которая проходит через точку М и m – касательная O M m
Свойство касательных, проходящих через одну точку: ▼ По свойству касательной ∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные ∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету: ОА – общая, ОВ=ОС – радиусы АВ=АС и ▲ О В С А 1 2 3 4 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
№ 636, 638 Решение задач:
Домашняя работа П.71, №635, 639
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
. Объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области называют многоугольником. Саму ломаную называют границей многоугольника , а ее внутреннюю область - внутренней областью многоугольника. 05.12.2021 2
Основные элементы многоугольника 05.12.2021 3 Многоугольник – Вершины – Стороны – Диагонали –
Виды многоугольников
У к а ж и т е а) многоугольники; б) выпуклые многоугольники; в) невыпуклые многоугольники.
Сумма углов многоугольника 05.12.2021 6
Окружности Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. (рис.204) Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. (рис. 205) 05.12.2021 7
ВЫПУКЛЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК A B C D 05.12.2021 9 Работа в классе: №641, 647, 652. 05.12.2021 10 Домашнее задание. пар.19 № 643, 648, 653. Начертите: / вариант - выпуклый семиугольник ABCDEFG . II вариант - выпуклый шестиугольник ABCDEF . Запишите в тетрадях: а) вершины многоугольника; б) стороны многоугольника; в) диагонали многоугольника;
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
а Две точки и называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Прямая а называется осью симметрии.
Фигуры, обладающие осевой симметрией
Симметрия широко распространена в природе
Издавна человек использовал симметрию в архитектуре
Две точки и называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка Точка О – называется центром симметрии.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.
Задача. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой а.
Задача. Постройте трапецию, симметричную данной относительно точки А.