МБОУ СОШ лицей №28 им.академика Б.А.Королева

Решения уравнения нелинейного осциллятора

Научная работа

Ученика 10 «в» класса Левицкого Ильи

****

Научный руководитель

       учитель физики                              ______________О.Ю. Кузнецов

Н.Новгород 2014

Содержание

Введение                                                                                                                                     3      

1. Универсальные модели консервативных колебаний: осцилляторы с квадратичной и кубической нелинейностью…………………………………………………………………. 3

1.1.Приведение уравнений к безразмерному виду………………………………………….5

1.2. Осциллятор с квадратичной нелинейностью. Аналитические решения в эллиптических функциях……………………………………………. …………………………………………6

1.3. Осциллятор с кубической нелинейностью-осциллятор Дуффинга.Груз на пружине с нелинейной жесткостью……………………                                                                              12

1.3.1. Примеры колебательных систем, представляющих собой осциллятор Дуффинга.

Математический маятник.…………………………………………………. …………………14

1.3.2. Частица в потенциальном поле…………………………………………………………14

2.Ангармонический осциллятор с квадратичной и кубической нелинейностями. Приближенное решение с комбинационными частотами.…………………………….

3. Точные частные решения уравнения ангармонического нелинейного осциллятора.      16  4.Анализ точного решения нелинейного осциллятора. Сравнение с приближенным решением.                                                                                                                                    17

5. Выводы и заключение………………………………………………………………………20

6. Список используемой литературы                                                                                       21

Введение

Колебания-процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости, которые определяют широкий круг явлений, встречающихся в природе и находящих многочисленные применения в науке и технике. Простейшей колебательной системой с одной степенью свободы является гармонический (линейный) осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением

В данной системе реализуются гармонические колебания вида

Где   - амплитуда колебаний, круговая частота,   - период,    - начальная фаза. Во многих раздела физики движение, процессы и явления описываются более сложным уравнением нелинейного осциллятора, в котором  помимо линейного слагаемого с коэффициентом, равным частоте собственных колебаний в квадрате есть также и нелинейные слагаемые, пропорциональные координате во второй и третьей степени. Модель нелинейного осциллятора описывает, например, многие системы, типа хищник-жертва, нелинейный контур, связанные маятники.

1. Универсальные модели консервативных колебаний: осцилляторы с квадратичной и кубической нелинейностью            

Если величина силы  F(x), возвращающей осциллятор к положению равновесия, нелинейно зависит от величины смещения, то осциллятор перестает   быть   гармоническим.   Пусть,   например,   величина возвращающей силы следующим образом зависит от смещения:

              F(x) = - Kу x + Kа x2  ,                      

где Kа  - коэффициент ангармонизма колебаний.

Величина второго слагаемого зависит как от значения Kа, так и от величины квадрата отклонения от положения равновесия. Поэтому при больших отклонениях эффекты ангармонизма гораздо заметнее, чем при малых.

         В этом случае функция потенциальной энергии U(x)  становится  более  сложной,  чем для гармонического осциллятора:

Зависимость потенциальной энергии  от смещения   в данном  случае представляет собой  кривую,  которая несимметрична  относительно вертикальной оси.  Для нее, в  отличие  от гармонического осциллятора, среднее за  период  одного  колебания  положение  не совпадает с равновесным положением. 

Отклонение тем  больше,  чем больше величина коэффициента ангармонизма по отношению к величине коэффициента упругой силы, и чем больше само значение отклонения х.

Рассматривая нелинейный осциллятор

мы вправе выбрать начало отсчета координаты  из соображений удобства. Пусть оно расположено в точке, где функция обращается в нуль, а потенциал

имеет минимум. Считая функцию гладкой, запишем разложение в ряд Тейлора:

В начале координат, по предположению, находится минимум потенциала, поэтому

.

Константу  имеетсмысл обозначить как квадрат некоторого параметра, а именно.

Кроме того, введем обозначения для второй производной от функции как , а для третьей производной, деленной на 6 как  . Эти величины (коэффициенты) могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Если учесть только первый член, приходим к уравнению гармонического (линейного) осциллятора. Это универсальная модель для описания в линейном приближении консервативных колебаний малой амплитуды вблизи потенциального минимума. Происхождение универсальности обусловлено тем, что разложение гладкой функции  в ряд        Тейлора вблизи нуля начинается с члена первого порядка по.В разложении потенциальной функции вблизи минимума первым отличным от константы является при этом член второго порядка. При учете в разложении Тейлора двух членов получаем уравнение осциллятора с квадратичной нелинейностью

 +,

Потенциальная функция которого содержит члены второй и третьей степени:

.

Осциллятор с квадратичной нелинейностью –универсальная модель, применяемая для описания консервативных колебаний в такой ситуации, когда амплитуда колебаний в потенциальной яме не столь мала, чтобы можно было ограничиться линейным приближением в разложении функции , но и не столь велика, чтобы стали существенными последующие члены разложения Тейлора. В таки случаях говорят о слабой нелинейности.

   Рассмотренная модель непригодна в широко распространенном случае, когда потенциал симметричный. Если  и, соответственно, , то коэффициент

обращается в нуль. Поэтому для учета влияния нелинейных эффектов необходимо принять во внимание следующий, кубический член. Таким образом, приходим к другой универсальной модели, осциллятору с кубической нелинейностью:

++=0.

Его потенциальная функция содержит члены второй и четвертой степени:=+и удовлетворяет постулированному условию симметрии.

В литературе  осциллятор с кубической нелинейностью называют также осциллятором Дуффинга.

1. Приведение уравнений к безразмерному виду

Пусть мы имеем осциллятор с квадратичной нелинейностью и с кубической нелинейностью, описываемый уравнениями и пусть для определенности нас интересует вопрос о поведении решений, отвечающих запуску в начальный момент =0 из заданной точки с нулевой скоростью=0. Можно существенно упростить исследование решений и анализ полученных данных, если привести исходные уравнения к безразмерному виду.

                          Введем новые переменные и, которые отличаются от присутствующих в уравнениях координаты и времени только масштабом:

==

где  пока неопределенные постоянные. Подстановка в уравнения и подбор этих постоянных таким образом, чтобы коэффициенты при нелинейностях были равны единице, дают следующие соотношения между и,:

=1, =1, =1

Уравнение   в новых переменных примет вид:

 ++=0,                                                                                                          (11)                                                                                                     =,

Для уравнения с кубической нелинейностью получим

 ++=0,

если больше нуля и

 +=0,

Если  меньше нуля.

    Новая постановка задачи содержит всего лишь один безразмерный параметр,   = ,       представляющий собой комбинацию, составленную из параметров исходной задачи. Теперь достаточно исследовать поведение решения уравнений (7) и (8) в зависимости от этого единственного параметра. Если имеем две системы, характеризуемые разными значениями параметров, , но одинаковым X, то их динамика будет подобной в том смысле, что все величины, относящиеся к одной системе, можно получить из величин, относящихся к другой, надлежащим пересчетом масштаба. Параметр X, следовательно, является для нашей задачи критерием подобия.
     Эта идея служит основой физического моделирования. Для того, чтобы выяснить детали поведения системы, описываемой определенными уравнениями, но сложной, дорогой или недоступной для прямого экспериментирования, мы можем провести исследование специально изготовленной модели, отличающейся, например, размерами, весом, использованными материалами, и т.д. Если критерии подобия для системы и модели совпадают, то должны соответствовать и детали динамики.
      При этом возникают две возможности,  требующие отдельного рассмотрения.
     Первый случай отвечает тому, что при смещении от положения равновесия нелинейность способствует увеличению возвращающей силы. В механической интерпретации это осциллятор с пружиной, делающейся более жесткой при большей деформации («жесткая пружина»). Уравнение записывается в виде а потенциальная функция =имеет единственный минимум в начале координат.

   Второй случай имеет место, когда при смещении от равновесия нелинейность способствует уменьшению возвращающей силы. В механической интерпретации это пружиной, делающейся более мягкой с ростом деформации («мягкая пружина»). Уравнение имеет вид (13),
а потенциальная функция =  характеризуется наличием минимума в начале координат и двух симметрично расположенных максимумов по сторонам.
В силу универсальности введенных моделей, стоит обсудить их более подробно по отдельности.

1.2. Осциллятор с квадратичной нелинейностью.

Аналитические решения в эллиптических функциях

 Построим фазовый портрет осциллятора с квадратичной нелинейностью

++=0                                                                                     (14)


В дальнейшем мы будем без дополнительных оговорок пользоваться уравнением именно в этой форме. График зависимости силы от смещения имеет вид параболы (рис.1а), а график потенциальной функции
  – вид кубической параболы (рис.1б). В начале координат имеется локальный минимум функции , где
будет располагаться особая точка типа центр. При =−1потенциальная

функция имеет максимум, и здесь находится особая точка седло (рис.1в).

Рис.1 Зависимость силы от координаты (а), потенциальная функция (б), расположение особых точек (в) и фазовый портрет (г) для осциллятора с квадратичной нелинейностью.

Сепаратриса делит фазовую плоскость на три области. Соответственно, имеется три разных топологических типа траекторий.

   1)  Замкнутые траектории, располагающиеся внутри образованной сепаратрисой  петли, охватывающей центр. Они соответствуют финитным движениям – колебаниям вблизи локального минимума потенциала (рис.2а).

   2)  Незамкнутые траектории, расположенные слева от сепаратрисы. Они отвечают   движениям по левому склону потенциального рельефа с уходом на минус бесконечность на больших временах (рис2б.).

   3)  Незамкнутые траектории, расположенные справа от сепаратрисы. Им соответствуют движения, которые захватывают, как левый склон потенциального рельефа, так и область ямы, но энергия слишком велика, чтобы произошел захват в области минимума потенциала. На больших временах происходит также уход на минус бесконечность (рис.2в).

Можно получить точные аналитические решения уравнения осциллятора с квадратичной нелинейностью в эллиптических функциях. Если умножить обе
части уравнения (14) на , то можно один раз проинтегрировать полученное выражение и получить первый интеграл (интеграл энергии)

+=E,                                                    (15)

    где E— полная энергия. Понятно, что физический смысл имеют только финитные движения внутри потенциальной ямы. Им соответствуют значения
0   .    

Рис.2.Различные типы движений для осциллятора с квадратичной нелинейностью и соответствующие области на фазовой плоскости, занимаемые траекториями определенного топологического типа.

      Выражая  из (15) и разделяя переменные, получаем
=±                                            (16)

Подкоренное выражение в правой части (16) представляет собой полином с тремя

нулями, которые обозначим как и(рис.3), причем колебания происходят в области ≤≤.                            . Начальное  условие поставим в виде (11). Тогда  =/2 +/3. После не представляющих принципиальной сложности вычислений можно найтии,

и привести выражение (16) к виду

=±                                                       (17)

Если сделать замену   =+,                                                 (18)                    

где - . При изменении  от 0 до переменная x изменяется от  до .
Уравнение (17) принимает вид:

=±,, где                                                                 (19)                


                                                          (20)

Очевидно, что всегда выполняется условие ≤ 1. Используя  эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби, нетрудно проинтегрировать уравнение (19) и найти выражение для периода колебаний

=2,                   (21)

а также зависимостии:

,

=+                                              (22)
 Для слабонелинейных колебаний вблизи дна потенциальной ямы можно приближенно считать, что  , см. рис. 3). Следовательно, будем иметь ,
 Тогда из формул (21), (22) видно, что период колебаний близок к периоду линейного осциллятора, , и

+                                                            (23)
Здесь мы учли, что при малых значениях модуля эллиптические функции приближенно переходят в тригонометрические.

При , близкомк единице выражения (22) описывают сильно нелинейные

периодические колебания, называемые иногда кноидальными (поскольку решение выражается через эллиптический косинус Якоби — кноиду).

Наконец, для движения по сепаратрисе имеем =-1, =,

( см. рис.3). В этом случае эллиптические функции выражаются через гиперболические  и выражение (22) дает
                                                                                        (24)
Характерные осциллограммы колебаний (т.е. зависимости x(t) в различных случаях приведены на рис. 4..

Рис.4. Характерные осциллограммы колебаний осциллятора с квадратичной нелинейностью

а — квазигармонические колебания; б — кноидальные колебания; в — движение по сепаратрисе

2. Осциллятор с кубической нелинейностью (осциллятор Дуффинга)

Перейдем к осциллятору с кубической нелинейностью. Как было указано, следует различать два случая, которые в механической интерпретации соответствуют «жесткой» и «мягкой» пружине.

В первом случае записываем уравнение

=0                                                                               (25)                

 График зависимости силы от смещения имеет вид кубической параболы (рис. 5а), а график потенциальной функции=+  – вид симметричной кривой с единственным минимумом в начале координат (рис. 5б). Там будет располагаться особая точка типа центр, других особых точек нет (рис.5в). На фазовом портрете (рис. 5г) имеется единственный тип траекторий – замкнутые орбиты, охватывающие центр и соответствующие периодическим колебаниям.

 Выберем начальные условия в виде (11а), так что +. Тогда из закона сохранения энергии будем иметь

=  (26)

Осуществляя замену

=                                                                                     (27)              

и разделяя в (26) переменные, приведем это соотношение к виду

    ,                                    (28)        

где  

.                                                                          (29)

Колебания, очевидно, происходят в пределах  при этом изменяет-

ся от нуля до . Интегрируя выражение (28) по замкнутой фазовой траектории, находим период колебаний

.                                                    (30)                                

При , что соответствует движению вблизи дна потенциальной ямы, имеем . При модуль эллиптического интеграла стремится к  и из выражения (30) можно получить

.                                                                (31)

Таким образом, с ростом амплитуды период колебаний стремится к нулю как . Нетрудно также найти зависимость . Из соотношения (28) получаем, что

=

=                                                                                .(32)

Случай осциллятора с «мягкой» пружиной рассматривается аналогично. Уравнение Дуффинга принимает вид (13) и, в частности,  хорошо описан в [8].

1.3.1. Примеры колебательных систем, представляющих собой осциллятор Дуффинга.  Математический маятник.

Математический маятник представляет собой грузик малого размера массой , подвешенный на длинной тонкой нити . Предполагается, что масса маятника сосредоточена в грузике и нить является нерастяжимой. Уравнение движения без учета трения, где  - восстанавливающая сила. Так как линейная скорость и угловая связаны соотношением ,то

Получаем +=0. Функцию  можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия + ри малых углах отклонения от состояния равновесия (случай слабой нелинейности) в разложении можно ограничиться  первыми двумя слагаемыми, в этом случае получается уравнение вида  (13).

.=0

                      График потенциальной функции  имеет  в данном случае два симметрично расположенных максимума, между которыми имеется локальный минимум в начале координат. В точках максимумов будут находиться особые точки типа «седло», а между ними, в очке минимума – особая точка типа «центр». Соответственно, вблизи нуля как раз и будут наблюдаться периодические локализованные движения. Период колебаний можно выразить через эллиптические функции:

.                                                         (33)

В этом случае,  в отличие от рассмотренного выше случая «жесткой» пружины с ростом амплитуды колебаний период увеличивается.

1.3.2. Частица в потенциальном поле.

Уравнением, аналогичным (12) и (13) , описывается движение, например, частицы в потенциале из двух ям, который определяется функцией :

+

                    При отклонении частицы от состояния равновесия на нее действует возвращающая сила  и можно получить  уравнение движения частицы следующего вида:

.

                    Детально рассматривать этот случай не будем, скажем лишь, что периодические локализованные решения здесь также будут иметь место вблизи двух положений равновесия типа «центр», соответствующим двум минимумам потенциальной функции.

                   Для  периода колебаний будет выражение аналогичное (30) и (33):

.          (34)

С ростом амплитуды период будет уменьшаться.                  

Рис.5.Зависимость силы от координаты (а), потенциальная функция (б), расположение особых точек (в) и фазовый портрет для осциллятора с кубической нелинейностью («жесткая пружина»)

2.Ангармонический осциллятор с квадратичной и кубической нелинейностями. Приближенное решение с комбинационными частотами.

В общем случае найти точные решения в явной аналитической форме довольно трудно. Поэтому в теории колебаний разработаны приближенные или асимптотические методы. Среди таких методов можно назвать метод Линштедта-Пуанкаре, который учитывает эффекты неизохронности (зависимости частоты  или периода колебаний от амплитуды), а также метод многих масштабов[3,7,] и метод Ван-дер-Поля –простейший вариант метода усреднения.

  Здесь приведем приближенное решение уравнения нелинейного (ангармонического) осциллятора, когда не равны нулю оба слагаемых – и с квадратичной,  и с кубической нелинейностями.[7] .

                                                                                    (35)

Решение содержит помимо слагаемого на частоте    (36)

слагаемые с так называемыми комбинационными частотами на «двойной» и «тройной» частотах:

 +.                   (37)

3.Точное частное решение уравнения ангармонического нелинейного осциллятора

В данной работе мы приводим точное решение уравнения (35), которое действительно  при некоторых соотношениях между параметрами ,  и при некоторых значениях начальной энергии нелинейного осциллятора.

   Будем искать решение уравнения  (35) в виде

 ,                                                                                                         (38)

где - неизвестные коэффициенты. При этом подразумевается, что выполняются начальные условия вида (11а). Интересовать будут только решения, имеющие физический смысл, т.е. не уходящие в бесконечность  ни при каких Это накладывает ограничение на коэффициент

Подстановка(38) в (35) приводит к системе алгебраических уравнений для

+=0,                                                                                              (39)

,

+=0.   Из последнего уравнения находим связь между

, тогда для(40)

или. Модуль .

Общий вид полученного решения :

=/(41)

Кроме полученного решения (41) было найдено еще одно частное решение вида:

=                                                                            (42)

Прямой подстановкой в (35) получаем:

                                             ,

         ,

                                       ,

                                                                                                     (43)

При этом физически имеющее смысл решение получается, если

Из соотношений (43) видно, что неизвестных 3, уравнений тоже 3, т.е. есть возможность найти  Но в настоящий момент получить аналитические выражения для этих коэффициентов не удалось. Но если рассматривать  как параметры, то можно показать, что действительно решение вида (42) имеет место.

Например, при A

Функция =,                                     (44)

является решением уравнения ангармонического осциллятора:

                                                                     (45).

Можно привести и другие примеры.

Что касается знаков в точных решениях. Это связано с начальными условиями и движениями по замкнутым траекториям на фазовой плоскости. В одном случае координата уменьшается и производная отрицательна, в другом случае координата увеличивается, производная   положительная.

4.Анализ точных  решений нелинейного осциллятора. Сравнение с приближенным решением.

                                                                         Точное частное решение (41) периодическая функция. При t/,  данное решение справедливо  при полной энергии, равной нулю. Колебания происходят в области, где потенциальная энергии отрицательная. Оно существует лишь , если и Но самое интересное то, что колебания происходят в точности на той же частоте, что и колебания соответствующего линейного осциллятора. Далее, вид полученного решения сильно зависит от параметров , .

Колебания квазигармонические, если амплитуда колебаний мала (рис.4а) и ангармонические, в том числе и кноидального типа (рис.4б), если амплитуда большая. Заметим, что все это верно, если                                                  (46)

. Если , то решение теряет физический смысл, координата устремляется в бесконечность при некоторых временах.

Длительные поиски областей параметров ,  , при которых возможно совпадение  приближенного решения Ландау (37) и точного решения (41) пока не увенчались успехом.

Например, рассмотрим случай, когда в приближенном решении (37) частота  совпадает с . Это соответствует  и противоречит (42). Таким образом, в тех областях значений параметров , , при которых существует приближенное решение (37), нет точного решения  (41), а при тех значениях параметров, при которых есть точное решение, не существует приближенного.  Кроме того, вид решения (37) квазигармонический, т.к. основной вклад дает первая гармоника на основной частоте и амплитуды других слагаемых с двойной  и тройной комбинационными частотами существенно меньше, а вид решения (41) может быть как квазигармоническим, так и кноидальным.

Анализ решения вида (42-44) показал. Что это решение реализуется при положительной полной энергии колебаний, в отличие от решения (41), которое реализуется при нулевой полной энергии, что ничему не противоречит, когда кинетическая энергия отлична от нуля, потенциальная отрицательна, так что полная остается равной 0.

Кроме того, в данной работе нам удалось сравнить приближенное решение (37) с решением (44). Оказалось, что эти оба решения близки друг другу, в начале  и в конце периода колебаний почти совпадают,  но отличаются в средней части графиков, в первой половине периода расхождение самое большое в несколько раз.(см. рис.6)

Вид решений в зависимости от соотношения между ,  решения вида 942) принимают различный вид: квазигармонический, кноидальный и вид сверхнелинейных колебаний (см.рис.7).

. 

Рис.6.

Рис.7

5. Выводы и заключение

В данной работе рассмотрены решения нелинейного ангармонического осциллятора с квадратичной и кубической нелинейностями, к уравнению которого приходят при решении различных задач нелинейных колебаний во многих разделах физики -  радиофизике, механике, астрофизике, квантовой динамике.

  В некоторых частных случаях можно получить точные решения, выражающиеся в эллиптических функциях Якоби, а также можно проанализировать поведение нелинейных колебательных систем на фазовой плоскости и определить область параметров, где существуют периодические колебания нелинейного, ангармонического вида, вычислить период колебаний, зависимость периода от амплитуды колебаний.

Найдены точные решения уравнения нелинейного ангармонического осциллятора, справедливыее в некоторой области параметров нелинейности, изучены свойства этого решения и проведено качественное сравнение с приближенным решением, полученным асимптотическим методом.  

6. Список используемой литературы

[1]Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. – М.: Физматлит, 2001.

[2] Мандельштам Л.И.  Лекции по колебаниям. Полное собрание трудов. Т. 4.–М.:Изд-во            АН СССР,  1957.

[3]Рабинович М.И., ТрубецковД.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика.  2000.

[4] Магнус К. Колебания. –М.:Изд-во Мир,  1982.

[5]Крауфорд Ф. Волны. Берклеевский курс физики. Т. 3. – М.: Наука, 1974.  

[6]КозловС.Н., ЗотеевА.В. колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Физический факультет МГУ, 2006.

[7] Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Теоретическая физика.т.1. Механика. – М.: Наука, 1988.

[8] КузнецовА.П.Колебания.Катастрофы.Бифуркации.Хаос. –Издательство ГосУНЦ «колледж», Саратов, 2000.

О некоторых новых решениях обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау и нелинейного уравнения Шрёдингера.

Введение:

Уравнение Гинзбурга-Ландау ( Г- Л) – это одно из основных нелинейных уравнений физики и впервые оно возникло в теории сверхпроводимости .

Оно возникает при описании диффузионного хаоса и диссипативных структур: тепловой конвекции Рэлея-Бенара, плоского течения Пуазейля, течения Тейлора-Куэтта между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами, химических реакций при наличии диффузии . Оно имеет вид, общепринятая запись которого появилась в работе Ньюэлла и Вайтхедта .

(1).

Здесь - комплекснозначная функция от координаты  x и времени t, , ,  – постоянные действительные числа.

Это уравнение (1) также известно как уравнение Курамото-Цузуки .

Иногда уравнение (1) представляют в виде эквивалентной системы двух уравнений в частных производных   :

(2),

где   .

Система (2) в настоящее время хорошо изучена  и имеет следующие простейшие решения:

(3)

В     работе  показано, что (2) имеет также автомодельные решения вида :

(4),

   и             – зависят только от x .

В справочнике  приводятся ещё несколько точных решений уравнения (1) в виде бегущей волны. Там же указывается на одно свойство уравнения  (в модификации   ), что если   – решение уравнения Г- Л, то функция ,                                                                                  (5),                                                         где– произвольные действительные постоянные , тоже будет решением этого уравнения.

В книге     Кудряшова Н.А. приводятся решения (1) , полученные методом гиперболического тангенса при некоторых ограничениях на значения параметров исходного уравнения, в виде уединенных волн:

,   ,                                                    (6)

- действительные постоянные.

Известно также, что уравнение (1) при некоторых значениях параметров не имеет регулярных решений, они принимают стохаcтический характер. .

Целью данного исследования является нахождение точных решений уравнения (1) , которые не были найдены ранее по тем или иным причинам. При этом не ставятся какие-то конкретные начальные и граничные условия.

Глава 1:

Стационарные решения уравнения Гинзбурга - Ландау:

Будем искать решения уравнения (1) , не зависящие от времени, то есть  .

(8)

Разделяем действительную и мнимую части уравнения (8) :

(9)

Рассмотрим частные случаи.

1) Пусть V=0 , тогда получим:

при   уравнения (10.1) и (10.2) тождественны.

Уравнение (10.1) – это уравнение Дуффинга  , поиску решений которого будет посвящена в данной работе отдельная глава. Многие решения этого уравнения давно известны, но тем не менее удалось найти ещё несколько новых, неизвестных ранее решений.  

2) Пусть , тогда система (9) переходит в систему  (11) :

(11)

Видно,  что при  получаем опять уравнение Дуффинга. Следует заметить, что во многих работах рассматривают случай, когда        ,                                  считая, что можно путём замены переменных перейти к этому случаю.  Но из вышеизложенного становится понятно, что тогда и должны быть равны нулю и решения, о которых пойдет речь позднее будут потеряны.

3) Ищем частные стационарные решения вида: .    (12)

После подстановки выражений  (12)  в  (9)  находим, что   , если  , и  , если , причём              A – любое число.

Таким образом,                                                (13)

- решение уравнения (1) при  , а также                    (14)

 при - также частное решение уравнения Г- Л  (1).

Легко убедиться, глядя на уравнение (1), что если известно какое-то частное решение этого уравнения   , то решение  – тоже решения,

и – также является решением , поэтому кроме выражения (13) и (14) есть решения:

(13a)

(13б)

А   кроме того,

(14а)

и

(14б)

Глава 2 :

Решения вида:

Сделаем подстановку   в исходное уравнение (1) Г- Л:

(15)

Если    , то разделяя действительную и мнимую части уравнения (15), получаем:

Частный случай  , приводит к системе:

(16)

При этом  , 1) ,  , 2) -любое число,

А другой частный случай  ,  приводит к аналогичной системе:

(17)

Решение точное есть только, если  ;  ,  или

; -любое число,

Функции a(x) и b(x) удовлетворяют уравнению Дуффинга, решения которого(известные и полученные в данной работе впервые) представлены в следующей главе.

Глава 3:

Уравнение Дуффинга с кубической нелинейностью.

Общее решение уравнения вида                                 (18) , 

где  ,

до сих пор не найдено, но известны частные решения. В работе  приведено решение через эллиптический интеграл 1-го рода:

(19)

где  –корни кубического уравнения  ;    .

На самом деле, гораздо проще выразить периодические решения этого уравнения (18) через эллиптические функции Якоби, почти так же, как это было представлено в работе.

Но есть и небольшое «ноу-хау».

Во-первых, мы будем искать решения уравнения (18) в комплексных числах, опираясь на сведения о свойствах эллиптических функций:  ;   и  и их производных :

;                                                                             (20.1)

;                                                                             (20.2)      (20)

(                                                                              (20.3)  

Во-вторых, вид решений будет отличаться от представленных в работе  выражений и появятся в связи с этим новым подходом неизвестные ранее решения. А именно, согласно труду Л. Милна-Томсона   ,

если учесть мнимое преобразование Якоби:

(21)

где m- параметр, а   -дополнительный параметр эллиптических функций Якоби.

Подстановка выражения (20.1) в уравнение (18) с использованием выражений для нахождения производных от эллиптических функций Якоби  

;        

;                                                          (22)

дает следующие решения:

а) если  , то

(23)

б) если  , то

        (24)

Выражение (24) получено с учетом (21) и того, что .

Подстановка выражения (20.2) в уравнение (18) даёт решение в виде:

(25)

При    k=1 эллиптическая функция  sn           вырождается в гиперболический тангенс  ( th)  (в англоязычной литературе обозначается tanh ) :

(26)

Выражения (25) и (26) – известные достаточно давно решения уравнения Дуффинга, чего не скажешь про решения (23) и (24). Эти решения получены в данной работе впервые, причем, если выражение (23) – в комплексных числах, то (24) – функция действительного переменного.

Если искать решения уравнения (18) в виде (20.3), то можно получить еще одно новое решение в комплексных числах:

(27)

Это выражение с учетом (21) преобразовывается в выражение:

(28)

Заметим, что при  , и выражение (28) становится равным:

(29)

Это натолкнуло на идею, что функция  , возможно, являются частными решениями уравнения Дуффинга с произвольными коэффициентами:                                                              (30)

В дальнейшем эти предположения были проверены и это подтвердилось.

Кроме того,  функции также являются частными решениями уравнения Дуффинга (30) с  произвольными коэффициентами, но именно частными и в комплексных числах.

В процессе исследования уравнения (18) выдвигались некоторые гипотезы в плане поиска других новых аналитических решений. В частности, предполагалось, что функции:

А.      

Б.        (31)

В.        

Также могут являться решениями уравнения (18) в комплексных числах.

И действительно, была найдена еще одна серия точных решений, а именно:

(31.1)

(если )               (31.2)

(31.3)

(31.4)

=- дополнительный эллиптический модуль.

Причем, выражения (31.3) и (31.4) – в действительных числах.

В заключение этой главы стоит упомянуть еще об одной группе(серии) частных решений уравнения (18).

Поиск последних в виде:

привел к такому результату:

(32) 

Причем, здесь c – произвольная действительная константа. Это решение также получено в данной работе впервые. Оно соответствует решению уравнения Г- Л: ,где

И если решение, соответствующее (26) (26a)

упоминается в работе , то, например, решения, соответствующее выражению (25) почему-то обойдено стороной:

(33)

Это решение представляет собой целое семейство решений при разных (а при k=1 оно в точности переходит в (26а))

Глава 4:

Решения уравнения Гинзбурга-Ландау, зависящие от автомодельных переменных  .

Ищем решения уравнения (1) в виде:

(4.1)

(4.2)

Разделяем действительную и мнимую части:

(4.3)

Так как эти уравнения должны быть тождественны, то ;

(4.4)

Откуда получаем, что

Здесь не будем приводить решения (4.3), ранее найденные в работах других авторов. Остановимся лишь на новых решениях.

Первое семейство решений вида или типа ударной волны:

Семейство решений вида или типа ударной волны

(4.5)

Подстановка (4.5) в (4.3) дает:

,,                                   (4.6)

Таким образом, =, ,   ,        - любые действительные числа.

В работе  приводится также общее решение уравнения, аналогичного (4.3) через эллиптическую функцию Якоби (эллиптический синус):

(4.7)

Но это не единственное решение через эллиптические функции. По-видимому, их много, но нам удалось найти лишь следующие решения (и поиск продолжается):

,                                                 (4.8)

2)( )                                               (4.9),

(4.11)

где    ,             любые вещественные числа, (квадрат эллиптического модуля при этом .

Следует также отметить, что если функция  - является решением уравнения Г-Л, то и функция = - тоже является решением этого же уравнения.

В заключение этой главы приведём еще одно новое полученное нами решение (4.3) в параметрическом виде (за основу взято решение из справочника :

                                                                                         (4.12)

любые вещественные числа.

Глава 5.

Решения нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)

Рассмотрим НУШ в классическом варианте

(5.1)

Здесь  комплекснозначная функция, зависящая от времени и одной координаты   .

Будем искать решения (5.1) в виде:

   ,       где .                                 (5.2)

Получим для  уравнение:

(5.3),

Обычно полагают  +=в результате для функции  получают уравнение Дуффинга с кубической нелинейностью и при  находят самое знаменитое и интересное решение – солитон огибающей волнового пакета:

(5.4),

B=,

Первый интеграл уравнения

                           (5.5)                              

выглядит следующим образом:

-                                                  (5.6)

 – потенциальная функция (рис.1 Приложение 1). Фазовый портрет имеет три особых точки – два центра и одно седло. Внутри «потенциальных ям»  - периодические решения вида

=(

а  при:

=( или   =(.                         (5.7)

Покажем, что уравнение (5.5) имеет бесконечное множество решений в виде солитонов типа (5.4).

Будем искать решение этого уравнения в виде:

(5.8)

Нетрудно убедиться в том, что действительно выражение (5.8) является семейством точных решений уравнения (5.5), при этом

(5.9)

Здесь  - любое действительное число, хотя возможно обобщение и на случай комплексных чисел.
                                      (5.10)

Кстати, решение (5.4) является частным случаем решения (5.8), когда   Тогда

=(5.11)

На рис.3 Приложения 1 показано, как выглядит семейство солитонов огибающей волнового пакета (5.8) при разных .

Обратим внимание на то, что уравнение (5.3) по сути является обобщением уравнения (4.3) на область комплексных чисел и все полученные в главе 4 результаты применимы не только для уравнения Г-Л, но и для НУШ.

Исследования показали, что есть ещё много решений (5.5), которые возможно, будут найдены позднее. Приведём ещё одно решение, недавно полученное.

Будем искать решение уравнения (5.5) в виде:

      (                                                                        (5.12)

Подстановка выражения (5.12) в (5.5) дала следующий результат:

                                                                            (5.13)

 =)))                                                       (5.14)        

                                                    (5.15)

Литература.

1. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости.//ЖЭТФ, 1950, т.20, с.1064-1091.

2.Newell A.C.,Whitehead J.A. Review of the finite bandwidth concept, in “Integrability of continuous Systems Ed. H.H.E. Leipholz/ Berlin:  Springer-Verlag, 284.

3. Н.М.Рыскин, Д.И.Трубецков. Нелинейные волны.-М.:Ленанд, 2017.-312с.

4. Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау. Математическое моделирование, т.1, №9, 1989, с.151-158.

5. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction diffusion systems//Prog.Theor.Phys.-1975.-v.54, №3.-p.687-689.

6. Берман В.С., Данилов Ю.А. О групповых свойствах обобщенного уравнения Ландау-Гинзбурга.-ДАН СССР.-1981.-т.258, №1.- с.67-70.

7. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.А.Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.- М.:Наука, 1992.-543 с.

8. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин. Лекции по теории колебаний и волн. Нелинейные колебания. Саратов, 2011, 314 с.

9. И.В.Алименков. Точные решения нелинейного уравнения Шредингера и комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау на R(3+1). Вестник СамГУ.- Естественнонаучная серия. 2006, №3(43), с.5-14.

10. Н.А.Кудряшов. Методы  нелинейной математической физики . М.:МИФИ, 2008.-352 с.

11. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М.Абрамовица и И Стиган. М.Наука, 1979. Л.Милн-Томсон. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции. Гл.16, с.381-400.

12. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

13. А.Д.Полянин, В.Ф.Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.-432 с.

14. Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.:Наука,1966, - 228 с.