Клименко Татьяна Ильинична

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица n×n, заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.
Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n2,
и называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2+1.
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:
7: 12 : 1: 14
2: 13 : 8 : 11
16:,3: 10:,5
9  :6 :15 :4
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n > 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа.
Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.:
2 7 6
9 5 1
4 3 8
 Здесь сумма в каждой строке, диагонали, и в каждом столбце = 15. Это магическая константа M.
M(n) = n(n2 - 1)/2
  Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры ( 1514).
16 | 3 | 2 | 13
5  |10|11|  8
9  | 6 | 7 | 12
 4  |15|14|  1
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.   Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат —нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом).
  Квадрат Дьюдени (n=3)
64 | 1 | 43
13 |37| 61
31 |73| 7
Квадрат Джонсона-мл. (n=4)  
3 | 61 | 19 | 37
43| 31 |  5  | 41
 7 | 11 | 73 | 29
67| 17 | 23 | 13  

Дьявольский квадрат или пандиагональный квадрат — это магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.   Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности .