Слайд 1

Обратная матрица

Слайд 2

Самостоятельно Вариант 1: Вариант 2: 1) Возможно ли умножение матриц 2) Выполните действия а) а) б) б)

Слайд 3

Самостоятельно Вариант 1: Вариант 2 : 3) Вычислите определитель

Слайд 4

Единичная ма трица

Слайд 5

Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент . Обозначают М ij . М 11

Слайд 6

Примеры Для определителя н айти миноры М 2 2 и М 31 М 22 М 31

Слайд 7

Алгебраическое дополнение Обозначают

Слайд 8

Обратная матрица О пределителем квадратной матрицы называют определитель , составленный из элементов этой матрицы:

Слайд 9

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной ) , если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной ), если определитель её равен нулю.

Слайд 10

Теорема . Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А -1 такая, что где Е - единичная матрица того же порядка , что и матрица А.

Слайд 11

Обратная матрица Союзная матрица

Слайд 12

Пример 1. Найти матрицу, обратную для матрицы Решение . Вычислим определитель матрицы:

Слайд 13

Н айдем алгебраические дополнения элементов матрицы А : А 11 А 2 1 А 31 А 12 А 22 А 32 А 13 А 23 А 3 3

Слайд 14

Проверка

Слайд 15

С войства обратной матрицы

Слайд 16

Свойства операций над матрицами : А+В = В+А; А+(В+С) = (А+В)+С; (α+β)А = αА+βА, где α и β – числа; α(А+В ) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА); А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС; А+0 = А; АЕ = ЕА = А.

Слайд 17

Пример 2. Показать , что матрица А является обратной для матрицы В

Слайд 18

Решение:

Слайд 19

Решение: В А = = = = = = =Е

Слайд 20

Пример 3 . Найти , если Решение.

Слайд 1

Системы линейных уравнений Матричный метод

Слайд 2

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД Обозначения : А – матрица данной системы, Х – матрица - столбец переменных, В – матрица - столбец свободных членов.

Слайд 3

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД , , Матричное уравнение: Х= А -1 В

Слайд 4

Решить систему уравнений Решение. А = В = Х = Х = А -1 В Пример

Слайд 5

Решение = = 1 М атрица А имеет обратную матрицу.

Слайд 6

Решение Алгебраические дополнения

Слайд 7

Решение Алгебраические дополнения

Слайд 8

Решение Алгебраические дополнения

Слайд 9

Решение

Слайд 10

Решение Х= А -1 В X = Ответ:

Слайд 11

Решить системы уравнений матричным методом

Слайд 1

Системы линейных уравнений. Правило Крамера .

Слайд 2

Правило Крамера Система n линейных уравнений с n неизвестными Составим из коэффициентов при неизвестных определитель системы:

Слайд 3

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель системы: Вспомогательные определители получим из основного заменой соответствующего столбца столбцом из свободных коэффициентов

Слайд 4

Вспомогательные определители

Слайд 5

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера : Решение. Вычислим определитель системы: то есть система совместна.

Слайд 6

Найдем далее вспомогательные определители: Тогда х 1 =30, х 2 =20, х 3 =-60.

Слайд 7

Решить системы уравнений

Слайд 1

Векторы в пространстве Векторное и смешанное произведение векторов

Слайд 2

Повторение Определение вектора Изображение вектора Векторные величины, примеры Координаты вектора Действия над векторами Угол между векторами Скалярное произведение (определение, правило в координатной форме)

Слайд 3

Система координат в пространстве Координатные оси (названия) Орты Разложение вектора по координатным векторам

Слайд 4

Упорядоченная тройка векторов Три вектора a, b, c будем называть упорядоченной тройкой, если указан порядок следования Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу кратчайший поворот от a к b из точек вектора с виден против часовой стрелки ( по часовой стрелке)

Слайд 5

Правая тройка векторов

Слайд 6

Векторное произведение векторов Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов , если : 1) | | = | || | sinφ , 2) 3) тройка векторов abc правая .

Слайд 7

Геометрический смысл векторного произведения Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах . где φ – угол между .

Слайд 8

Свойство так как изменится на противоположное направление вектора при неизменной и равной площади параллелограмма со сторонами a и b длине этого вектора

Слайд 9

Векторное произведение в координатной форме Если

Слайд 10

Пример Найти площадь треугольника ABC , если координаты его вершин Решение.

Слайд 11

Смешанное произведение Смешанным произведением векторов Называется число Обозначают Численно смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, взятому со знаком + если эта тройка векторов правая, и со знаком -, если эта тройка левая.

Слайд 12

Геометрический смысл смешанного произведения Объем параллелепипеда, построенного н а векторах Объем пирамиды

Слайд 13

Условие компланарности векторов

Слайд 1

Непрерывность функций Асимптоты

Слайд 2

Непрерывность функций Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a , если предел функции при равен значению функции при x=a , т.е.

Слайд 3

Непрерывность функций Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=a , если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. Если условие непрерывности функции в точке x = a нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции .

Слайд 4

Непрерывность функций Для элементарных функций справедливы следующие положения: 1) область непрерывности элементарной функции совпадает с ее областью определения , т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения; 2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого – либо промежутка, но не во всех его точках; 3)элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Слайд 5

Непрерывность функций Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Пример 1. Исследовать на непрерывность функции: y=3x; 2) y=3x 2 -2x .

Слайд 6

Решение . Область непрерывности совпадает с областью определения . Покажем это, используя определение 2. Дадим аргументу х приращение и найдем приращение функции : Найдем Равенство справедливо при всех значениях х, поэтому функция непрерывна при любых значениях х

Слайд 7

Решение 2) , следовательно, она непрерывна при любых значениях x . следовательно, она непрерывна при любых значениях x .

Слайд 8

Непрерывность функций Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию y = x 2 -2 при x =3. Решение. По определению 1: y (3)= 3 2 -2=7. Следовательно, данная функция в точке x =3 непрерывна.

Слайд 9

Точки разрыва функции Если функция y = f ( x ) при x = a имеет разрыв , то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции f ( x ) при a слева и справа. Различают три основных вида разрывов : 1) Разрыв первого рода – если существуют пределы: и , но их значения не равны между собой; 2) Разрыв второго рода – если хотя бы один из пределов и , не существует или бесконечен;

Слайд 10

Точки разрыва функции 3) Точка устранимого разрыва - если существуют и равны между собой пределы и , но функция в точке x = a не существует или ее значение в этой точке не совпадает со значением пределов в точке. Пример 3. Найти точки разрыва и исследовать их характер: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Слайд 11

Решение. 1) ; , т.к. функция элементарная, то она непрерывна в каждой точке ее области определения. х =3- точка разрыва. Исследуем характер разрыва: , Следовательно, функция в точке x =3 имеет бесконечный разрыв, т.е. разрыв второго рода.

Слайд 12

Решение. 2) ; 2 -6x+8 , x x =2, x =4 – точки разрыва x =2, x =4 – точки разрыва второго рода.

Слайд 13

Решение. 3) ; x =0 –точка разрыва , 3 0 =1. Так как при , функция имеет бесконечный предел, то x =0 – точка разрыва второго рода.

Слайд 14

Решение. 4) ; x =0 –точка разрыва . Так как оба предела конечные, то x =0- точка разрыва первого рода.

Слайд 15

Пример 4 Функция в точке x =1 не определена, но то есть = . Доопределим функцию в точке, положив ее значение в этой точке, равным трем. функция становится непрерывной в точке 1.

Слайд 16

Асимптоты Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Слайд 17

Вертикальные асимптоты График функции y = f ( x ) при a имеет вертикальную асимптоту, если или , при этом x = a есть точка разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a

Слайд 18

Горизонтальные асимптоты График функции y = f ( x ) при или при имеет горизонтальную асимптоту, если или Может оказаться, что либо один из этих пределов конечный, либо ни одного, тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = b .

Слайд 19

Наклонные асимптоты Г рафик функции y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b , если Существуют ,

Слайд 20

Пример 5 Найти асимптоты кривых и построить схематично графики функций: 2) 3) , 4) .

Слайд 1

Правило Лопиталя

Слайд 2

Правило Лопиталя метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и ∞ / ∞ . Суть правила : предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Слайд 3

Пример 1 Найти Решение . В еличины, стоящие в числителе и знаменателе при x → π/4 являются бесконечно малыми, то есть имеем неопределенность вида 0/0 , следовательно можно воспользоваться правилом Лопиталя : Ответ. Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность 0 / 0 или ∞ / ∞.

Слайд 4

Пример 2 Найти Решение. И меем неопределенность вида 0/0 , следовательно можно воспользоваться правилом Лопиталя : Ответ.

Слайд 5

Пример 3 Найти Решение. Имеем неопределенность вида ∞ / ∞ , следовательно можно воспользоваться правилом Лопиталя : Ответ. 0

Слайд 6

Пример 4 Найти Решение. Имеем неопределенность вида ∞ / ∞ , следовательно можно воспользоваться правилом Лопиталя : Ответ. 0

Слайд 7

Самостоятельно Найти пределы 1 вариант 2 вариант 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5)

Слайд 8

Домашнее задание Вычислить пределы функций 6. 7. 8. 9. 10.

Слайд 1

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Слайд 2

Определение Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид: 1) В линейное уравнение входит первая производная 2)В линейное уравнение входит произведение , где y одинокая буковка «игрек» (функция), а p(x) – выражение, зависящее только от x . 3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение q(x) зависящее только от x . В частности q(x) может быть константой.

Слайд 3

Пример 1. решить уравнение: Решение : Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: Способ решения связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли . Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой: , где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс». По правилу дифференцирования произведения

Слайд 4

Решение Подставляем в исходное уравнение и После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: Выносим за скобки все, что можно вынести Составляем систему уравнений

Слайд 5

Решение Приравниваем к нулю то, что находится в скобках : Если , то из уравнения получаем или просто Уравнения записываем в систему: Первое уравнение – уравнение с разделяющимися переменными

Слайд 6

Решение

Слайд 7

Решение На данном этапе константу не приписывам . Далее подставляем найденную функцию во второе уравнение системы . Из второго уравнения находим функцию u :

Слайд 8

Решение Обе функции u и v найдены Общее решение Ответ:

Слайд 9

Примеры Пример 2 Найти общее решение дифференциального уравнения Пример 3 . Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Слайд 10

Примеры Пример 4 Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения Пример 5 Найти частное решение ДУ Пример 6 Найдите общее решение ДУ

Слайд 1

Однородные дифференциальные уравнения

Слайд 2

Определение 1 Функци я y = f ( x ) называется однородной функцией нулевого измерения , если при умножении аргументов x и y на произвольный параметр t значение функции не изменится. Например: , Однородная функция нулевого измерения может быть представлена в виде:

Слайд 3

Определение 2 Уравнение называется однородным относительно x и y , если функция является однородной функцией нулевого измерения и его можно записать в виде: .

Слайд 4

Определение 3 Функци я y = f ( x ) называется однородной функцией n -го измерения, если при замене переменных x и y соответственно на , где t - произвольная величина (параметр), получается та же функция, умноженная на , т.е. выполняется условие: . Определение 4. Число n называется измерением (степенью ) или порядком однородности функции.

Слайд 5

Определение 5 Уравнение , в котором и - однородные функции одного и того же измерения , также является дифференциальным уравнением относительно x и y .

Слайд 6

Пример 1. Установить, являются ли однородными функции

Слайд 7

Решение 1)

Слайд 8

Метод решения Однородное уравнение приводят к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , где – новая искомая функция переменной . Вместо z может быть любая буква использована, например, t или u

Слайд 9

Пример 2 Решить дифференциальное уравнение Решение . П роверить уравнение на однородность Вводим замену Тогда Подставляем в исходное уравнение Упрощаем Получили уравнение с разделяющимися переменными

Слайд 10

t – это функция от x , заменяем Обратная замена Ответ:

Слайд 11

Решить дифференциальные уравнения 1. 2. 3. 4. 5.

Слайд 1

Комбинаторика как наука

Слайд 2

Из истории комбинаторики Комбинаторика возникла в 17 веке. Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке

Слайд 3

Движущие силы комбинаторики В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения

Слайд 7

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения .

Слайд 8

Правило произведения

Слайд 9

Задача 1 Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3? Решение: m = 3, n = 4; m • n = 12 Ответ: 12 Задача 2 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3? Решение: m=3, n=4, k=4; mnk= 3 • 4 • 4 =48 Ответ: 48 Задача 3 Сколько различных пятибуквенных слов можно записать с помощью букв « и » и « л »? Решение: a = 2, b = 2, c = 2, d = 2, f=2; Ответ: 32 = 32 Л и л и и 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = abcdf =

Слайд 11

Комбинаторный принцип сложения Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить k способами, а другое р способами, то оба действия можно выполнить k + р числом способов.

Слайд 12

Комбинаторный принцип сложения В корзине 20 груш, 15 яблок и 10 апельсинов. Сколько имеется возможностей для выбора: 1) Груши и яблока; 2) Одного фрукта; 3) Груши или апельсина; 4) Двух груш?

Слайд 13

КОМБИНАТОРИКА - это раздел математики, в котором изучаются простейшие « соединения »: перестановки, размещения, сочетания. (Большой Энциклопедический Словарь) - происходит от латинского слова « combina », что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Слайд 14

Перестановками из n элементов называются соединения (комбинации), которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения. Задача 1: Сколькими способами можно поставить рядом на полке 4 различные книги? Решение: 4 3 2 1 = 24 Ответ: 24 Х Х Х

Слайд 15

Число перестановок: (1) Произведение первых n натуральных чисел обозначают n ! ( читается «эн факториал») n ! = 1 23(n –2)(n–1)n P n = n(n –1)(n – 2) 321 ( 2 ) P n = n ! ( 3 )

Слайд 16

n- факториал- это произведение всех натуральных чисел от до единицы до n , обозначают символом ! Используя знак факториала, можно, например, записать: 1! = 1, 2! = 2*1=2, 3! = 3*2*1=6, 4! = 4*3*2*1=24, 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Необходимо знать, что 0! = 1

Слайд 17

Задача Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

Слайд 18

Решение: Здесь n =4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Слайд 19

Упростить: 1) 2) 3)

Слайд 20

Задача 1 . Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр? Решение: 1 способ – решение перебором : 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. 2 способ – по правилу произведения: m = 4, n = 3; mn = 12 Ответ: 12 Из задачи видно, что любые два соединения отличаются либо составом элементов (12 и 24), либо порядком их расположения (12 и 21). Такие соединения называют размещениями.

Слайд 21

Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения. Обозначение:  читают «А из эм по эн»: = 12 .

Слайд 22

= m(m – 1)(m – 2) • … • (m – (n – 1)) Примеры: = 4 • 3 = 12; = 4 • 3 • 2 = 24; = 5 • 4 • 3 = 60 = Задача 2. Сколькими способами можно обозначить данный вектор, используя буквы A, B, C, D, E, F? Решение: = 6 • 5 = 30 Ответ: 30 способами (1) (2)

Слайд 23

З а д а ч а 3 Решить уравнение : = 56 Решение: n ≥ 2 и n N . По формуле (1) n = – 7 – посторонний корень Ответ: n = 8 = n(n – 1) = – n , т. е. – n = 56, – n – 56 = 0, + = 1 • = – 56 т. е. = – 7 = 8

Слайд 24

Задача В группе обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по колледжу, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Слайд 25

Решение задачи: Ответ : число способов равно числу размещений из 24 по 3, т.е. 12144 способа .

Слайд 26

Вычислить: Задача 4 Ответ: 225

Слайд 27

Определение: Сочетанием из n элементов по m называется любое множество, составленное из m элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы). Число сочетаний из n элементов по m обозначают C m n (читается: «С из n по m » ).

Слайд 28

Сочетания– соединения, содержащие по m предметов из n , различающихся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (порядок элементов не важен); число их

Слайд 29

Задача Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену . Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Слайд 30

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу сочетаний из 10 по 3, т.е. 120 способов.

Слайд 31

Треугольник Паскаля

Слайд 32

Особая примета комбинаторных задач- вопрос , который начинался словами «Сколькими способами…?»

Слайд 33

Государственная символика

Слайд 34

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг? Ответ:6 .

Слайд 1

Вероятности элементарных событий

Слайд 2

Основные понятия Опыт эксперимент наблюдение испытание Событие (явление, исход) - результат испытания.

Слайд 3

Достоверные , невозможные и случайные события В сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии » есть ... Достоверное - событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Слайд 4

Достоверные, невозможные и случайные события Событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» Невозможным называют событие , которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.

Слайд 5

Достоверные, невозможные и случайные события Если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб»—случайное.

Слайд 6

Задача В коробке лежат 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможны, какие случайны, а какие достоверны? А = {все вынутые шары одного цвета} В = {все вынутые шары разных цветов} С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов} Д = {среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов} А и В невозможные, С – достоверное, Д - случайное

Слайд 7

Свойства вероятности 100 %= 1 Вероятность достоверного события 1. Вероятность невозможного события – 0.

Слайд 8

Предмет теории вероятностей - изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Слайд 9

Методы теории вероятностей применяются: в теории надежности теории массового обслуживания в теоретической физике геодезии астрономии теории стрельбы теории ошибок наблюдений теории автоматического управления обшей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках

Слайд 10

Виды случайных событий События называют несовместными , если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Пример Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» —….

Слайд 11

Виды случайных событий Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает по­явление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные . События образующие полную группу , попарно несовместны, в результате испытания появится одно и только одно из этих событий

Слайд 12

Примеры Приобретены два билета денежно- вещевой лотереи . Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: « выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», « выигрыш выпал на оба билета», « на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют группу попарно несовместных событий Стрелок произвел выстрел по цели . Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание , промах . Эти два несовместных события образуют полную группу.

Слайд 13

Равновозможные события - есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое . Пример. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты- равновозможные события Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события

Слайд 14

Классическое определение вероятности Пусть в ящике содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3- синие и 1- белый . Сравнить возможность выбрать на удачу цветной шар, выбрать белый шар?

Слайд 15

Вероятность - число , характеризующее степень возможности появления события . Каждый из возможных результатов испытания называют элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называют благоприятствующими этому событию. Событие А подразделяется на несколько элементарных событий. Элементарное событие не подразделяется на другие события.

Слайд 16

Определение вероятности . Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу . где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Слайд 17

Свойства вероятности 1 . Вероятность достоверного события равна единице. P(A) = 1 2 . Вероятность невозможного события равна нулю. P(A) = 0 3 . Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0

Слайд 18

Алгоритм Обозначить событие А Найти число всевозможных исходов – n Найти число исходов, благоприятствующих наступлению события А – m Найти искомую вероятность

Слайд 19

Задача 1 Бросают одну игральную кость. Вычислить вероятность события «выпало четное число очков». Решение : n = 6; m = 3; P ( A ) =

Слайд 20

Задача 2 Учащимся был задан вопрос: « Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равно 0,5». И объяснил свой ответ: «Тройка выпадет или нет. Значит всего исходов 2, т.е. n =2 и ровно в одном наступает интересующее нас событие, значит Р(А)=!!!». Где же нарушение?

Слайд 21

Решение: n = 6; m = 1 ; P ( A ) =

Слайд 22

Задача 3 . Ошибка Даламбера Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону? Решение, предложенное Даламбером. Опыт имеет три равновозможных исхода: Обе монеты упали на «орла». Обе монеты упали на «решку». Одна из монет упала на «орла», другая на «решку». n = 3; m = 2; P(A) =

Слайд 23

Правильное решение. Орел , орел Решка, решка Орел, решка Решка, орел n = 4; m= 2; P(A) =

Слайд 24

Итог урока 1 . Что мы называем случайным опытом или экспериментом? 2. Приведите примеры возможных случайных опытов. 3. Что называют событием 4. Какие события называем элементарными? 5. Какие события называем достоверными, невозможными, случайными? 6. Какие события называем равновозможными?

Слайд 25

Итог урока 7. Что понимают под полной группой событий? 8. Определение вероятности в классическом смысле. 9. При бросании кубика сколько различных элементарных событий может произойти? 10. Сколько событий благоприятных событию «выпадет 4»? Какова вероятность события «выпадет 4»?

Слайд 26

Задание для самостоятельной работы Подготовить реферат по одной из тем раздела Случайные события вокруг нас. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона в прикладных задачах. Формула полной вероятности в жизни.

Слайд 1

Классическое определение вероятности Практическая работа №16

Слайд 2

Контрольные вопросы Что называется случайным событием? Приведите примеры случайных событий. 3. На какие виды делятся события по возможности их совместного наступления? 4. Приведите примеры совместных и несовместных событий. 5. На какие виды делятся события по степени достоверности. 6. Приведите примеры достоверных и невозможных событий. 7. На какие виды делятся события по вероятности их наступления. 8. Приведите примеры равновозможных и неравновозможных событий.

Слайд 3

Контрольные вопросы 9. В каком случае события образуют полную группу событий? Приведите пример. 10. Какой исход называется благоприятствующим наступлению события А? Приведите пример. 11. Дайте классическое определение вероятности. 12. Опишите условие применения различных комбинаторных формул.

Слайд 4

Кодированный диктант (1- верно, 0 – неверно) События «выпадение орла» и «выпадение решки» образуют полную группу Вероятность выпадения «герба» и «решки» при бросании двух монет, равна 0,5 В урне находится 5 белых и 3 черных шара. Наудачу извлекается 1 шар. Верно, что извлечь черный шар вероятнее Брошена игральная кость. Благоприятными наступлению события А – выпадение четного числа очков: выпадение 4, 5, 6 Рассчитать количество способов, которыми можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики можно с помощью комбинаторной формулы сочетаний

Слайд 5

Алгоритм решения задач на расчет вероятности по классическому определению: Обозначить событие А. Найти число всевозможных исходов – n. 3. Найти число исходов, благоприятствующих наступлению события А – m. 4. Найти искомую вероятность

Слайд 6

Задача №1. В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые? Дано: 10 шаров, 6 белых, 4 черных Взяли 2 шара Событие А- оба шара белые Найти: Р(А)

Слайд 7

Решение Найдем все равновозможные исходы испытания: взяли 2 шара из 10. Порядок здесь не важен, важен только состав – это признак сочетания =45 - число всех исходов . Найдем все благоприятные событию А исходы: т.к. оба шара белые, то берем 2 из 6 (белых по условию 6). Здесь опять порядок не важен, важен только состав, поэтому находим сочетания

Слайд 8

Решение число благоприятных событию А исходов. Подставляем в формулу вероятности Ответ. .

Слайд 9

Задача №2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Дано: событие А- набраны нужные 3 цифры Найти: Р(А)

Слайд 10

Решение Найдем все равновозможные исходы: нужно набрать 3 цифры из 10, важен и порядок, и состав, т.е. вычисляем размещения из 10 по 3. , число всех возможных исходов. Благоприятные данному событию исходы: нужная тройка цифр только 1, поэтому Ответ.

Слайд 11

Задача №3 В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Слайд 12

Самостоятельно №1. В ящике 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик наудачу достает 8 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) нет дефектных; б) 3 дефектных. №2. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2». №3. Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3

Слайд 1

Обратная матрица

Слайд 2

Самостоятельно Вариант 1: Вариант 2: 1) Возможно ли умножение матриц 2) Выполните действия а) а) б) б)

Слайд 3

Самостоятельно Вариант 1: Вариант 2 : 3) Вычислите определитель

Слайд 4

Единичная ма трица

Слайд 5

Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент . Обозначают М ij . М 11

Слайд 6

Примеры Для определителя н айти миноры М 2 2 и М 31 М 22 М 31

Слайд 7

Алгебраическое дополнение Обозначают

Слайд 8

Обратная матрица О пределителем квадратной матрицы называют определитель , составленный из элементов этой матрицы:

Слайд 9

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной ) , если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной ), если определитель её равен нулю.

Слайд 10

Теорема . Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А -1 такая, что где Е - единичная матрица того же порядка , что и матрица А.

Слайд 11

Обратная матрица Союзная матрица

Слайд 12

Пример 1. Найти матрицу, обратную для матрицы Решение . Вычислим определитель матрицы:

Слайд 13

Н айдем алгебраические дополнения элементов матрицы А : А 11 А 2 1 А 31 А 12 А 22 А 32 А 13 А 23 А 3 3

Слайд 14

Проверка

Слайд 15

С войства обратной матрицы

Слайд 16

Свойства операций над матрицами : А+В = В+А; А+(В+С) = (А+В)+С; (α+β)А = αА+βА, где α и β – числа; α(А+В ) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА); А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС; А+0 = А; АЕ = ЕА = А.

Слайд 17

Пример 2. Показать , что матрица А является обратной для матрицы В

Слайд 18

Решение:

Слайд 19

Решение: В А = = = = = = =Е

Слайд 20

Пример 3 . Найти , если Решение.

Слайд 1

Системы линейных уравнений Метод Гаусса

Слайд 2

Исследование системы на совместность Ранг матрицы — наивысший из порядков ненулевых миноров этой матрицы. Обозначение rang A или r(A) Метод элементарных преобразований или метод Гаусса: Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Слайд 3

Элементарные преобразования матриц Для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями Справедливо утверждение: если , то их ранги равны. Алгоритм 1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду; 2) ранг матрицы равен количеству ненулевых строк .

Слайд 4

Расширенная матрица системы Матрица системы линейных уравнений состоит из коэффициентов при переменных

Слайд 5

Расширенная матрица системы Теорема Кронекера- Капелли . Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны. r(A)=r

Слайд 6

Следствие Совместная система является определенной ( имеет единственное решение), если ранг матрицы системы равен числу неизвестных , и неопределенной ( бесчисленное множество решений), в противном случае.

Слайд 7

Метод Гаусса М етод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности треугольному) виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Слайд 8

Пример Решение. Составим расширенную матрицу системы

Слайд 9

Решение Произведем элементарные преобразования

Слайд 10

Решение Исследуем на совместность, т.к. эквивалентная матрица имеет ступенчатый вид, то r(A)= r =3 Следовательно система совместна Ранг равен числу переменных, следовательно система определена, т.е. имеет единственное решение.

Слайд 11

Решение Решение системы находим обратным ходом Ступенчатой матрице соответствует система уравнений

Слайд 12

Решение =2 8=5 =-3 =3 3-2=0 =-1 Ответ: =- 1, = 3, = 2.

Слайд 13

Решить системы уравнений методом Гаусса

Слайд 1

Кривые второго порядка Окружность. Эллипс

Слайд 2

Кривые второго порядка В прямоугольной декартовой системе координат кривая второго порядка задается уравнением второй степени (1) где A, B, C, D, E, F – заданные действительные числа. При этом числа A, B, C одновременно не равны нулю. Уравнение (1) называется общим уравнением кривой второго порядка. К кривым линиям второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола

Слайд 3

Окружность Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром . Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид: Уравнение окружности с центром в точке ( a, b) и радиусом r имеет вид: = Уравнение окружности в общем виде: , где A, B, C, D – постоянные коэффициенты

Слайд 4

Примеры №1. Найти координаты центра и радиус окружности №2. Составить уравнение окружности: с центром в начале координат и радиусом, равным ; с центром в точке (-2;-5) и радиусом, равным 3

Слайд 5

Эллипс Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами , есть величина постоянная (2 a ), большая расстояния между фокусами ( 2с).

Слайд 6

Элементы эллипса и - фокусы эллипса - большая ось эллипса, проходит через его фокусы - малая ось эллипса, перпендикулярная большой оси и проходит через ее центр О- центр эллипса, точка пересечения большой и малой осей , - вершины эллипса, точки пересечения кривой с осями координат

Слайд 7

Параметры эллипса Полуоси: a – большая полуось b – меньшая полуось Фокальные радиусы: отрезки, соединяющие фокусы с любой точкой кривой Фокальное расстояние: с – половина отрезка, соединяющего фокусы Эксцентриситет: – растяженность фигуры, характеризуется отношением фокального расстояния к большей полуоси

Слайд 8

Зависимость между параметрами ,

Слайд 9

Канонические уравнения эллипса =1 - фокусы лежат на оси О x =1 - фокусы лежат на оси О y

Слайд 10

Свойства эллипса Имеются две оси и один центр симметрии При равенстве полуосей линия превращается в окружность Все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Слайд 11

Разновидности эллипса

Слайд 12

Домашнее задание Знать: Определение окружности, основные элементы, уравнение окружности. Определение эллипса, основные элементы, зависимости между элементами, каноническое уравнение эллипса Решить задачи: Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: 1)полуоси его соответственно равны 4 и 2; 2)расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5; 3)большая полуось равна 10 и эксцентриситет ; 4)малая полуось равна 3 и эксцентриситет ; 5)сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже равно 8.

Слайд 1

Кривые второго порядка Гипербола. Парабола.

Слайд 2

Гипербола Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2 а ), меньшая расстояния между фокусами (2 с ).

Слайд 3

Каноническое уравнение гиперболы Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид а - длина действительной полуоси; b – длина мнимой полуоси. Зависимость между параметрами a , b и с выражается соотношением

Слайд 4

Гипербола Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к ее действительной оси: е = с/а, е >1 Гипербола имеет две асимптоты: Если действительная и мнимая оси гиперболы равны ( a=b ) , то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы Уравнения ее асимптот

Слайд 5

Сопряженные гиперболы Если фокусы гиперболы лежат на оси О y , то ее уравнение имеет вид =1 , или = -1 Уравнения асимптот такой гиперболы Уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси О y имеет вид:

Слайд 6

Построение гиперболы

Слайд 7

Парабола Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо, имеет вид где (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы x=-p/2

Слайд 8

Парабола Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево, имеет вид ) Уравнение директрисы x=p/2

Слайд 9

Парабола Уравнения параболы: ) ) Уравнения директрис: y=-p/2 y=p/2

Слайд 10

Домашнее задание Выучить Гипербола, парабола: определения, основные понятия, канонические уравнения Решить задачи №1. Дана гипербола №2. Дана парабола . составьте уравнение ее оси.

Слайд 1

Векторы в пространстве Векторное и смешанное произведение векторов

Слайд 2

Повторение Определение вектора Изображение вектора Векторные величины, примеры Координаты вектора Действия над векторами Угол между векторами Скалярное произведение (определение, правило в координатной форме)

Слайд 3

Система координат в пространстве Координатные оси (названия) Орты Разложение вектора по координатным векторам

Слайд 4

Упорядоченная тройка векторов Три вектора a, b, c будем называть упорядоченной тройкой, если указан порядок следования Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу кратчайший поворот от a к b из точек вектора с виден против часовой стрелки ( по часовой стрелке)

Слайд 5

Правая тройка векторов

Слайд 6

Векторное произведение векторов Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов , если: 1) | | = | || | sinφ , 2) 3) тройка векторов abc правая .

Слайд 7

Геометрический смысл векторного произведения Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах . где φ – угол между .

Слайд 8

Свойство так как изменится на противоположное направление вектора при неизменной и равной площади параллелограмма со сторонами a и b длине этого вектора

Слайд 9

Векторное произведение в координатной форме Если

Слайд 10

Пример Найти площадь треугольника ABC , если координаты его вершин Решение.

Слайд 11

Смешанное произведение Смешанным произведением векторов Называется число Обозначают Численно смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, взятому со знаком +если эта тройка векторов правая, и со знаком -, если эта тройка левая.

Слайд 12

Геометрический смысл смешанного произведения Объем параллелепипеда, построенного на векторах Объем пирамиды

Слайд 13

Вычисление смешанного произведения , ,

Слайд 14

Условие компланарности векторов 0 Проверить, компланарны ли данные векторы: , ,

Слайд 15

Решить задачи Найти скалярное произведение векторов и 2) Найти векторное произведение векторов и 3) Найти смешанное произведение векторов , ,

Слайд 16

Решить задачи 4) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2) 5) Показать, что векторы , , компланарны.

Слайд 1

Предел функции Основные понятия и свойства

Слайд 2

Повторить Определение функции Приращение аргумента Приращение функции

Слайд 3

Из истории

Слайд 4

Определения предела функции в точке Определение 1: число А называется пределом величины x , если в процессе своего изменения x неограниченно приближается к А. Обозначение: lim – сокращение латинского слова limes (межа, граница) ввел И. Ньютон. Если мы говорим «значение стремится к чему-либо», то мы приближаем его к определенной границе – пределу. Записывается Читается: предел функции f ( x ) равен А при х стремящемся к

Слайд 5

Определения предела функции в точке Определение 2: Число b называется пределом функции в точке а , если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а , значение функция сколь угодно мало отличаются от b .

Слайд 6

Геометрический смысл

Слайд 7

Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение: функция н азывается бесконечно малой при , если Если функция имеет бесконечный предел в точке (или на бесконечности), то ее называют бесконечно большой в этой точке (или на бесконечности). Предел отношения постоянной величины к бесконечно малой функции есть бесконечно большая величина:

Слайд 8

Связь между бесконечно малой функцией и бесконечно большой Величина обратная бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция: Если – б. м. ф. ( , то – б.б.ф . Величина обратная бесконечно большой функции есть бесконечно малая функция: Если – б. б. ф. ( , то – б.м.ф .

Слайд 9

Свойства бесконечно малых функций 1 . Сумма конечного числа б.м.ф . при является б.м.ф . при 2. Произведение конечного числа б.м.ф . при есть б.м.ф . при 3. Произведение б.м.ф . при на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки функцию является б.м.ф . при Связь функции, ее предела и б.м.ф .: число А является пределом функции в точке , тогда и только тогда, когда имеет место равенство Если – б. м. ф при

Слайд 10

Предел функции на бесконечности

Слайд 11

Правила вычисления пределов Теоремы о пределах Если существуют пределы функций , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов этих функций: Если существуют пределы функций , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов этих функций:

Слайд 12

Правила вычисления пределов 3. Если существуют пределы функций и предел функции отличен от нуля, то существует также предел их отношения, равный отношению пределов этих функций:

Слайд 13

Правила вычисления пределов Следствия Постоянный множитель можно вынести за знак предела: Если n – натуральное число, то ,

Слайд 14

Правила вычисления пределов Следствия 3 . Предел многочлена (целой рациональной функции) при равен значению этого многочлена при , т.е. . 4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению это q й функции при , если принадлежит области определения этой функции, т.е. .

Слайд 15

Правила вычисления пределов Теоремы 4. 5. Следствие:

Слайд 16

Вычисление пределов а)Если функция f(x)- элементарная функция и число а принадлежит ее области определения, то предел вычисляется прямой подстановкой: Например 1) 2)

Слайд 17

Вычисление пределов б) если при замене x на a под знаком предела получают то искомый предел равен бесконечности Пример 3.

Слайд 18

Вычисление пределов в) если при замене x на a под знаком предела получают то говорят, что под знаком предела неопределенность Пример 4. Пример 5.

Слайд 19

Вычисление пределов на бесконечности Пример 6. Если при подстановке предельного значения в функцию f(x) , получаются выражения вида: или , то предел будет равен или 0

Слайд 20

Вычисление пределов на бесконечности

Слайд 21

Вычисление предела на бесконечности Пример 7.

Слайд 22

Вычислить . 2) 3) 4) 5) 6)

Слайд 23

Домашнее задание На сайте : Презентация «Предел функции» ДЗ Вычисление пределов

Слайд 1

Замечательные пределы

Слайд 2

Первый замечательный предел или №1. Вычислить пределы: 2) 3) 4 ) 5)

Слайд 3

Первый замечательный предел или =2 2) =1/3 3) =1/3 =4/3 =4/3 4 ) =5 5) = = = =8

Слайд 4

Второй замечательный предел №2. Вычислить пределы: 2) 3) 4) 5) )

Слайд 5

Второй замечательный предел 1) 2) = 3) =

Слайд 6

) =e

Слайд 7

Домашнее задание Вычислить пределы: 2) 3) 4) 5) 6)

Слайд 1

Непрерывность функций Асимптоты

Слайд 2

Непрерывность функций Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a , если предел функции при равен значению функции при x=a , т.е.

Слайд 3

Непрерывность функций Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=a , если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. Если условие непрерывности функции в точке x = a нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции .

Слайд 4

Непрерывность функций Для элементарных функций справедливы следующие положения: 1) область непрерывности элементарной функции совпадает с ее областью определения , т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения; 2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого – либо промежутка, но не во всех его точках; 3)элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Слайд 5

Непрерывность функций Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Пример 1. Исследовать на непрерывность функции: y=3x; 2) y=3x 2 -2x .

Слайд 6

Решение . Область непрерывности совпадает с областью определения . Покажем это, используя определение 2. Дадим аргументу х приращение и найдем приращение функции : Найдем Равенство справедливо при всех значениях х, поэтому функция непрерывна при любых значениях х

Слайд 7

Решение 2) , следовательно, она непрерывна при любых значениях x . следовательно, она непрерывна при любых значениях x .

Слайд 8

Непрерывность функций Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию y = x 2 -2 при x =3. Решение. По определению 1: y (3)= 3 2 -2=7. Следовательно, данная функция в точке x =3 непрерывна.

Слайд 9

Точки разрыва функции Если функция y = f ( x ) при x = a имеет разрыв , то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции f ( x ) при a слева и справа. Различают три основных вида разрывов : 1) Разрыв первого рода – если существуют пределы: и , но их значения не равны между собой; 2) Разрыв второго рода – если хотя бы один из пределов и , не существует или бесконечен;

Слайд 10

Точки разрыва функции 3) Точка устранимого разрыва - если существуют и равны между собой пределы и , но функция в точке x = a не существует или ее значение в этой точке не совпадает со значением пределов в точке. Пример 3. Найти точки разрыва и исследовать их характер: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Слайд 11

Решение. 1) ; , т.к. функция элементарная, то она непрерывна в каждой точке ее области определения. х =3- точка разрыва. Исследуем характер разрыва: , Следовательно, функция в точке x =3 имеет бесконечный разрыв, т.е. разрыв второго рода.

Слайд 12

Решение. 2) ; 2 -6x+8 , x x =2, x =4 – точки разрыва x =2, x =4 – точки разрыва второго рода.

Слайд 13

Решение. 3) ; x =0 –точка разрыва , 3 0 =1. Так как при , функция имеет бесконечный предел, то x =0 – точка разрыва второго рода.

Слайд 14

Решение. 4) ; x =0 –точка разрыва . Так как оба предела конечные, то x =0- точка разрыва первого рода.

Слайд 15

Пример 4 Функция в точке x =1 не определена, но то есть = . Доопределим функцию в точке, положив ее значение в этой точке, равным трем. функция становится непрерывной в точке 1.

Слайд 16

Асимптоты Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Слайд 17

Вертикальные асимптоты График функции y = f ( x ) при a имеет вертикальную асимптоту, если или , при этом x = a есть точка разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a

Слайд 18

Наклонные асимптоты Г рафик функции y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b , если Существуют ,

Слайд 19

Пример 5 Найти асимптоты кривых и построить схематично графики функций: 2) 3) , 4) .