Материалы для самостоятельного изучения

Тест по математике 10-11 класс.

1. Металический шар брошен вниз с высоты 36 м. Пока шар не упал, его высоту можно находить по формуле h(t)=36-3t-5t2 (h- высота в метрах, t- время в секундах, прошедшее с момента броска). Сколько секунд шар будет падать?

А. 4,3 с.;           Б. 2,3 с.;           В. 3,0 с.;           Г. 2,4 с.

2. Велосипедист от дома до магазина едет со средней скоростью 10 км/ч, а обратно – со средней скоростью 15 км/ч, так как дорога обратно идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до магазина и обратно .

А.  11 км/ч;         Б. 13,5 км/ч;           В. 12 км/ч;          Г. 14 км/ч.

3. Вовочка и Саша вместе красят забор за 9 часов, Вовочка и Рома красят забор за 18 часов, а Саша и Рома – за 12 часов. За сколько часов Вовочка, Саша и Рома покрасят забор, если будут работать втроем?

А. 5;         Б. 8;         В. 10;         Г. 7.

4. Фабрика выпускает обувь. В среднем на 160 пар качественной обуви приходится тринадцать пар обуви со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная обувь окажется качественной. Результат округлите до сотых.

А. 0,92;          Б. 0,89;         В. 1,23;         Г. 0, 65.

5. Отправляясь в путешествие, Миша рассчитывал истратить в дороге 6900 рублей, тратя ежедневно одну и ту же сумму. В течении 5 дней его расходы совпадали с расчетными, затем он стал тратить в каждый следующий день на 100 рублей больше, чем в предыдущий, и, вернулся домой, потратив на все путешествие на 2800 рублей больше, чем рассчитывал. Сколько дней продолжалось путешествие, если его продолжительность совпадает с намеченной?

А. 12 дней;         Б. 10 дней;         В. 15 дней;         Г. 21 день.

6. Взяли два куска сплава металлов. Масса олова в первом – 5 кг, во втором – 7 кг. Найдите массу второго сплава, если процентное содержание олова в нем в 3 раза больше, чем в первом, и если суммарный вес обоих кусков сплава равен 44 кг.

А. 17 кг;        Б. 14 кг;         В. 22 кг;         Г. 19 кг.

7. Сумма трех чисел, образующих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 39. Если первое число умножить на -3, то получится геометрическая прогрессия. Тогда произведение первоначальных чисел будет равно:

А. 1024;         Б. 256;        В. 729;        Г. 144.

8. Производная функции  в точке  равна:

А. ;          Б. 3;          В. 1;          Г. -3.

9. Предприятие предполагает продать продукции больше, чем в прошлом году. При этом, чтобы получить на 0,8 % больше денег надо понизить цену на 4%. На сколько процентов больше продукции, чем в прошлом году планирует изготовить предприятие?

А. на 5 %;        Б. на 10 %;        В. на  20 %;        Г. на 15 %.

10. Боковыестороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

А. 15 см;        Б. 30 см;        В. 25 см;        Г. 35 см.

11. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу – 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

А. за 2 часа 15 минут;        Б. за 5 часов;        В. за 3 часа;        Г. за 4 часа 30 минут.

12. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

А. 341;         Б. 189;         В. 134;         Г. 143.

13. Три бригады, работая вместе, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада – в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья?

А. в 2 раза;        Б. в 1,5 раза;        В. в 4 раза;        Г. в 3 раза.

14. Два велосипедиста одновременно отправились на 108-километровую дистанцию. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч больше,чем  второй, и прибыл к финишу на 1 час 48 минут раньше.Найдите скорость велосипедиста, который пришел к финишу первым.

А. 18 км;         Б. 20 км;         В. 15 км;         Г. 13 км.

15. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 13 % годовых. Вкладчик положил на счет 2000 рублей. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом не производиться не будет?

А. 2340 рублей;       Б. 2260 рублей;       В. 2168 рублей;       Г. 2060 рублей.

16. Перед началом концерта было продано 3/7 (три седьмых) всех воздушных шариков, на протяжении всего концерта – еще 25 штук. После этого осталась половина всех шариков, приготовленных для продажи. Сколько шариков было первоначально?

А. 350 шариков;        Б. 270 шариков;        В. 390 шариков;        Г. 425 шариков.

17. Две лодки вышли из порта, одна следуя на север,  другая на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

А. 50 км;       Б. 36 км;       В. 44 км;       Г. 52 км.

18. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 160 км и после стоянки возвращается обратно. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через 20 часов после отплытия из него.

А. 1 км/ч;       Б. 2 км/ч;       В. 3 км/ч;       Г. 4 км/ч.

19. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 400 литров она заполняет на 2 часа 20 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 900 литров?

А. 6 литров;       Б. 7 литров;       В. 10 литров;       Г. 12 литров.

20. На пост главы сельского хозяйства претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 104 человека. Голоса между кандидатами распределились в отношении 5:8. Сколько голосов получил победитель?

А. 72;        Б. 61;        В. 58;        Г. 64.

Тест по математике 9 класс.

1. Укажите номер верного утверждения:

А. Через любую точку прямой на плоскости можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.

Б. Существует треугольник с двумя равными тупыми углами.

В. Параллелограмм с равными диагоналями – это треугольник.

Г. в любом треугольнике диагонали равны

2. Дана арифметическая прогрессия −3; 5; 13… Найдите шестой член прогрессии.

А. 32;        Б. 54;       В. 42;      Г. 37.

3. Для ухода за цветами в доме Маша покупала 6 упаковок удобрений ежемесячно. Теперь на упаковке      написано, что она содержит на 20% удобрений больше, чем раньше. Сколько упаковок теперь достаточно для ухода за цветами?

А. 2;        Б. 3;       В. 4;       Г. 5

4. Получив свою первую зарплату в размере 1200 рублей, Миша решил на все полученные деньги купить букет роз для своей мамы. Какое наибольшее количество роз сможет купить Миша, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% от зарплаты, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

А. 11;        Б. 9;        В. 5;       Г. 7.

5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге, если размер клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
   

А. 25;         Б. 15,5;        В. 27,5;        Г.  30.

6. На покраску в два слоя участка стены размером 2×2 метра ушло 1,5 кг краски. Сколько килограммов краски потребуется на покраску в два слоя стены размером 10×4 метра

А. 10;        Б. 5;       В. 25;        Г.  15.

7. У Коли с Димой в одном пакете 15 грейпфрутов, 3 из которых красные, остальные – белые. Двое детей по очереди берут по фрукту, а затем берет мама. С какой вероятностью ей достанется белый грейпфрут, если у обоих детей оказались белые грейпфруты? Ответ округлите до десятых.

А. 0,8;         Б. 0,1;       В. 0,5;        Г. 0,2.

8. Если Толя даст Ивану 3 рубля, а Иван даст 5 рублей 60 копеек  Косте, а Костя даст Толе 3 рубля 70 копеек, тогда у каждого из них окажется по 20 рублей. Сколько денег у Толи и Кости вместе на самом деле?

А. 40 рублей;          Б. 35 рублей 10 копеек;        В. 30 рублей;         Г. 37 рублей 40 копеек.

9. АБС- равнобедренный треугольник с вершиной А. Угол А = 270. Точка D симметрична точке B относительно А. Чему  равен угол BCD?

А. 120о ;         Б. 90о ;         В. 75о  ;           Г. 180о .

10. Оценка учащегося за четверть выводится как среднее арифметическое текущих оценок и округляется по правилам округления. Какую оценку за четверть получит Петя, если его текущие оценки – пять троек, одна четверка и одна пятерка?

А. 2;         Б. 3;       В. 4;       Г. 5.

11. Имеется линейка длиной 13 см без делений. Какое наименьшее число промежуточных делений нужно нанести на линейку, чтобы можно было отложить отрезки длиной 1 см, 2 см, 3 см, …., 13 см, прикладывая линейку лишь один раз (в каждом случае)?

А. 2;        Б. 4;        В. 6;      Г. 8.

12. Найдите угол между часовыми стрелками в 7 часов 38 минут.

А. 2о ;           Б. 5 о ;          В. 1о ;        Г. 3о .

13. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых  встречается хотя бы одна тройка?

А. 354;         Б. 102;        В. 252;        Г. 98.

14. На полке стоят 666 книг по черной и белой магии, причем ни какие две книги по белой магии не стоят через 13 книг (т.е. между ними не может стоять 13 книг). Какое наибольшее число книг по белой магии может стоять на полке?

А.  256 книг;          Б.  336 книг;         В.  342 книги;         Г. 402 книги.

15. В классе больше 20, но меньше 30 учеников, дни рождения у всех различны. Костя сказал: «Тех, кто старше меня в классе, в два раза больше тех, кто младше меня».. Лена сказала: «Тех, кто старше меня в классе, в три раза меньше тех, кто младше меня». Сколько учеников в классе?

А.  36 учеников;          Б. 15 учеников;         В. 20 учеников;         Г. 25 учеников.

16. Найти наибольшее натуральное число n, которое делится на все натуральные числа, не превосходящие n/10.

А. 140;        Б. 60;        В. 80;        Г. 210.

17. Девочки тянут жребий. Рита  держит три спички, одну короткую и две длинных. Кто вытянет короткую спичку — моет пол. Первой тянет Лена, второй - Оля, а Рите остается третья. С какой вероятностью Рите придется мыть пол, если Оля  вытянула  длинную спичку?

А. 0,9;         Б. 0,5;        В. 0,3;        Г. 0,6.

18. В июле в галерею привезли 820 картин, а в августе на 75% больше. Сколько картин привезли в галерею в августе?

А. 1564 картины;          Б. 1965 картин;         В. 1435 картин;         Г. 1623 картины.

19. В магазине одежды объявлена акция: при покупке на сумму свыше 10000 рублей, покупатель получает скидку на следующую покупку в размере 10% от уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Константин Петрович  хочет приобрести лыжный костюм ценой 9450 рублей, футболку ценой 800 рублей и шапку ценой 900 рублей.

В каком случае Константин Петрович заплатит за купленные вещи меньше всего:

1) купит все три товара сразу;
2) купит сначала лыжный костюм и футболку, а потом шапку со скидкой;
3) купит сначала лыжный костюм и шапку, а потом футболку со скидкой. 
         В ответ запишите, сколько рублей заплатит Константин Петрович  за покупку в этом случае.

А. 12.500 рублей;

Б. 11.060 рублей;

В. 13. 230 рублей;

Г. 10.950 рублей.

20. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 х 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 х 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

А. 5 клеток;           Б. 9 клеток;           В. 11 клеток;          Г. 7 клеток.

8.1. В строку записаны n попарно различных натуральных чисел. К каждому числу прибавили номер места, на котором оно стоит. Получившиеся числа оказались записаны в порядке возрастания. Докажите, что и исходные числа были записаны в порядке возрастания.

8.2. Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

8.3. Две биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.

8.4. Разложите на множители число 181 . 201 + 100.

8.5. Можно ли в клетки таблицы n×n вписать числа 0, 1, 2 так, чтобы все суммы чисел по строкам и столбцам были различны и принимали значения от 1 до 2n, если а) n = 4; б) n = 5?

9 класс

9.1. Числа 1, 2, … , n записаны в строку в некотором порядке. Каждое число умножили на номер места, на котором оно стоит. Получившиеся числа оказались записаны в порядке возрастания. Докажите, что и исходные числа были записаны в порядке возрастания.

9.2. Масса нескольких ящиков вместе 10 тонн, причем масса каждого не более 1 тонны. Какое минимальное количество трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти весь груз?

9.3. Точка на плоскости имеет натуральные координаты. Эти координаты можно умножить на различные натуральные числа. Всегда ли можно подобрать эти числа таким образом, чтобы расстояние от точки до начала координат увеличилось в целое число раз?

9.4. Найдите все четырехзначные числа, являющиеся полными квадратами и такие, что их первые две цифры совпадают и их последние две цифры совпадают.

9.5. Высота АН и биссектриса BL остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что ∠ВАН = 18°, а ∠ВСА = 54°.Найдите ∠АСМ.

10 класс

10.1. Числа 1, 2, … , n записаны в строку в некотором порядке. Каждое число умножили на номер места, на котором оно стоит. Получившиеся числа оказались записаны в порядке возрастания. Докажите, что и исходные числа были записаны в порядке возрастания.

10.2. Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой доске. Первый своим ходом может ставить два крестика в две любые свободные клетки, а второй – один нолик. Первый хочет поставить 10 крестиков подряд в какой-нибудь горизонтальный или вертикальный ряд. Докажите, что он может это сделать независимо от игры второго.

10.3. Точка в пространстве имеет натуральные координаты. Каждую координату можно умножить на натуральное число, причем эти числа должны быть попарно различны. Всегда ли можно подобрать эти числа таким образом, чтобы расстояние от точки до начала координат увеличилось в целое число раз?

10.4. На листе изображен угол, равный π/7. Разделите его с помощью циркуля и линейки на три равные части.

10.5. В математической олимпиаде участвовали 100 учащихся. Было предложено 4 задачи. Первую задачу решили 95 человек, вторую – 85, третью – 65, четвертую – 55. Никто не решил все задачи, а награждены были те учащиеся, которые решили третью и четвертую задачи. Сколько учащихся было награждено?

11 класс

11.1. Решите уравнение .

11.2. В клетках таблицы m×n записаны в произвольном порядке числа 1, 2, … , mn. Сначала упорядочили по возрастанию числа в каждой строке, а затем в каждом столбце получившейся таблицы. Докажите, что если в результате в i-ой строке и j-ом столбце оказалось число а, то a ≥ ij.

11.3. Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой доске. Первый своим ходом может ставить два крестика в две любые свободные клетки, а второй – один нолик. Первый хочет поставить 10 крестиков подряд в какой-нибудь горизонтальный или вертикальный ряд. Может ли он это сделать независимо от игры второго?

11.4. В пространстве расположены три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Докажите, что существует параллелограмм, все вершины которого расположены на этих прямых.

11.5. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех его высот – целые числа.

8 класс

Решения задач

8.1. Пусть в исходной строке на k-ом и (k+1)-ом местах стояли числа а и b. Для получившихся чисел выполняется неравенство a + k < b + k + 1, откуда
a < b + 1, и a ≤ b. Но так как числа были попарно различными, то a < b.

8.2. Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек не изменялось (одну израсходовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пуль уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Значит, число промахов определяется только начальным числом пулек и равно 10:2 = 5. Поэтому число попаданий равно 55 – 5 = 10.

8.3. Пусть биссектрисы АА1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Пусть ∠АОС1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника ∠АОС1 =∠АСО +∠САО = 60°. Тогда ∠АСВ +∠САВ = 2(∠АСО +∠САО) = 120°, и ∠АВС= = 180° – (∠АСВ +∠САВ) = 60°.

Если же ∠АОС = 60°, то ∠АСО +∠САО = 120°, и ∠АСВ +∠САВ = 240°, что невозможно.

8.4. 181 . 201 + 100 = (191 – 10)(191 + 10) + 100 = 1912 – 102 + 100 = 1912.

8.5. а) Можно, например, как показано на рисунке.

б) Нельзя. Сумма всех строк и сумма всех столбцов равны сумме всех чисел в таблице, значит, эти суммы должны быть равны между собой. Значит, общая сумма всех строк и всех столбцов должна быть четной, равной удвоенной сумме чисел таблицы. Но если суммы по строкам и столбцам принимают значения от 1 до 10, то их общая сумма равна 1 + 2 + … + 10 = 55.

9 класс

Решения задач

9.1. Рассмотрим самое большое число n. Пусть оно стоит на k-ом месте. Если k < n, то после n стоят еще n – k чисел. Значит, среди них есть число а ≤ k, так как чисел, больших k, осталось n – k + 1. Пусть число а стоит на m-ом месте, m ≤ n. После выполнения умножения из n получили nk, а все числа, расположенные правее, должны быть больше nk. Но из а получили am ≤ kn. Противоречие. Значит, число n стоит на последнем месте. Тогда аналогично среди оставшихся чисел наибольшее n – 1 стоит на предпоследнем месте, и т.д. В итоге все исходные числа расположены в порядке возрастания.

9.2. Если в машину погружено не более 2 т груза, то можно погрузить еще не менее 1 т, значит, можно погрузить еще ящик. Следовательно, в каждую машину можно погрузить более 2 т, и пяти машин достаточно. Четырех машин может не хватить, например, если имеются 13 ящиков по 10/13 т каждый. Тогда на одну машину придется грузить 4 ящика, но их масса 40/13 т превышает грузоподъемность машины.

9.3. Всегда. Пусть точка М имеет координаты (a, b). Если a ≠ b, то умножим первую координату на b2, вторую – на а2. Получим координатную строку (ab2, a2b). Эта строка получается из исходной умножением на ab и перестановкой компонент. Следовательно, расстояние до начала координат увеличивается в ab раз. Если же координаты равны, то достаточно рассмотреть точку М(1, 1). Расстояние от нее до начала координат равно . Новая точка М1(1, 7) отстоит он начала координат на расстоянии , то есть в 5 раз дальше исходной.

9.4. Пусть А = – искомое число. Тогда А = 1100a + 11b = 11(100a + b). Так как А – полный квадрат, то 100a + b делится на 11. Так как 100a + b = 99а + (a + b), то a + b делится на 11. Это может выполняться только при a + b = 11. Перебрав для a + b все варианты: 9 + 2, 8 + 3, … , 2 + 9, заключаем, что единственное подходящее число – 7744 = 882.

9.5. Из прямоугольного треугольника АВН находим

∠АВН = 90° – 18° = 72°.

Поэтому в треугольнике АВС ∠А = 180° – 54° – 72° = 54° = ∠С. Таким образом, треугольник АВС – равнобедренный, BL – его биссектриса и высота, то есть ось симметрии. Значит,

∠АСМ = ∠МАС = 54° – 18° = 36°.

10 класс

Решения задач

10.1. Рассмотрим самое большое число n. Пусть оно стоит на k-ом месте. Если k < n, то после n стоят еще n – k чисел. Значит, среди них есть число а ≤ k, так как чисел, больших k, осталось n – k + 1. Пусть число а стоит на m-ом месте, m ≤ n. После выполнения умножения из n получили nk, а все числа, расположенные правее, должны быть больше nk. Но из а получили am ≤ kn. Противоречие. Значит, число n стоит на последнем месте. Тогда аналогично среди оставшихся чисел наибольшее n – 1 стоит на предпоследнем месте, и т.д. В итоге все исходные числа расположены в порядке возрастания.

10.2. Сначала на первом этапе за 256 ходов первый ставит 512 = 29 крестиков в различных горизонтальных рядах. Второй может поставить нолики не более, чем в 256 из них, значит, останутся не менее 256 горизонтальных рядов, свободных от ноликов. Далее на втором этапе первый игрок за 128 ходов ставит рядом с каждых из свободных крестиков еще по одному крестику. Второй может закрыть ноликами не более 128 из них. Продолжая в том же ключе, первый после восьмого этапа получит горизонтальный ряд из восьми крестиков, и на этом ряду не будет ноликов. Последним ходом первый может добавить два крестика к этому ряду.

10.3. Всегда. Пусть точка М имеет координаты (a, b, c). Если среди этих координат есть различные, например, a ≠ b, то умножим первую координату на b2, вторую – на а2, третью – на ab. Получим координатную строку (ab2, a2b, abc). Эта строка получается из исходной умножением на ab и перестановкой компонент. Следовательно, расстояние до начала координат увеличивается в ab раз. Если же все координаты равны, то достаточно рассмотреть точку М(1, 1, 1). Расстояние от нее до начала координат равно . Новая точка М1(1, 5, 11) отстоит он начала координат на расстоянии , то есть в 7 раз дальше исходной.

10.4. Мы должны получить угол π/21. Так как , то можно предложить такой способ построения:

1) удвоить данный угол;

2) построить угол π/3 = 60°;

3) вычесть из большего угла меньший.

10.5. Всего оказалось 95 + 85 + 65 + 55 = 300 решений. Значит, каждый из 100 участников решил 3 задачи и не решил одну. Тогда первую задачу не решили 100 – 95 = 5 участников, вторую – 15, третью – 35, четвертую – 45 участников, и это все разные люди. Награждены были не решившие первую и вторую задачи, их число 5 + 15 = 20.

11 класс

Решения задач

11.1. ООУ: –1 ≤ x ≤ 1. В силу четности обеих частей уравнения достаточно рассмотреть случай x ≥ 0. В этой области можно сделать замену x = sin t, где . Тогда на ООУ имеем , и уравнение приводится к виду . В рассматриваемом случае аргументы при косинусах в обеих частях уравнения принадлежат промежутку , в котором косинус строго убывает. Поэтому из равенства косинусов следует равенство их аргументов, и получаем уравнение , или . Синусоида y = sin t пересекается прямой  в двух точках t = 0 и t = π/2, откуда получаем ответ x = 0; 1, а также из четности x = –1.

11.2. В j-ом столбце после упорядочивания число а оказалось на i-ом месте, перед ним в столбце стоят меньшие числа. Значит, в этом столбце i чисел, не превосходящих а. После первого этапа (упорядочивания строк) эти числа стояли, возможно, на других местах в столбце, но перед каждым из них в соответствующей строке стояли меньшие числа. Всего в этой строке набирается не менее j чисел, не превосходящих а. Значит, общее количество чисел в таблице, не превосходящих а, не меньше ij, откуда a ≥ ij.

11.3. Может. Сначала на первом этапе за 256 ходов первый ставит 512 = 29 крестиков в различных горизонтальных рядах. Второй может поставить нолики не более, чем в 256 из них, значит, останутся не менее 256 горизонтальных рядов, свободных от ноликов. Далее на втором этапе первый игрок за 128 ходов ставит рядом с каждых из свободных крестиков еще по одному крестику. Второй может закрыть ноликами не более 128 из них. Продолжая в том же ключе, первый после восьмого этапа получит горизонтальный ряд из восьми крестиков, и на этом ряду не будет ноликов. Последним ходом первый может добавить два крестика к этому ряду.

11.4. Пусть a, b, c – данные прямые. Рассмотрим плоскость π, проходящую через прямую b параллельно прямой а. Так как прямая с по условию не параллельна этой плоскости, то она пересекается с ней в некоторой точке С. Проведем через С прямую, параллельную прямой а. Эта прямая окажется в плоскости π, значит, пересекается в ней с прямой b в некоторой точке В. Отрезок АВ параллелен прямой а. Выберем на прямой А произвольно две точки А1 и А2, так что А1А2 = ВС. Точки А1, А2, В, С являются искомыми.

11.5. Пусть А – максимальный угол треугольника, AD – высота, F – точка касания, АЕ проходит через центр вписанного круга. Тогда AE > AF > AD. Если ∠А = 60°, то АЕ = 3. В остальных случаях AE < 3, и 2 < AD < 3, и высота AD не является целым числом. Значит, ∠А = 60°, как и остальные углы треугольника.

Критерии оценок

Все задачи оцениваются в 7 баллов. За нерациональное решение оценка не снижается. Можно добавлять баллы, если решение неправильное, но в рассуждениях прослеживаются идеи, которые можно использовать в правильном решении.

8 класс

8.1. 0 баллов, если доказано обратное утверждение: если исходная строка была упорядочена, то и получившаяся упорядочена.

8.2. За ответ без объяснений – 0 баллов. За верный ответ, полученный рассмотрением только частного случая без общих оценок, – 2 балла.

8.3. Если в решении не рассмотрен случай, когда угол в 60° лежит против стороны треугольника, то ставится не более 4 баллов. Если же рассмотрен только этот случай, то 2 балла.

8.4. Доказывать, что 191 – простое число, не обязательно.

8.5. За случай а) – 3 балла, б) – 4 балла.

9 класс

9.1. 1 балл, если утверждение доказано для частного случая, например, n = 3. 2 балла, если доказано, что 1 стоит на первом месте.

9.2. 2 балла за доказательство того, что 5 машин достаточно. 5 баллов за доказательство недостаточности четырех машин. За ответ без обоснования – 0 баллов.

9.3. 1 балл, если приведен только какой-нибудь пример.

9.4. 1 балл, если решение найдено случайным подбором без доказательства единственности. При этом если перебор полный (90 вариантов), то решение должно считаться правильным и оцениваться в 7 баллов. Если при этом есть вычислительные ошибки или пропущены варианты, но решение найдено, то 1 балл.

10 класс

10.1. 1 балл, если утверждение доказано для частного случая, например, n = 3. 2 балла, если доказано, что 1 стоит на первом месте.

10.2. 0 баллов, если рассматриваются только конкретные примеры без описания общей стратегии.

10.3. 1 балл, если приведен только какой-нибудь пример.

10.4. 7 баллов за любой способ построения, приводящий к нужному углу. Если результат приближенный, то 0 баллов.

10.5. 4 балла, если получена только оценка с одной стороны: число награжденных не больше или не меньше 20. Если граница другая, то 0 баллов.

11 класс

11.2. 0 баллов, если рассматриваются только конкретные примеры.

11.3. 0 баллов, если рассматриваются только конкретные примеры без описания общей стратегии.

11.4. 7 баллов за любой способ построения искомого параллелограмма. Снимаются баллы, если не указано, что прямые и плоскости, участвующие в доказательстве, пересекаются, когда это необходимо. Исследование количества решений не является обязательным.

11.5. 1 балл, если показано только, что равносторонний треугольник подходит.