занятие № 9
Тема занятия: подготовка к зачету по теме "Алгебраические задачи с параметрами"
Подготовка у занятию: повторить предидущие три занятия, повторить материал, относящийся к понятию "Параметр"
Работа с материалом занятия: прочесть, разобрать решённые линейные и квадратные уравнения с параметрами; попробовать самостоятельно решить данные уравнения; скачать себе на компьютер в папку "Элективный курс" .
Информация к итоговому мероприятию: итоговым мероприятием будет теоретический зачет; сдать его можно двумя способобами: 1) письменный опрос по изученному материалу , присланный в сети Интернет через электронную почту
2) очный зачет: представление решения уравнений с параметрами данного занятия.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 parametry_v_lineynyh_i_kvadratnyh_uravneniyah.docx | 35.69 КБ |
Предварительный просмотр:
Линейные уравнения
Пример 1
Решить при всех a уравнение ax – 1 = x.
Решение
Вычитая из обеих частей уравнения x – 1, получим ax – x = 1.
Вынесем за скобку x: (a –1)x = 1.
В зависимости от значений параметра a возможны два случая:
Случай 1: a = 1.
Тогда выражение в скобке (a – 1) обращается в нуль. При a = 1 получаем неверное равенство 0 · x = 1. Следовательно, решений нет.
Случай 2: a ≠ 1.
Пусть теперь a ≠ 1. Тогда выражение в скобке (a – 1) не обращается в нуль, и мы можем поделить обе части уравнения на нее. В итоге получим единственное решение 
При a = 1 решений нет.
При a ≠ 1 единственное решение
Пример 2
Решить при всех a уравнение x – 2a = ax – 2.
Решение
Преобразуем уравнение к более удобному виду. Вычитая из обеих частей уравнения
ax – 2, получим x – ax = 2a – 2.
Вынесем за скобку x и 2 и запишем результат (1 – a)x = 2(a – 1).
В зависимости от значений параметра a возможны два случая:
Случай 1: a = 1.
Если a = 1, то 1 – a = 0. В этом случае уравнение превращается в тождество 0 · x = 0. Следовательно, при a = 1 решениями являются все действительные числа.
Случай 2: a ≠ 1.
Если a ≠ 1, то выражение в скобке (1 – a) не обращается в нуль, и мы можем поделить обе части уравнения на него. Тогда 
Пример 3
Решить при всех p: x – p = p2x – 1.
Решение
Преобразуем уравнение к более удобному виду. Вычтем из обеих частей уравнения p2x – p и запишем результат: x – p2x = p – 1.
Вынесем за скобку x и поменяем знаки обеих частей уравнения:
(p2 – 1)x = –(p – 1).
По формуле разности квадратов преобразуем выражение в скобке в левой части
(p2 – 1) = (p – 1)(p + 1).
В итоге получим (p – 1)(p + 1)x = –(p – 1).
В зависимости от значений параметра p возможны три случая:
Случай 1: p = 1.
Если p = 1, то (p – 1) = 0 и уравнение превращается в тождество 0 · x = 0. Значит, при p = 1 решениями являются все действительные числа.
Случай 2: p = –1.
Если p = –1, то (p + 1) = 0 и уравнение становится неверным равенством 0 · x = –(1 + 1). Следовательно, при p = –1 решений нет.
Случай 3: p ≠ 1 и p ≠ –1.
В этом случае произведение (p + 1)(p – 1) в нуль не обращается, и можно поделить обе части уравнения на него. Тогда
Сокращая на скобку (p – 1), получим решение 
При p = 1 решениями являются все действительные числа.
При p = –1 решений нет.
При p ≠ 1 и p ≠ –1 единственное решение
Пример 4
Найти все a, при которых уравнение a2x + 3 = a(x + 3) имеет ровно одно решение.
Решение
Преобразуем уравнение к более удобному виду. Раскроем скобки в правой части уравнения: a2x + 3 = ax + 3a. Вычтем из обеих частей уравнения ax + 3, тогда получим a2x – ax = 3a – 3.
Вынесем в левой части уравнения за скобку ax, а в правой части 3 получим (a – 1)ax = 3(a – 1).
В зависимости от значений параметра a возможны три случая:
Случай 1: a = 1.
Если a = 1, то (a – 1) = 0 и уравнение превращается в тождество 0 · x = 0. Значит, при a = 1 решениями являются все действительные числа.
По условию задачи требовалось найти только те значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение. Значит, a = 1 нам не подходит.
Случай 2: a = 0.
Если a = 0, то уравнение становится неверным равенством 0 · x = –3. Следовательно, при a = 0 решений нет. И оно нам также не подходит.
Случай 3: a ≠ 1 и a ≠ 0.
Если a ≠ 1 и a ≠ 0, то произведение (a – 1)a в нуль не обращается, и можно поделить обе части уравнения на него. Значит, уравнение имеет единственное решение 
Сокращая на скобку (a – 1), его можно записать в виде 
Следовательно, решениями задачи являются все действительные значения параметра a за исключением a = 1 и a = 0.
a 
Квадратичная функция
в уравнениях с параметром
Пример 1
Решить при всех a: x2 + 2x – a = 0.
Решение
Квадратное уравнение имеет вид приведенного. Исследуем его на существование решения. Удобно находить одну четвертую часть дискриминанта D/4 = 1 + a. В зависимости от значений параметра a возможны три случая:
Случай 1: a < –1.
Дискриминант принимает отрицательное значение. Следовательно, квадратное уравнение не имеет решений.
Случай 2: a = –1.
Если a = –1, то дискриминант равен нулю. Тогда уравнение имеет единственное решение: 
Случай 3: a > –1.
Если же a > –1, то дискриминант положительный. Тогда квадратное уравнение имеет два решения: 
Если a < –1, то квадратное уравнение не имеет решений.
Если a = –1, то квадратное уравнение имеет единственный кратный корень x = –1.
Если a > –1, то квадратное уравнение имеет два решения:
Пример 2
Решить при всех b: x2 + 2bx – 1 = 0.
Решение
Вычислим для квадратного уравнения одну четвертую часть дискриминанта D/4 = b2 + 1. Так как квадрат действительного числа всегда является неотрицательным числом, то дискриминант будет положительным числом при произвольных значениях параметра b. Следовательно, уравнение всегда имеет два различных решения. Найдем их по формулам решения приведенного квадратного уравнения: 
При любых значениях параметра b квадратное уравнение имеет ровно два решения:
Пример 3
Решить при всех p: x2 – px +4 = 0.
Решение
Исследуем значения дискриминанта D = p2 – 4·4 = p2 – 16. В зависимости от значений дискриминанта D возможны три случая:
Случай 1: D < 0.
Если дискриминант принимает отрицательное значение D < 0, то квадратное уравнение не имеет решений. В этом случае p2 – 16 < 0, тогда p2 < 16. Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получим | p| < 4. Следовательно, при –4 < p < 4 квадратное уравнение не имеет решений.
Случай 2: D = 0.
Если дискриминант равен нулю, то p = –4 или p = 4. Тогда уравнение имеет единственное решение 
Случай 3: D > 0.
Дискриминант принимает положительные значения при |p| > 4, то есть при
p < –4 или p > 4. Тогда квадратное уравнение имеет два решения: 
Если –4 < p < 4, то квадратное уравнение не имеет решений.
Если p = –4 или p = 4, то имеет единственное решение 
Если p < –4 или p > 4, то квадратное уравнение имеет два решения:
Пример 4
Решить при всех a: a2x + 2x – 4 = 0.
Решение
В зависимости от значений параметра a получаем разного вида уравнения. Если a = 0, то уравнение становится линейным. Если a ≠ 0, то уравнение будет квадратным. В этом случае количество решений зависит от значения дискриминанта D = 22 – 4(–4)a = 4 + 16a = 4(1 + 4a). Дискриминант принимает нулевое значение, если 1 + 4a = 0, при этом a = –0,25. Отметим точки a = –0,25 и a = 0 на действительной прямой. В зависимости от значений параметра a нужно разобрать пять возможных случаев.
Случай 1: a < –0,25.
В этом случае дискриминант принимает отрицательное значение. Следовательно, квадратное уравнение не имеет решений.
Случай 2: a = –0,25.
Если a = –0,25, то 1 + 4a = 0 и дискриминант равен нулю. Тогда уравнение имеет единственное решение: 
Случай 3: –0,25< a < 0.
В этом случае дискриминант положительный, и квадратное уравнение имеет два решения: 
Случай 4: a = 0.
Уравнение имеет вид 2x – 4 = 0. Добавим к обеим частям уравнения 4 и поделим обе части уравнение на 2.Тогда получим единственное решение: x = 4/2 = 2.
Случай 5: a > 0.
Если a > 0, то уравнение вновь становится квадратным. Так как 1 + 4a > 0 , то дискриминант его положительный. Значит, квадратное уравнение имеет два решения: 
Если a < –0,25, то уравнение не имеет решений.
Если a = –0,25, то уравнение имеет единственное решение: x = 4.
Если –0,25< a < 0, то уравнение имеет два решения:
Если a = 0, то уравнение имеет единственное решение: x = 2.
Если a > 0, то уравнение имеет два решения: