Многогранники
Тема "Многогранники" является одной из самых интересных в школьном курсе геометрии.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 zvezdchatye_mnogogranniki.pptx | 1.65 МБ |
| mnogogranniki.pptx | 483.78 КБ |
| om_v_zadachakh_ege.pptx | 2.76 МБ |
| piramida_v_zadachakh_ege.pptx | 1.74 МБ |
| piramida.pptx | 936.4 КБ |
| polupravilnye_mnogogranniki.pptx | 792.52 КБ |
| ppm_v_zadachakh_ege.pptx | 2.76 МБ |
| pravilnye_mnogogranniki.pptx | 1.95 МБ |
| prizma_v_zadachakh_ege.pptx | 2.58 МБ |
| prizma.pptx | 1.22 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Звёздчатые многогранники Кроме правильных многогранников красивые формы имеют звёздчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 - 1630), а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777 - 1859). Именно поэтому звёздчатые многогранники называются телами Кеплера – Пуансо .
Звёздчатые многогранники
Малый звёздчатый додекаэдр
Большой додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр
Большой икосаэдр
Звёздчатые многогранники
Звёздчатые многогранники
Звёздчатые многогранники
Звёздчатые многогранники
Звёздчатые многогранники
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие многогранника Многогранником называется тело, поверхность которого ограничена конечным числом плоских многоугольников.
Выпуклые и невыпуклые многогранники Выпуклый многогранник можно приложить к плоской поверхности каждой гранью.
Грани, ребра и вершины многогранника Многоугольники, ограничивающие поверхность тела, называются гранями , стороны граней называются ребрами , вершины граней называются вершинами многогранника.
Теорема Эйлера Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В – Р + Г = 2, где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней данного многогранника.
Куб Куб – это многогранник, поверхность которого ограничена шестью равными квадратами.
Прямоугольный параллелепипед Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, поверхность которого ограничена шестью прямоугольниками.
Тетраэдр Тетраэдр – это многогранник, поверхность которого ограничена четырьмя треугольниками.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача № 1 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 5
Задача № 2 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 11
Задача № 3 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 40
Задача № 4 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 96
Задача № 5 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 58
Задача № 6 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 33
Задача № 7 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 32
Задача № 8 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 56
Задача № 9 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 48
Задача № 10 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 52
Задача № 11 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 87
Задача № 12 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 66
Задача № 13 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 48
Задача № 14 Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 122
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача № 1 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 10, BD = 48. Найдите боковое ребро SA . Ответ: 26
Задача № 2 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SD = 1 3 , BD = 10 . Найдите длину отрезка SO . Ответ: 12
Задача № 3 Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. Ответ: 96
Задача № 4 В правильной треугольной пирамиде SABC М – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а S М = 5. Найдите площадь боковой поверхности. Ответ: 45
Задача № 5 В правильной треугольной пирамиде SABC М – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка S М . Ответ: 5
Задача № 6 В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке К. Объём пирамиды равен 42, К S = 18. Найдите площадь треугольника АВС. Ответ: 7
Задача № 7 Объём тетраэдра равен 1,2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Ответ: 0,6
Задача № 8 Площадь поверхности тетраэдра равен 1,3. Найдите площадь поверхности многогранника , вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Ответ: 0,65
Задача № 9 Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . Ответ: 0,25
Задача № 10 Объём треугольной пирамиды S АВС равен 15. Плоскость проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D , делящей ребро S С в отношении 1 : 2, считая от вершины S . Найдите объём пирамиды D АВС. Ответ: 10
Задача № 11 Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все её ребра увеличить в 2 раза? Ответ: 4
Задача № 12 Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. Ответ: 48
Задача № 13 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 . Найдите объём пирамиды. Ответ : 48
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие пирамиды Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
Высотой пирамиды Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из её вершины к плоскости основания.
Правильная пирамида Пирамидой называется правильной , если её основание – правильный многоугольник, а основание высоты (проекция вершины) совпадает с центром этого многоугольника.
Правильная пирамида Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая высоту. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины.
Треугольная правильная пирамида Треугольной правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.
Четырёхугольная правильная пирамида Четырёхугольной правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит квадрат.
Площадь поверхности и объём правильной пирамиды Боковая поверхность: , где – периметр основания, – боковое ребро. Полная поверхность: Объём: , где – площадь основания призмы , – высота.
Сечение пирамиды плоскостью Диагональным сечением пирамиды называется сечение, которое проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, - многоугольник, подобный многоугольнику основания. Сечение пирамиды плоскостью , проходящей через вершину, - треугольник.
Усеченная пирамида Усеченной пирамидой называется многогранник, который отсекается от пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и пересекающей боковые ребра, а также размещен между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Усеченная пирамида Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Замечания: Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекая её, отсекает подобную пирамиду. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Правильная усеченная пирамида Усеченная пирамида называется правильной, если она получена пересечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.
Свойства правильной усеченной пирамиды Основания – правильные многоугольники. Боковые грани – равные равнобокие трапеции. Отрезок, соединяющий центры оснований, - высота. Высота боковой грани называется апофемой.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Полуправильные многогранники Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно, и с равным числом сторон. Самые простые полуправильные многогранники получаются из правильных путём «усечения», т.е. отсечения плоскостями углов многогранника.
Полуправильные многогранники
Усеченный тетраэдр Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий 8 граней . Из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники. Он имеет 12 вершин и 18 ребер. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.
Усеченный гексаэдр Усеченный куб также получается отсечением углов. Он имеет 14 граней. Из них 8 – правильные треугольники и 6 – правильные восьмиугольники ( октагоны ). У него 24 вершины и 36 ребер.
Усеченный октаэдр Если указанным способом срезать вершины октаэдра, то получится усеченный октаэдр, имеющий 14 граней. Из них – 6 квадратов и 8 шестиугольников ( гексагонов ). Он имеет 24 вершины и 36 ребер
Усеченный додекаэдр Если указанным способом срезать вершины додекаэдра, то получится усеченный додекаэдр. Он имеет 32 грани. Из них 20 – правильные треугольники и 12 – правильные десятиугольники ( декадоны ). Он имеет 60 вершин и 90 ребер
Усеченный икосаэдр Усеченный икосаэдр получается отсечением углов от икосаэдра. Он имеет 32 грани. Из них 12 – правильные пятиугольники (пентагоны) и 20 – правильные шестиугольники ( гексагоны ). У него 60 вершин и 90 ребер. Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.
Курносый куб Поверхность курносого куба состоит из граней куба окруженных правильными треугольниками. У него 38 граней. Из них 32 треугольника и 6 квадратов. Он имеет 24 вершины и 60 ребер.
Курносый додекаэдр Поверхность курносого додекаэдра состоит из граней додекаэдра окруженных правильными треугольниками. 80 треугольников и 12 пятиугольников (пентагонов). Он имеет 60 вершин и 150 ребер.
Кубооктаэдр Кубооктаэдр имеет 14 граней. Из них 8 правильных треугольников и 6 квадратов. Он имеет 12 вершины и 24 ребер.
Усеченный кубооктаэдр Поверхность усеченного кубооктаэдра состоит из 12 квадратов, 8 правильных шестиугольников ( гексагонов ) и 6 правильных восьмиугольников ( октагонов ). Он имеет 48 вершин и 72 ребер.
Ромбо к убооктаэдр Поверхность ромбокубоктаэдра состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены 12 квадратов. Итого ромбокубооктаэдр имеет 8 треугольников и 18 квадратов. Он имеет 24 вершины и 48 ребер.
Икосододекаэдр Если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим икосододекаэдр . У него 20 граней – правильные треугольники и 12 – правильные пятиугольники (пентагоны), то есть все грани икосаэдра и додекаэдра. Он имеет 30 вершин и 60 ребер.
Усеченный икосододекаэдр Поверхность усеченного икосододекаэдра состоит из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников ( гексагонов ) и 12 правильных десятиугольников ( декагонов ). У него есть 120 вершин и 180 ребер
Ромбоикосододекаэдр Поверхность ромбоикосододекаэдра состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Итого он имеет 62 грани. Из них 20 треугольников, 30 квадратов и 12 (пятиугольников) пентагонов. У него 60 вершины и 120 ребер.
Псевдоромбокубооктаэдр Получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 °. Поверхность псевдоромбокубооктаэдра состоит из 8 треугольников и 18 квадратов. Он имеет 24 вершины и 40 ребер.
Призма К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призма, т. е. правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями . На рисунке изображена правильная шестиугольная призма. Её грани это два правильных шестиугольника – основания призмы – и шесть квадратов, образующих боковую поверхность.
Антипризма Также к полуправильным многогранникам относятся n -угольные антипризмы . На рисунке изображена шестиугольная антипризма , образованная поворотом одного из оснований относительно другого на угол в 30°. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача № 1 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 104
Задача № 2 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 36
Задача № 3 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 86
Задача № 4 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 130
Задача № 5 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 80
Задача № 6 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 80
Задача № 7 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 222
Задача № 8 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 112
Задача № 9 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 128
Задача № 10 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 82
Задача № 11 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 116
Задача № 12 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 178
Задача № 13 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 204
Задача № 14 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 134
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правильные многогранники Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней . Имеется только пять правильных многогранников: правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Правильные многогранники
Тетраэдр Составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 º .
Гексаэдр (куб) Составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 º .
Октаэдр Составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине 240 º .
Додекаэдр Составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 º .
Икосаэдр Составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 º .
Правильные многогранники Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 4 6 Гексаэдр 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Построение правильных многогранников
Развертки правильных многогранников
Пять красивых тел
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача № 1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что D 1 B = , BB 1 = 3, A 1 D 1 = 4. Найдите длину ребра A 1 B 1 . Ответ: 1
Задача № 2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что DC = , BB 1 = 1, A 1 D 1 = 3. Найдите длину диагонали AC 1 . Ответ: 13
Задача № 3 Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объём параллелепипеда. Ответ: 48
Задача № 4 Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба. Ответ: 6
Задача № 5 Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 22
Задача № 6 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. Ответ: 64
Задача № 7 Диагональ куба равна 3. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 18
Задача № 8 Диагональ куба равна . Найдите его объём. Ответ: 8
Задача № 9 Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличиться на 19. Найдите ребро куба. Ответ: 2
Задача № 10 Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 2
Задача № 11 Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в два раза? Ответ: 4
Задача № 12 Объём одного куба в 8 раз больше объёма другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба? Ответ: 4
Задача № 13 В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь её поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы. Ответ: 10
Задача № 14 Найдите площадь поверхности прямой призмы с боковым ребром, равным 5, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4. Ответ: 62
Задача № 15 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см 3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в см 3 . Ответ: 190
Задача № 16 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. Ответ: 24
Задача № 17 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсеченной треугольной призмы равна 5. Найдите объём исходной призмы. Ответ: 20
Задача № 18 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 . площадь её поверхности равна 288. Найдите высоту призмы. Ответ: 10
Задача № 19 Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны . Ответ: 4,5
Задача № 20 Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3, а высота – 6. Ответ: 108
Задача № 21 Найдите объём параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , если объём треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3. Ответ: 18
Задача № 22 Объём параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 1,8. Найдите объём треугольной пирамиды ABC В 1 . Ответ: 0,3
Задача № 23 От призмы АВСА 1 В 1 С 1 , объём которой равен 6, отсечена треугольная пирамида С 1 АВС. Найдите объём оставшейся части. Ответ : 4
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие призмы Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников (оснований призмы), которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, которые соединяют соответствующие точки этих многоугольников.
Призма Отрезки, соединяющие соответствующие вершины, называются боковыми ребрами призмы. Многоугольники, ограниченные ребрами называются боковыми гранями .
Высота и диагональ призмы Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания (расстояние между плоскостями оснований). Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины призмы, которые не принадлежат одной грани.
N -угольная призма Призма называется n -угольной, если основание n -угольник.
Поверхность призмы Боковая поверхность призмы состоит из боковых граней призмы. Полная поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности.
Свойства призмы Основания призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Боковые грани призмы – параллелограммы.
Виды призм Прямая призма Наклонная призма Правильная призма
Прямая призма Прямая призма – это призма, все боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
Свойства прямой призмы Основания прямой призмы – равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра прямой призмы параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований, т.е. являются высотами призмы. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Плоскости боковых граней перпендикулярны плоскостям оснований.
Параллелепипед Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию, называется прямым . Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным . Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Наклонная призма Наклонная призма – призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.
Правильная призма Правильная призма – прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.
Свойства правильной призмы Все свойства прямой призмы справедливы и для правильной призмы. Кроме того: Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники. Площадь боковой поверхности правильной n -угольной призмы со стороной основания а и высотой h вычисляется по формуле:
Площадь поверхности и объём прямой призмы Боковая поверхность: , где – периметр основания, – высота. Полная поверхность: Объём: , где – площадь основания призмы, – высота.
Площадь поверхности и объём наклонной призмы Боковая поверхность: , где – периметр перпендикуляр- ного сечения, – длина бокового ребра. Полная поверхность: Объём: или , где – площадь перпендикулярного сечения, – боковое ребро.
Спасибо за внимание!