Олимпиады

Максимальное время выполнения: 144 минут

1. Задача 1. «Лестница»

На координатной плоскости нужно нарисовать лестницу из трех ступенек из точки А в точку В. Точка А имеет координаты (0, 0), а точка В – (5, 3). Каждая ступенька должна иметь одну единицу по высоте и целое количество единиц в длину. Один из возможных вариантов показан ниже:

Каждая лестница может быть закодирована тройкой чисел, задающих длины первой, второй и третьей ступеньки соответственно. Так, изображенная лесенка кодируется тройкой 2, 2, 1. Определить, сколько всего может быть таких лесенок, и перечислить все тройки чисел, соответствующие этим лесенкам”.

2. Задача 2. «Переставить вагоны»

На каждом из трех путей стоят вперемешку вагоны с арбузами (А), бананами (Б) и виноградом (В) так, как это показано на рисунке.

Разработайте алгоритм действий машиниста, необходимых для того, чтобы сформировать на каждом из путей составы с одинаковыми плодами, если маневровый тепловоз (Т) может передвигать любое количество вагонов одновременно в любую сторону пути по любому пути. Алгоритм оформите в виде последовательности таблиц, иллюстрирующих изменение положения вагонов на путях, например:

0) исходное положение:

АВБ

БВА

БАВ

1)

АВБ

БВААВ

Б

2) …

3. Задача 3. «Прилипшая монета»

Имеются 9 одинаковых с виду монет. Из них одна монета фальшивая, которая легче настоящих. Одна из монет прилипла в одной из чаш чашечных весов. Отодрать ее невозможно. Как за два взвешивания найти фальшивую монету? Гирь нет.

4. Задача 4. «Бочка с квасом»

Необходимо определить как квас, находящийся в бочке объемом 16 ведер, поделить пополам, имея две пустые емкости на 6 и 11 ведер.

5. Задача 5. «Десятая строка»

Строки (цепочки символов латинских букв) создаются по следующему правилу. Первая строка состоит из одного символа — латинской буквы “А”. Вторая строка состоит из двух символов — латинских букв “BC”. Цепочка под номером n при n > 2 формируется следующим образом: сначала выписывается цепочка под номером n − 1, а затем справа к ней приписывается цепочка под номером n − 2. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:

(1) A

(2) BC

(3) BCA

(4) BCABC

Сколько символов, отличных от “C”, находится в десятой строке? Ответ получите методом рассуждений, а не выписывая все строки.

6. Задача 6. «Сын профессора Алгоритмова»

Профессор Бит Байтович Алгоритмов чрезвычайно гордится своим гениальным, по его мнению, сыном. Он любит рассказывать, что:

1) день рождения сына является числом Фибоначчи;

2) сумма цифр числа — дня рождения — и произведение его цифр также являются числами Фибоначчи;

3) хотя порядковый номер месяца, в котором родился сын, и не является числом Фибоначчи, зато является произведением двух не соседних чисел Фибоначчи;

4) год рождения сына представляет собой удвоенное число Фибоначчи.

Определите точную дату рождения сына уважаемого профессора, а именно, укажите соответствующий день, месяц и год его рождения.

Числами Фибоначчи называют числа, образующие последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

7. Задача 7. «Пятеро друзей в сети»

Пятеро друзей (Павел, Бадри, Семен, Ахмед и Владимир) сидят за своими домашними компьютерами. По каналам связи они могут обмениваться информацией. Скорость передачи информации между компьютерами (килобайт в секунду) отражена в таблице:

Павлу необходимо передать Владимиру файл размером 1000 килобайт. Он может передавать файл любому из друзей, те, в свою очередь, — тоже любым друзьям. Однако передавать его можно только тогда, когда он полностью получен (все 1000 килобайт). За какое наименьшее время при таких условиях Павел может передать файл Владимиру?

8. Задача 8. «Уравнение»

В некоторой системе счисления записали уравнение: X6*2=Y5, где X6 – двузначное число с неизвестной первой цифрой и второй цифрой 6, Y5 – двузначное число с неизвестной первой цифрой и второй цифрой 5. Обе неизвестные цифры (и Х, и У) не могут быть равны нулю. Определите, в какой системе счисления составлено это уравнение, и найдите все его решения (т. е. все пары чисел Х и У, являющихся решениями).

9. Задача 9. «Кофе по утрам»

По утрам пятеро друзей (Максим, Дмитрий, Борис, Иван и Вадим) встречаются за чашкой кофе. Один из них выпивает одну чашку кофе, другой – 4, третий – 5, четвертый — 6, пятый — 8, однако кто-то пьет кофе без сахара, другие кладут в свою чашку по 1, 2, 4, 6 кусочков сахара, и несколько человек пьют свой кофе с молоком. Выясните, сколько чашек кофе выпивает каждый; сколько кусочков сахара он кладет в кофе, и кто пьет кофе с молоком, а кто — нет, если известно следующее:

а) Иван кладет в кофе втрое больше кусочков сахара, чем тот, кто выпивает за день 4 чашки кофе;

б) трое, включая того, кто кладет в кофе 4 кусочка сахара, пьют кофе без молока;

в) Борис выпивает только одну чашку кофе в день, он пьет кофе без молока и без сахара;

г) Дмитрий пьет кофе и с молоком, и с сахаром;

д) Максим, который пьет кофе без молока, кладет в него вдвое меньше кусочков сахара, чем тот, кто выпивает вдвое больше него кофе;

е) Вадим выпивает на 2 чашки кофе больше, чем Иван — но Иван кладет в кофе на два куска сахара больше, чем Вадим.

11. Задача 10. «61 монета, две фальшивые»

Есть 61 монета одинакового внешнего вида. Известно, что две из них — фальшивые. Все настоящие одинакового веса, обе фальшивые — тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет.

Как можно узнать с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь, легче или тяжелее настоящих фальшивые монеты? (Определять фальшивые монеты не требуется)

Примечание:

Задачи 1-3 оцениваются до 5 баллов; задачи 4-9 оцениваются до 10 баллов; задача 10 — до 25 баллов.