ОГЭ

В1. В треугольнике ABC известно, что АВ = 14, ВС = 5, . Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

В3. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН, угол ВАС = 39°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Высота BH, проведенная из прямого угла образует подобные треугольники ABH и BHC. В этих треугольниках соответствующие углы равны. В частности:

Следовательно:

В5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, , АВ = 42. Найдите ВС.

Решение.

Катет BC можно найти по формуле:

В7. На стороне АС треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение.

Сделаем построение, проведем высоту BH, общую для треугольников ABC и BDC (см. красная линия на рисунке ниже).

Вычислим высоту BH из площади треугольника ABC:

Подставляем числовые значения, получаем:

Тогда площадь треугольника ABD можно найти как

В9. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника ABC опущена высота СН, АН = 7, ВН = 28. Найдите СН.

Решение.

В соответствии со свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике для высоты CH можно записать равенство:

В11. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 44, MN = 24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MNB.

Решение.

Треугольники ABC и BMN подобны по трем углам с коэффициентом подобия AC:MN = 44:24 = 11:6. То есть, все линейные размеры большого треугольника ABC в 11/6 раз больше соответствующих размеров малого треугольника BMN. Следовательно, площадь малого треугольника MNB в раз меньше площади большого и равна:

В13. В треугольнике ABC угол С равен 90°, ВС = 7, АС = 35. Найдите tgB.

Решение.

Тангенс угла определяется отношением противолежащего катета на прилежащий, то есть:

В 15. В треугольнике ABC угол С равен 90°, М — середина стороны АВ, АВ = 76, ВС = 46. Найдите СМ.

Решение.

Известно, что вокруг прямоугольного треугольника можно описать окружность и его гипотенуза будет лежать на диаметре этой окружности. Точка M – центр окружности, а отрезки AM=MB=MC=R – ее радиусы. Отсюда имеем, что:

CM = AB:2 = 76:2 = 38

В 17. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

В19. В треугольнике ABC известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС = 4. Найдите .

Решение.

Найдем косинус угла ABC из теоремы косинусов:

откуда

В21. В треугольнике ABC угол С равен 106°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Внешний угол можно найти как разность между развернутым углом (180°) и углом C треугольника ABC:

180° - 106° = 74°

В23. Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

В 25. В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол В равен 30°, ВС = 8√2 . Найдите АС.

Решение.

По теореме синусов :

Откуда

В27. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC соотв. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О, AN = 18, CM = 21. Найдите ОМ.

Решение.

Известно, что медианы любого треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

В29. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 14, АВ = 20. Найдите sin B.

Решение.

Синус угла B равен отношению противолежащего катета AC на гипотенузу AB, имеем:

В31. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС внешний угол при вершине С равен 144°. Найдите величину угла ABC.

Решение.

Так как внешний угол C=144°, то соответствующий внутренний угол ACB равен

Учитывая, что в равнобедренном треугольники углы при основании равны, то . Далее, из условия, что в любом треугольнике сумма углов 180°, получаем значение третьего угла ABC:

В33. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение.

Гипотенузу прямоугольного треугольника можно найти по теореме Пифагора:

В35.В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как AD биссектриса угла BAC, то она делит этот угол пополам. Следовательно, угол BAD представляет собой половинку угла BAC и равен:

В35. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC, сторона АВ равна 73, сторона ВС равна 31, сторона АС равна 42. Найдите MN.

Решение.

Отрезок MN является средней линией треугольника ABC и параллельна основанию AC (по определению средней линии).

В 1. В треугольнике ABC известно, что АВ = 14, ВС = 5, . Найдите площадь треугольника ABC.

В3. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота ВН, угол ВАС = 39°. Найдите угол АВН. Ответ дайте в градусах.

В5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, , АВ = 42 Найдите ВС.

В7. На стороне АС треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 6, DC = 8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

В9. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника ABC опущена высота СН, АН = 7, ВН = 28. Найдите СН.

В 11. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 44, MN = 24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MNB.

В13. В треугольнике ABC угол С равен 90°, ВС = 7, АС = 35. Найдите tgB.

В 15. В треугольнике ABC угол С равен 90°, М — середина стороны АВ, АВ = 76, ВС = 46. Найдите СМ.

В17. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

В 19. В треугольнике ABC известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС = 4. Найдите .

В 21. В треугольнике ABC угол С равен 106°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.

В 23. Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

В 25. В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол В равен 30°, ВС = 8√2 . Найдите АС.

В 27. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О, AN = 18, CM = 21. Найдите ОМ.

В 29. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 14, АВ = 20. Найдите sin B.

В 31. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС внешний угол при вершине С равен 144°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

В 33. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

В 35. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

В36. Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC, сторона АВ равна 73, сторона ВС равна 31, сторона АС равна 42. Найдите MN.

В-1,2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Все три угла ABC, CAD и ABD – вписанные и опираются на дуги, градусные меры которых в 2 раза больше соответствующих углов. Следовательно, градусную меру дуги AD, на которую опирается угол ABD можно найти как:

И угол

В-3,4 Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.

Решение.

Так как весь круг составляет 360°, то сектор в 120° меньше круга в 360:120 = 3 раза

Следовательно, его площадь, равна: 69:3 = 23

В-5,6

Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, то есть:

Откуда

В -7,8 C и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 53° = 106°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 106° = 74°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 74°.

В-9,10 Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9.

Решение.

Треугольник ABC – прямоугольный с углом C=90° (по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности). Длина AB = 2R – диаметр окружности, то есть, AB=2∙20,5=41. Найдем катет BC из теоремы Пифагора:

В 11,12 Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 61° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO = OB, следовательно, углы ∠OAB = ∠ABO = 8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO = OC, следовательно, ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 61° − 8° = 53°.

В 13,14 На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что АОВ=45 Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги.

Решение.Пусть длина большей дуги равна х Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Откуда

В 15,16. Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение.Для любого четырехугольника, вписанного в окружность, соблюдается равенство: А+С=В+Д=180

(сумма противоположных углов 180°). Отсюда находим величину угла C: С=180-А=103

17,18 Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противолежащих сторон равна. Таким образом,

19,20.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.

Решение.

Угол AOB является центральным, так как точка O – центр окружности, следовательно, градусная мера дуги AB равна также 167°. Угол ACB является вписанным в окружность углом и опирается на дугу AB. Известно, что величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть

21,22 Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12, Найдите высоту этой трапеции.

Решение.

Высота трапеции показана синей линией на рисунке ниже и совпадает с диаметром вписанной окружности.

Так как h=D=2R, получаем значение высоты:

23,24 Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ABC — прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, а С=90-44=46

25,26 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 37°, угол CAD равен 58°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

∠СВD опирается на дугу СD, на ту же дугу опирается ∠САD⇒

∠СВD=∠САD=58°.

∠АВС=∠АВD+∠CBD=37°+58°=95°

27,28 Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором АВ = ВС и угол ABC = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник АВС — равнобедренный, следовательно, ВАС=ВСА =36,5 Угол ВАС— вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол ВОС — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы ВАС иВОС опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ВАС=1/2ВОС=36,5,ВОС=73.

29,30 Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Решение.Центр вписанной в равносторонний треугольник окружности лежит на высоте BH и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины B.

В задании нам дана величина радиуса OH=r=6, следовательно, OB=2r=12. И вся высота BH=6+12=18.

31,32 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 2, АК = 4. Найдите АС.

Решение.

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной: откуда

33,34 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 80°. Следовательно:

АВД=АВС-СВД=132-80=52

35,36 Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сначала найдем центральный угол AOB из четырехугольника ACBO, у которого углы (углы между касательной и радиусами окружности).

Учитывая, что сумма углов в четырехугольнике 360°, получаем четвертый угол

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник AOB (OA=OB=R – радиусы окружности), в котором углы . И, так как сумма всех углов в треугольнике 180°, получаем значение угла ABO:

В-1,2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

В-3,4 Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.

В-5,6 Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

В -7,8 C и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

В-9,10 Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9.

В 11,12 Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 61° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

В 13,14 На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что АОВ=45 Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги.

В 15,16. Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

17,18 Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

19,20. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.

21,22 Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12, Найдите высоту этой трапеции.

23,24 Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

25,26 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 37°, угол CAD равен 58°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

27,28 Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором АВ = ВС и угол ABC = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

29,30 Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

.

31,32 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 2, АК = 4. Найдите АС.

33,34 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

35,36 Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

В1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 94°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение.В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Сумма 94° может быть только суммой двух острых углов. Тогда величину тупого (большего) угла (учитывая, что сумма всех углов в трапеции равна 360°) можно найти по формуле:

В3. Периметр квадрата равен 32. Найдите площадь этого квадрата.

Решение.Периметр – это сумма длин сторон фигуры. Так как у квадрата все стороны равны, то периметр будет равен , где - длина стороны квадрата. Отсюда получаем, что .

Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть

.

В5.Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 38°. Ответ дайте в градусах.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Углы BEA и EAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и Поскольку AE  — биссектриса угла A, Сумма смежных углов параллелограмма равна поэтому угол ABC равен 104 Таким образом, острый угол параллелограмма равен 52.

В7.Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

Решение.Площадь трапеции находится по формуле S=a+b2⋅h, где a и b – основания трапеции, h – высота, проведенная к основанию.Подставим известные данные в формулу и найдем площадь трапеции: S=13+232⋅5=362⋅5=90.

В9

1 способ. 180° - 61° = 119°, т.к. углы односторонние при параллельных прямых.

2 способ. Сумма углов параллелограмма равна 360° и противоположные углы параллелограмма равны.

Поэтому можно из 360° вычесть два равных угла по 61° и результат разделить пополам. (360° - 61° - 61°) : 2 = 119°.

В11. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение.Площадь трапеции можно найти по формуле:,где a = 2, b = 6 – основания трапеции; h – высота трапеции.

Найдем высоту равнобедренной трапеции из равнобедренного прямоугольного треугольника. Катеты этого треугольника, равны:

Получаем площадь трапеции:

В13. Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Решение.Две стороны параллелограмма равны a = 4 и b = 20:

Очевидно, это стороны, которые выходят из одного угла (смежные стороны). Тогда из площади параллелограмма:

вычислим синус острого угла:

Большая высота параллелограмма – это катет, лежащий напротив угла с синусом 3/4. Следовательно:

В15.Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 11° и 60° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Решение. Углы при основании равнобедренной трапеции равны, то есть . Также равны углы . Учитывая, что , то получаем, что , и так как в четырехугольнике сумма всех углов равна 360 градусов, имеем:

.

В 17. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 и 6.

Решение.Площадь ромба можно найти по формуле:

В19. Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение. Проставим буквы на рисунке.Основание трапеции DC=14, а основание AB=19. Рассмотрим треугольник ADB. В нем отрезок OE – это средняя линия треугольника и равна половине основания AB (так как параллельна ему):

Ответ: 9,5.

В21. Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 37, AB = 56. Найдите АС.

Решение.Диагонали в прямоугольнике равны (AC=BD) и точкой пересечения O делятся пополам, то есть, BD=2BO, следовательно,

AC=2BO=2∙37=74.

В23. Две стороны параллелограмма равны 6 и 17, а один из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Решение.Нарисуем рисунок в соответствии с условиями задачи:Высота параллелограмма h в 2 раза меньше гипотенузы 6, так как находится напротив угла в 30° (это также можно вычислить через синус 30°): h = 6:2 = 3 Следовательно, площадь параллелограмма, равна:

В25. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания ВС.

Решение.Так как трапеция равнобедренная, то отрезки AM=ND. По условию задания AN = 19, а ND = 14 (так как ND < AN). Получаем длину отрезка BC = MN: BC = MN = AN-AM = 19-14 = 5.

В27. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение.Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

В29. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС = 7, AD = 9, АС = 32. Найдите АО.

Решение. Из рисунка видно, что треугольники BCO и AOD подобны друг другу. Следовательно, можно записать отношение ,

то есть точка O делит отрезок AC в отношении 7:9, отсчитывая от вершины C. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 7+9=16 равных частей, 7 из которых составляет OC, а 9 – AO, то есть:

.

В31. Задание 17. Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.Так как все углы прямоугольника по 90°, то угол 47° - это больший угол между диагональю и стороной. Имеем равнобедренный треугольник с углами по 47°.Учитывая, что сумма всех углов в треугольнике 180°, получаем искомый острый угол: 180 - 2∙47 = 86

В33. Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Решение.Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

Подставляем в нее числовые значения, получаем:

В35. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение. Площадь параллелограмма можно найти по формуле

,

где h=12 – высота параллелограмма; a = 5+5=10 – длина стороны, к которой проведена высота. Подставляем числовые значения в формулу, получаем:

В1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 94°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

В3. Периметр квадрата равен 32. Найдите площадь этого квадрата.

В5.Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 38°. Ответ дайте в градусах.

В7.Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

В9

В11. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

В13. Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

В15.Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 11° и 60° соответственно. Ответ дайте в градусах.

В 17. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 и 6.

В19. Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

В21. Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 37, AB = 56. Найдите АС.

В23. Две стороны параллелограмма равны 6 и 17, а один из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.

В25. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания ВС.

В27. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

В29. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС = 7, AD = 9, АС = 32. Найдите АО.

.

В31. Задание 17. Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

В33. Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.

35. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

В1,2 В магазине канцтоваров продаётся 200 ручек: 31 красная, 25 зеленых, 38 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или черной.

Решение:

Найдём сколько оставшихся синих и чёрных ручек вместе:

200 – (31 + 25 + 38) = 106

Т.к. их поровну, то чёрных: 106/2 = 53

Чёрных и красных вместе: 53 + 31 = 84

Зная, что всего 200 ручек найдём вероятность, что нам попадётся одна из тех 84 ручек:

В3,4. Задание 10. При подготовке к экзамену Олег выучил 40 билетов, а 10 билетов не выучил. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

Пусть событие A – «Олег достал выученный билет». Всего исходов n=40+10 из них благоприятных событию A – m=40. Получаем значением искомой вероятности:

В5,6. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение.

Обозначим через событие А то, что спортсмен не из России будет стартовать первым. Всего возможных исходов равно 11+6+3=20 – общее число спортсменов. Число благоприятных исходов для события А равно 20-11 = 9. Таким образом, вероятность события А, равна:

В7, Вероятность того, что новый фен прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,86. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Достаточно просто задачи такого типа решаются таким рассуждением. Вероятность того, что фен прослужит больше года, равная 0,98, (пусть это будет событие A) равна вероятности того, что он прослужит или больше двух лет (событие B) или больше от 1 года до двух лет (событие C): ,

учитывая, что события A, B, C независимы между собой. Отсюда получаем вероятность события C:

Р(С)=Р(А)-Р(В)=0,98-0,86=0,12

В9,10 В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 17 чёрных, 15 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение.

Всего желтых такси m=15 – это число благоприятных исходов. Всего машин n=40. Получаем значением искомой вероятности:15/40=0,375

В11,12,31,32 В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с зелёным чаем в 7 раз меньше, чем пакетиков с чёрным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с чёрным чаем.

Решение.

Пусть в ящике x пакетиков с зеленым чаем, тогда с черным чаем пакетиков 7x (так как их в 7 раз больше). Всего в ящике находится

x+7x = 8x пакетиков с чаем.

Обозначим через событие A «из ящика был вынут пакетик с черным чаем». Число благоприятных исходов для события A равно m=7x. Всего исходов n=8x. Получаем значение искомой вероятности:

В13,14. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Македонии.

Решение.

На последнем месте может оказаться любой спортсмен из n = 4+9+7+5=25 спортсменов, участвующих в соревнованиях. При этом число спортсменов из Македонии, равно m = 4. Следовательно, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии, равна:

В15,16. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение.

Турист Д. – один из 8 человек, которые участвуют в жребии, значит, общее число исходов n=8. С помощью жребия выбирается 3 человек, значит, число благоприятных исходов для туриста Д., равно m=3. Получаем искомую вероятность:

3/8=0,375

.

В 17,18.,35,36. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня — по 13 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора К. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

Вероятность того, что профессор К. будет докладываться в последний день, равна доли докладов в последний день среди общего числа докладов. Так как в первые два дня слушаются 13 докладов, а в последние два дня доклады распределены поровну, получаем число докладов в последний день конференции:

Учитывая, что всего докладов n=50, получаем значение искомой вероятности:

В 19,20,27,28 В среднем из 300 садовых насосов, поступивших в продажу, 60 подтекает. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для контроля насос подтекает.

Решение.

Обозначим через событие A «случайно выбранный для контроля насос подтекает». Число благоприятных исходов для А равно m=60. Общее число исходов n=300. Получаем значение искомой вероятности:

В21,22. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 71 спортсмен, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Т. Найдите вероятность того, что в первом туре Т. будет играть с каким-либо спортсменом из России.

Решение.

Обозначим через событие А «в первом туре Т. будет играть с каким-либо спортсменом из России». Число благоприятных исходов для события А равно m=22-1=21 (так как Т. не может играть сам с собой, поэтому нужно взять на одного спортсмена из России меньше). Всего исходов n=71-1=70 (самого спортсмена Т. не рассматриваем). Получаем значение искомой вероятности:

В23,24. На экзамене 40 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

Введем событие А «Олег вытянул выученный билет». Число вариантов, благоприятных событию А, равно m=40-12 = 28. Общее число возможных исходов n=40. Получаем значение искомой вероятности:

В 25,26,29,30. На семинар приехали 5 ученых из Норвегии, 6 из России и 9 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение.

Всего в семинаре принимает участие 6 + 5 + 9 = 20 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 6:20 = 0,3.

В33,34. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 150 сумок 3 сумки имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без дефекта.

Решение.

Введем событие А «случайно выбранная сумка без дефекта». Число благоприятных исходов для этого события, равно m=150-3=147. Общее число исходов n=150. Получаем значение искомой вероятности:

В#1042; течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 888 рублей, а в 13-й день – 940 рублей?

Решение:

Каждый день акции дорожают на одну и ту же сумму. В промежуток с 9-го по 13-й день акции выросли в цене:

13 – 9 = 4 раза

За эти 4 дня дня акции подорожали на:

940 – 888 = 52 рубля

Значит, каждый день они дорожают на:

52/4 = 13 рублей

С 13-го по 20-й день акции вырастут:

20 – 13 = 7 раз

На 20-й день они будут стоить:

13-й день + 7·13 = 940 + 7·13 = 1031

В3. При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 7,5 °С в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла -8‚7 °С.

Решение:

За 6 минут температура понизилась на:

6·7,5 = 45 °С

От начальной температуры -8,7 °С она понизилась до:

-8,7 – 45 = –53,7 °С

В5 В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем – на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Задача на арифметическую прогрессию. Используем формулы из По условию известно:

n = 20 рядов
а1 = 56 мест
d = –2 места

Найдём сколько мест в 20-м последнем ряду:

an = a1 + d·(n – 1)
a20 = 56 + (–2)·(20 – 1) = 56 – 2·19 = 18 мест

Найдём сколько всего мест в амфитеатре:

В 7 Задание 14. В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа после того, как они сломались?

Решение.

Сначала вычислим отставание часов за один час. Известно, что за время:

21:00 – 11:00 = 10 часов

отставание составило 20 минут. Значит, они отставали

20:10 = 2 минуты/час

Спустя 24 часа они будут отставать на

24∙2 = 48 минут

В 9 Задание 14. Курс воздушных ванн начинают с 10 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 5 минут?

Решение.

1 час и 5 минут – это 60+5 = 65 минут. В первый день процедура составляла 10 минут, значит, последующие

65-10 = 55 минут

это прибавка за каждый новый день. Получаем число дней (не считая первого):

55:5 = 11 дней.

Получаем, что на 11+1 = 12 день процедура составила указанное время

.

В 11 Задание 14. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 1280?

Решение.

Шестикратное деление, означает, что каждый раз (из шести) их число удваивалось и увеличилось в раза. Следовательно, изначально животных было:

1280:64 = 20

В13 Задание 14. Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 40 капель. Такую дневную дозу (40 капель) больной ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает приём на 5 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 10 мл лекарства, то есть 200 капель?

Решение.

Изобразим изменение графика числа капель от дней их приема:

Общее число капель – это площадь под этим графиком, которую можно вычислить как площади двух трапеций и одного центрального прямоугольника:

где - число дней (см. график). Найдем эти величины. Первый линейный сегмент от 5 капель до 40 капель занимает занимает:

(40-5):5 + 1 = 8 дней

(здесь +1 – это учет первого дня). Последний сегмент, когда число капель уменьшается до 10, занимает:

(40-10):5 = 6 дней.

Получаем общее число капель:

Далее, в одном пузырьке 200 капель, следовательно, нужно купить:

пузырька

В15 Задание 14. К концу 2009 года в городе проживало 53 100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало 60 390 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2015 года?

Решение.

Сначала вычислим ежегодный прирост населения:

(60390-53100):(2018-2009) = 810 человек

Значит, в 2015-м году население было равно:

53100 + (2015-2009)∙810 = 57960 человек

В17

Задание 14. Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2520 м над уровнем моря.

Решение.

Разница высот составляет:

2520 – 2205 = 315 метров

Так как каждые 10,5 метров давление уменьшается на 1 мм рт. ст., получаем давление на высоте 2520 метров:

мм рт. ст.

Задание 14. При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 4,3 °С в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла +9,8 °С.

Решение.

Начальная температура реагента t0 = 9,8 °С в течение 6 минут уменьшалась на 4,3 °С каждую минуту. Следовательно, конечная температура, равна:

°С

В 21 Задание 14. В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 999 рублей, а в 13-й день — 1063 рубля?

Решение.

Вычислим скорость дорожания акции в день:

(1063 – 999):(13-9) = 16 руб/день

Следовательно, в последний 20-й день она стоила:

1063 + (13-20)∙16 = 1175 рублей

В 23 Задание 14. В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем — на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение.

Амфитеатр можно представить в виде трапеции, у которой верхнее основание равно 16 – число мест в 30-м ряду, а общее число рядов (высота трапеции) h=20:

Тогда общее число мест – это площадь данной трапеции. Вычислим нижнее основание – число мест в 1-м ряду:

16 + 19∙2 = 54

И общее число мест, равно:

В 25 Задание 14. В 12:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 22:00 того же дня часы отставали на полчаса. На сколько минут отставали часы спустя 15 часов после того, как они сломались?

Решение.

Сначала вычислим отставание часов за один час. Известно, что за время:

22:00 – 12:00 = 10 часов

отставание составило 30 минут. Значит, они отставали

30:10 = 3 минуты/час

Спустя 15 часов они будут отставать на

15∙3 = 45 минут

В 27 адание 14. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после пятикратного деления их стало 480?

Решение.

Пятикратное деление, означает, что каждый раз (из пяти) их число удваивалось и увеличилось в раз. Следовательно, изначально животных было:

480:32 = 15

В 29адание 14. Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2520 м над уровнем моря.

Решение.

Разница высот составляет:

2520 – 2205 = 315 метров

Так как каждые 10,5 метров давление уменьшается на 1 мм рт. ст., получаем давление на высоте 2520 метров:

мм рт. ст.

Задание 14. Курс воздушных ванн начинают с 10 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 20 минут?

Решение.

1 час 20 минут – это 80 минут. В первый день процедура составляла 10 минут, значит, последующие

80-10 = 70 минут

это прибавка за каждый новый день. Получаем число дней (не считая первого):

70:10 = 7 дней.

Получаем, что на 7+1 = 8 день процедура составила указанное время.

В33Задание 14. Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 10 капель, а в каждый следующий день — на 10 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 60 капель. Такую дневную дозу (60 капель) больной ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает приём на 10 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 5 мл лекарства, то есть 130 капель?

Решение.

Изобразим изменение графика числа капель от дней их приема:

Общее число капель – это площадь под этим графиком, которую можно вычислить как площади двух трапеций и одного центрального прямоугольника:

где - число дней (см. график). Найдем эти величины. Первый линейный сегмент от 10 капель до 60 капель занимает занимает:

(60-10):10 + 1 = 7 дней

(здесь +1 – это учет первого дня). Последний сегмент, когда число капель уменьшается до 10, занимает: (60-10):10 = 6 дней.

Получаем общее число капель:Далее, в одном пузырьке 130 капель, следовательно, нужно купить:

пузырьков

Линейная функция

•Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
•Графиком линейной функции является прямая.

1.Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
• если k>0, то функция y=kx+b возрастает
• если k<0, то y=kx+b функция убывает

Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
• если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
• если b<0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY

Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k<0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k<0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с - свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

#1045;сли старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

#1045;сли старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

#1058;очки пересечения графика функции с осью ОХ.

1. Если ,то парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3. Если ,то парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:

у находим подстановкой

Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Запись выражения a>b на математическом языка означает, что число a больше числа b. В свою очередь, это значит, что a−b – положительное число.
Запись выражения a на математическом языка означает, что число a меньше числа b. А это значит, что a−b – отрицательное число.


Свойство 1.
Если a>b и b>c, то a>c.
Если a>b, то число a на числовой прямой будет лежать правее b.

.
Как видно из рисунка точка a в нашем случае находится правее точки c, а это означает, что a>c.

Свойство 2.
Если a>b, то a+c>b+c.
Иначе говоря, если число a больше числа b, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, знак неравенства будет также сохраняться.,

Свойство 3.
а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется.
Если a>b и c>0, тогда ac>bc.
б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный.
Если a>b и c<0, тогда ac.
Если a и c<0, тогда ac>bc.
При делении следует действовать тем же образом (делим на положительное число – знак сохраняется, делим на отрицательно число – знак меняется).

Свойство 4.
Если a>b и c>d, то a+c>b+d.

Свойство 5.
Если a,b,c,d – положительные числа и a>b, c>d, то ac>bd..

Свойство 6.
Если a>b (a>0, b>0), то an>bn, где n – любое натуральное число.
Если обе части неравенства положительные числа и их возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится неравенство того же смысла.
Заметим: если n – нечетное число, то для любых по знаку чисел a и b свойство 6 выполняется.

Свойство 7.
Если a>b (a>0, b>0), то 1/a<1b.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

. дискриминант — D = b2 − 4ac.

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Пусть с=0 ,тогда ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

В1. Два велосипедиста одновременно отправляются в пробег протяжённостью 208 км. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость первого велосипедиста. Тогда скорость второго будет равна x-3 км/ч. Путь в 208 км первый проходит за часов, а второй за часов. Известно, что разница во времени прибытия на финиш составляет 3 часа. Получаем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Имеем одно положительное значение x=16 км/ч. Это скорость первого велосипедиста. Скорость второго равна 16-3=13 км/ч.

В3.Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится килограмма кислоты

В5. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго - 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

За то время, пока первый велосипедист делал остановку, второй велосипедист проехал

. Всё остальное время они одновременно находились в пути, значит, второй велосипедист за это время проехал

Таким образом, суммарно он проехал 173 км.

В7. Моторная лодка прошла против течения реки 132км и вернулась в пункт отправления , затратив на обратный путь на 5 часов меньше,чем на путь против течения . Найдите скорость лодки в неподвижной воде ,если скорость течения реки равна 5км\ч.

Решение.

Пусть скорость лодки х км/ч. - против течения будет х-5. а по течению х+5

по условию

132/(х-5)-132/(х+5)=5

решаем уравнение

(132*(х+5)-132*(х-5))/(х-5)(х+5)=5

(132х+660-132х+660)/(х2-25)=5

1320/(х²-25)=5

х²-25=1320:5

х²=264+25

х= √289

х=17 км/ч - искомая скорость лодки

В9.Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая.

Решение

Пусть Х литров пропускает первая труба в минуту, тогда вторая труба - х+16

Резервуар они будут соответсвенно заполнять
за 105/Х и 105/(Х+16)

105/Х=105/(Х+16)+4
(105(Х+16)-105х)/[х(Х+16)]=4
1680=4(х^2+16х)
Х^2+16х-420=0
D=256+1680=1936=44^2
Х1=(-16-44)/2=-30
Х2=(-16+44)/2=28/2=14

-30 не подходит, значит Х=14

В11. Грузовик перевозит партию щебня массой 120 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.

Имеем арифметическую прогрессию с тонны щебня и суммой первых десяти ее членов, равной:

тонн

Отсюда находим

тонну

Ответ: 21.

В.13.По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение:

При движении навстречу друг другу скорость сближения поездов равна сумме их скоростей:

65+40=105 (км/ч) скорость сближения поездов

Переведём скорость из километров в час в метры в секунду:

105 км/ч=175/6 м/с

Скорый поезд прошел мимо пассажирского за 36 секунд. Умножим скорость сближения поездов на это время:

Длина поезда равна расстоянию от головы поезда до конца последнего вагона. 36 секунд — это время с момента, когда головной вагон скорого поезда поравнялся с головным вагоном пассажирского поезда, до момента, когда последний вагон скорого поезда проехал мимо последнего вагона пассажирского поезда.

Таким образом, 1050 м — это расстояние, между головным вагоном скорого поезда, и головным вагоном пассажирского поезда, то есть 1050 м — это сумма длин двух поездов.

Чтобы найти длину скорого поезда, из суммы длин вычитаем длину пассажирского поезда:

1050-350=700 м.

В15.Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 8 %. На сколько процентов девять таких же рубашек дороже куртки?

Решение.

Шесть рубашек дешевле куртки на 8% означает, что 6 рубашек составляют 100-8=92% от стоимости куртки. Следовательно, одна рубашка – это % от стоимости куртки. Таким образом, 9 рубашек будут составлять от стоимости куртки, т.е. будут на 38% дороже.

В17. Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Пусть х км ч-скорость баржи, тогдо (х+5)км /ч -скорость баржи за течением, а (х-5) км/ ч-скорость баржи против течения. Зная скорость и расстояния можем найти врема которое баржа затратила на прямой и оборотный путь .
56/ (х+5) ч- время которое баржа прошла по течению реки
54 /(х-5) ч- время против течения
Мы знаем, что на веь путь баржа затратила 5часов можем составить уравнение
56 /(х+5) +54 /(х-5)=5 ( общий знаменатель (х-5)(х+5)
56(x-5)+54(x+5)-5(x-5)(x+5)=0
56x-280+54x+270-5x+125=0
-5x+110-115=0
x-22x-23=0
За аксиомой Виета х1=-1 не удовлетворяет условие
х2=23км ч- собственная скорость баржи

В19.В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В.21Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Пусть x км/ч — скорость первого автомобиля, , тогда км/ч — скорость второго автомобиля.

Составим таблицу по данным задачи:

Первый автомобиль прибыл к финишу на 2 часа быстрее второго, откуда:

Корень −60 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.

Ответ: 84 км/ч.

В.23. Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть свежих фруктов составляет 12%, а высушенных — 70%. Значит, для приготовления 72 кг высушенных фруктов требуется кг свежих.

Ответ: 420.

В25. Первую часть пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость на протяжении всего пути

Решение.

Vcp = S(весь)/t(все)
Весь путь Sкм
S=S/2
S=S/2
t=S/V=S/2 /36км/ч=S/72 час.
t=S/V=S/2 99км/ч = S/198 час
t=t+t =S/72+S/198=15S/792
Vcp = S/(15S/792)= (сократим на S)=792/15= 52,8км/ч

В.27. Смешали 4 литра 35-процентного раствора вещества с 11 литрами 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

После смешивания объем получившегося раствора равен V=4+11=15 литров. Значит, доля 35-процентного раствора в этом объеме составляет 4/V, а доля 5-процентного раствора – 11/V. Получаем концентрацию получившегося раствора:

В.29. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. Отдохнув он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста из города А в город В, тогда для прохождения 224 км велосипедист затратит

часа.

На обратном пути велосипедист увеличил скорость на 2 км/ч, то его скорость из города В в город А равна x + 2 км/ч и для прохождения 224 км велосипедист затратит

часа.

Так как на обратно пути велосипедист сделал остановку на 2 ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В, получим уравнение

Учитывая, что x ≠ 0, x ≠ — 2, умножим обе части уравнения на x(x + 2), получим

224·(x + 2) = 224·x + 2·x(x +2)

Раскроем скобки и приравняем к нулю:

224x + 448 – 224x – 2x2 – 4x = 0

2x2 + 4x – 448 = 0

x2 + 2x – 224 = 0

D = b2 – 4ac

D = 22 — 4·1·(-224) = 4 + 896 = 900

Первый ответ не подходит из физических соображений, поэтому скорость велосипедиста равна 14 км/ч.

В31. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 13 вопросов теста, а Ваня - на 15. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста и Петя закончил свой тест позже Вани на 40 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Пусть в тесте вопросов. Тогда общее время ответа Коли на все вопросы равно часов, а общее время ответа Мити часов. Известно, что Коля отвечал на тест на 105 минут (7/4 часа) дольше Мити. Имеем уравнение

То есть в тесте 49 вопросов.

Ответ: 49.

В33. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

Решение.

Пусть x км/ч скорость первого бегуна, тогда скорость второго x+5 км/ч. Известно, что спустя 45 минут (3/4 часа) второй бегун пробежал один круг, то есть длина круга км. Первому бегуну через час бега оставалось пробежать еще 1 км до окончания круга, то есть за час он пробежал км. Эта величина также равна и скорости первого бегуна, так как она показывает расстояние, пройденное за 1 час. В то же время, скорость первого бегуна обозначена как x км/ч, следовательно,

,

откуда имеем:

То есть скорость первого бегуна 11 км/ч.

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

РЕШЕНИЕ:

Скорость первого x км/ч,
Скорость второго (x+8) км/ч.

За 1 час первый пробежал x км.
Второй за 40 мин или 2/3 часа пробежал расстояние на 1 км большее.


2 (х+8) - х = 1
3

2х + 16 - 3х = 3

-х = - 13

х = 13

Ответ: 13

В.35.Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение.

Обозначим через x деталей в час – производительность второго рабочего, тогда первый рабочий выполняет x+9 деталей в час. Известно, что 112 деталей первый выполняет быстрее, чем второй, то есть

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Так как выработка не может быть отрицательным числом, получаем производительность второго рабочего 12 деталей в час.

Ответ: 12.

Методическая разработка

 Использование интерактивных технологий при подготовке к ОГЭ.

Работу выполнила:

                                                                              учитель математики Дуняк О.С.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Актуальность3

1. Психофизиологические особенности учащихся 9 классов. 4

2. Интерактивные методы обучения при подготовке к ОГЭ по   математике. 6

3. Особенности подготовки учащихся 9 классов к ОГЭ по математике …7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 8

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ10

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

Актуальность

Актуальность темы  обусловлена тем, что ОГЭ по математике является обязательным экзаменом абсолютно для всех учащихся и  успешная сдача ОГЭ влияет на поступление на желаемую специальность.

В моей практике был случай, когда учащийся со средним баллом 2,65(часто болел, не было достаточной мотивации на протяжении с5-8 класс) в 9 классе проявил необыкновенное рвение в предмете (при этом нашел опечатку в сборнике Ященко, предоставил верное решение) и  сдал экзамен на 4.Это заставило меня задуматься о более детальном изучении мотивации и поведения подростков и собрать всю информацию в определенную систему подготовки.

Целью данной работы является систематизация знаний и обобщение опыта работы с подростками при подготовке к ОГЭ, который может быть использован учителями и школами для достижения успешных результатов.

Передо мной стояли следующие задачи:

1.Изучение психо-физиологических особенностей учащихся 9 классов

2. Изучение и анализ различных методик и приемов подготовки к ОГЭ в 9 классе.

3. Разработка рекомендаций для родителей, учащихся и учителей  для организации эффективной подготовки к ОГЭ по математике.

4.Составление банка данных заданий за период 2019-2023г

1. Психофизиологическая характеристика учащихся 9 классов.

По самой распространенной классификации в педагогике (Б.Г.Ананьевой)  9 класс приходится  на подростковый возраст (11-15 лет) и ранняя юность, или старший школьный возраст (15-18 лет);

Самым сложным считается возраст 15 лет,что приходится на переходный период между подростковым и юношеским возрастом.

Согласно Д.Б. Эльконину, существуют три фактора, влияющие  на развитие личности в данный  период:

1. социальная ситуация развития (форма отношений со взрослыми, в которых находится ребенок в данный период);

2. основной тип деятельности (каждому периоду характерен определенный тип деятельности);

3. психические новообразования (от отдельных психических процессов до свойств личности)

Исходя из этого психофизиологическая  картина развития обучающегося выглядит следующим образом:

- происходит расширение  социальных ролей, круга интересов, появляется ответственность, относительная самостоятельность в поступках, но вместе с тем остается  зависимость от родителей, что влияет на психику ребенка. Увеличивается интерес к общению со взрослыми, и одновременно некоторая отдаленность. Общение со взрослыми чаще всего касается планов на будущее, решений проблемных ситуаций, трудностей, возникающих во время учебы Ребенок находится в состоянии неопределенности

-ведущей деятельностью в ранне-юношеском возрасте становится учебно-профессиональная деятельность. Происходит смена учебной мотивации, учеба становится ориентированной на предметы, необходимые в будущей профессиональной деятельности, обучающийся уделяет меньше внимания другим предметам, они уходят на второй план.

- появляется  трудовая деятельность, некоторые начинают совмещать учебу с работой, подработкой в свободное от учебы время

-психологическое новообразование:

1)умение составлять жизненные планы, искать способы их воплощения, что также определяет ведущую учебную деятельность как средство реализации намеченных целей.;

2)самоидентификация (ребенок начинает познавать свой внутренний мир, мир чувств, мыслей и переживаний, что сказывается на формировании его самооценки.) Повышается уровень эмпатии, что не уменьшает категоричность в суждениях и восприятии.

 Продолжается развитие высших психических функций:

-внимание(способен сконцентрироваться на чем-то важном для него);

- память (доминирует осмысленное запоминание, легче устанавливаются причинно-следственные связи, появляется потребность в самостоятельной творческой деятельности)

- воображение.

Исходя из особенностей возраста, можно сказать, что основной задачей педагога становится обучение способам самостоятельной работы, при этом ненавязчиво контролируя процесс и мотивируя к общению.

Выбор методики преподаватель определяет исходя из  уровня подготовки и индивидуальных особенностей учащихся класса.

1. Традиционный подход. Учитель объясняет материал, а ученики занимаются самостоятельным решением задач.

2. Игровой подход: Использование игр и игровых элементов. В любом возрасте игровой элемент делает процесс обучения более интересным и привлекательным.

3. Проблемно-ориентированный подход: развивает у детей критическое мышление, аналитические способности и умение применять математику на практике.

4. Интерактивные технологии: могут сделать обучение математике более увлекательным для детей.

При планировании уроков оптимальным является комбинирование различных  методик.

2.Интерактивные методы обучения при подготовке к ОГЭ по математике.

Для себя я выбрала интерактивные методы как наиболее эффективные при подготовке к ОГЭ, поскольку через непосредственное общение  учащиеся лучше воспринимают материал, и такой вид взаимодействия более увлекателен для ребят. Кроме того, использование интерактивных методов обучения способствует развитию навыков коммуникации, сотрудничества и критического мышления у учащихся, что также является важным аспектом не только для подготовки к ОГЭ, но и важным жизненным навыком, особенно с учетом общения подростков в основном через мессенджеры.

Взаимодействие обучающихся происходит с преподавателем  и друг с другом.При использовании интерактивных.Основной отличительной чертой интерактивных технологий происходит развитие личной инициативы, возникает стремление к получению новых знаний и умений, что лежит в основе компетентностного и личностно-ориентированного подходов в обучении.

Среди интерактивных образовательных технологий как наиболее эффективные я выделила следующие (с учетом уровня учащихся моих классов):

1. Дискуссия: способствует более осмысленному решению заданий-выдвижение аргументов, защита своего способа решения(используется при решении практикоориентированных задач,геометрических задач  и заданий 2-части ОГЭ )

3. Мозговой штурм: решение поставленной задачи разными способами(при решений заданий 2 части ОГЭ и геометрических задач 1  части с целью решения наиболее оптимальным способом)

4. Обучающие игры:учебный процесс с присутствием в нем игровых условий.(Оптимально при отработке навыков устного счета и обобщении блока заданий по какому-либо одному из номеров из ОГЭ)

5. Тестирование: проводится он-лайн(удобно при отработке блоков материала при подготовке к ОГЭ)

6. Групповая работа: полноценная самостоятельная форма организации обучения.

Используя интерактивные технологии е учитывать возрастные особенности и различный уровень сформированности знаний учащихся одного класса Ученики могут спокойно делиться опытом в рамках занятия и обучаясь математике также удовлетворять важные для них потребности общения. Поднять мотивацию учащихся посредствам интерактивных технологий гораздо проще, чем сделать это за счет стандартных задач из учебника.

3. Особенности подготовки учащихся 9 классов к ОГЭ по математике.

Подготовка девятиклассников к ОГЭ по математике обладает особыми нюансами, поскольку экзамен выдвигает не только знание математических концепций и алгоритмов, но требует умения применительно их использовать в реальных ситуациях. Основываясь на особенностях подготовки:

 1. Структурированное закрепление материала- играет ключевую роль, поскольку экзамен охватывает весь учебный курс математики. Преподаватели обязаны обеспечить не только освоение базовых знаний и умений у учащихся, но и постепенное перемещение к более сложным темам.

 2. Повторение как инструмент- активно развивает память, особенно эмоциональную на начальном этапе, которая затем трансформируется в логическую через систематические упражнения. Процесс включает сравнение, классификацию и обобщение знаний , что способствует гибкости мышления.

 3. Развитие практических компетенций — это не менее важный аспект: - Формирование вычислительных навыков .Обучение решению задач и упражнений различной сложности .Применение знаний в реальных ситуациях

 Использование интерактивного обучения не только делает процесс более увлекательным, но и способствует:

 - Эффективному усвоению материала

 - Развитию критического мышления

 - Улучшенной запоминаемости информации . Таким образом, оптимальная подготовка к ОГЭ по математике требует интеграции интерактивных методов в учебный процесс. Это обеспечивает не только успешное выполнение экзаменационных заданий, но и формирует устойчивые навыки применения математических знаний как в образовательной среде, так и за её пределами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для эффективной подготовки к ОГЭ необходимо добиться от учащихся:

1. Усвоить (понятие) материала.

2. Регулярной практики в решении заданий (выполнение домашней работы, активной работы на уроке).

3. Знание формата экзамена.

4. Получение обратной связи.

5. Эмоциональной готовности (преодоление страха перед экзаменом)

Интерактивные технологии, на мой взгляд  эффективным способом для повышения повышения качества обучения. Различные методы проведения урока и виды деятельности помогают не терять мотивацию учеников до конца. Главным преимуществом интерактивных технологий является возможность более наглядного и понятного представления материала. Ученики легче воспринимают информацию, которая подана в интересном привлекающем виде и особенно на уровне ученик-ученик. Применение интерактивных технологий – это способ создания условий, в которых ученик вовлекается в познавательно-учебную деятельность. В рамках Федерального образовательного стандарта (ФГОС) применение интерактивных технологий считается наиболее эффективным и результативным методом обучения. В результате применения интерактивных технологий происходит система взаимодействий, позволяющая учитывать индивидуальные особенности каждого члена : учитель-учащийся, учитель-класс, учащийся-класс, учащийся-учащийся, группа-группа.

1. Активизация интереса учеников- благодаря динамичным формам работы и вовлечению учащихся в активные процессы.

2. Упрощение усвоения материала- когда сложная информация становится доступной через интерактивное взаимодействие с ней.

3. Практическая отработка навыков- путем включения разнообразных упражнений и заданий, имитирующих реальную экзаменационную ситуацию.

 4. Персонализация учебного процесса- учитывающая индивидуальные особенности каждого ученика в рамках интерактивной среды.

 5. Укрепление мотивации к обучению- за счет создания увлекательного и вовлечённого образовательного пространства. Таким образом, интеграция интерактивных технологий на занятиях математики и подготовке к ОГЭ не только повышает качество усвоения материала но и обеспечивает его глубокое понимание. Педагоги получают мощный инструмент для создания уроков, которые становятся не просто обучающими, а захватывающими и результативными событиями в жизни учеников.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Булычева Л.С. Индивидуальный подход к учащимся  как  условие предупреждения   их   неуспеваемости – М.: Просвещение, 1974, стр.172.

2. Выготский Л.С. Педагогическая психология - под ред. В.В. Давыдова.  АСТ; Астрель, 2010, стр. 49.

3. Двуличанская Н.Н. Интерактивные методы обучения как средство формирования ключевых компетенций - электронное научно-техническое издание, 2011, стр. 35.

4. Кавтарадзе Д.Н. Обучение и игра. Введение в активные методы обучения – 1998, стр.38.

5. Ольховский Н.Н. О системе подготовки к обязательному государственному экзамену по математике – 2018, стр. 16.

6. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. Учеб. Пособие. Под ред. П.И. Пидкасистого – М.: Педагогика, 1980, стр. 112.

7. Щукина, Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебной деятельности - М.: Просвещение, 1971, стр. 96.

8. Ященко И.В. ОГЭ 2021,2022,2023г. Математика. Типовые экзаменационные варианты – 2021-2023.