Внеклассная работа

7 класс

1. Напишите вместо семи звёздочек семь различных цифр так, чтобы получилось верное равенство: **** + ** + * = 2015.

2. Требуется разрезать фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. При этом должно получиться ровно два трёхклеточных уголка, а остальные — четырёхклеточные. Покажите, как это сделать.

3. На столе лежат конфеты трёх видов: ириски, карамельки и леденцы. Известно, что ирисок на 8 меньше, чем всех остальных конфет, а карамелек - на 14 меньше, чем всех остальных конфет. Сколько леденцов лежит на столе? Обязательно объясните свой ответ.

4. а) Разбейте натуральные числа от 1 до 10 на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2 или 3.

б) Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?

5. В волшебной кофейне встретились 55 существ: эльфов и гномов. Каждый заказал себе либо чашку чая, либо чашку кофе. Все эльфы говорят правду, когда пьют чай, и обманывают, когда пьют кофе, а все гномы - наоборот. На вопрос «Вы пьёте чай?» ответили «да» 44 присутствующих, на вопрос «Вы гном?» - 33. А на самом деле, сколько из собравшихся пили чай и сколько среди собравшихся было гномов? Обязательно объясните свой ответ.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2016–2017уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

7 класс

Решения и критерии оценивания

1. Напишите вместо семи звёздочек семь различных цифр так, чтобы получилось верное равенство: **** + ** + * =2015.

Решение. Например, 1987 + 25 + 3. Возможны и другие варианты.

Критерии.

Правильный пример, в котором все цифры различны, — 7 баллов.

Верное равенство, но какая-то одна цифра повторяется 2 раза (использовано шесть цифр вместо семи)—1 балл.

2. Требуется разрезать фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. При этом должно получиться ровно два трёхклеточных уголка, а остальные — четырёхклеточные. Покажите как это сделать.

Решение. Например, так:

Возможны и другие варианты.

Критерии.

Верный пример разрезания на два трёхклеточных и четыре четырёхклеточных уголка—7 баллов.

Разрезание, в котором неверное количество трёхклеточных и четырёхклеточных уголков или другие ошибки, — 0 баллов.

3. На столе лежат конфеты трёх видов: ириски, карамельки и леденцы. Известно, что ирисок на 8 меньше, чем всех остальных конфет, а карамелек— на 14 меньше, чем всех остальных конфет. Сколько леденцов лежит на столе? Обязательно объясните свой ответ.

Решение.

Способ 1.Так как ирисок на 8 меньше, чем остальных конфет, их на 4 меньше, чем половина конфет. Так как карамелек на 14 меньше, чем всех остальных конфет, их на 7 меньше, чем половина конфет. Таким образом, если выкинуть все ириски и карамельки, то останется 4+7=11 конфет. А так как оставшиеся конфеты—это как раз леденцы, их 11.

половина конфет

Способ 2.

ириски

остальные конфеты

Пусть л, к, и— количество леденцов, ирисок и карамелек.

По условию л+к=8+и, л+и=14+к.

Складывая эти равенства, получим: 2л+ к+ и= 22 + к+ и

Поэтому 2л= 22, откуда л= 11.

Критерии проверки.

Полное верное решение — 7 баллов.

Одна арифметическая ошибка при решении системы, ход решения верный — 4-5 баллов.

Верный ответ и проверка, что он подходит, — 3 балла.

Задача решена на конкретном примере («пусть всего конфет 30, тогда…») — 2 балла.

Верный ответ без обоснования—2 балла.

Остальные случаи— 0 баллов.

4. а) Разбейте натуральные числа от 1 до 10 на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2 или 3.

б) Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?

Решение.

а) (4;1), (5;2), (6;3), (9;7), (10;8) или (3;1), (4;2), (8;5), (9;6), (10;7).

б) Числа от 1 до 2014 также можно разбить на пары, обладающие заданным свойством. Покажем два наиболее естественных способа такого разбиения.

Способ 1. Числа от 1 до 2010 разобьём на 201 группу по 10 последовательных натуральных чисел. Затем в каждой группе разобьём числа на пары аналогично тому, как это сделано в пункте а). Оставшиеся четыре числа разобьём на пары следующим образом: (2013; 2011), (2014;2012).

Способ 2. Любые четыре последовательных числа можно разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2: (п+2;п) и (п+3;п+1). Так как число 2008 делится на 4, числа от1 до 2008 можно разбить на группы по четыре последовательных числа, которые разбиваются на нужные пары. Оставшиеся шесть чисел разобьём на пары следующим образом: (2012;2009), (2013; 2010), (2014;2011).

Возможны и другие разбиения чисел на группы по 4 и по 6 последовательных чисел, которые в свою очередь разбиваются на пары, обладающие заданным свойством.

Критерии проверки.

Приведён верный ответ в пункте а) (обоснование не требуется)—2 балла. Приведено верное полное решение пункта б)— 5 баллов.

Решение пункта б) в целом верное, но содержит некоторые пропуски—3–4 балла. В пункте б) есть идея разбиения на группы по 4 и по 6 чисел, но других продвижений нет—2 балла.

Ответ «можно» в пункте б) – 0 баллов.

5. В волшебной кофейне встретились 55 существ: эльфов и гномов. Каждый заказал себе либо чашку чая, либо чашку кофе. Все эльфы говорят правду, когда пьют чай, и обманывают, когда пьют кофе, а все гномы—наоборот. На вопрос «Вы пьёте чай?» ответили «да» 44 присутствующих, на вопрос «Вы гном?» — 33. А на самом деле—сколько из собравшихся пили чай и сколько среди собравшихся было гномов? Обязательно объясните свой ответ.

Решение.

Посмотрим, как на какой вопрос ответят гномы и эльфы, составим соответст-вующую таблицу.

Из таблицы видно, что на первый вопрос все эльфы ответят «Да», а все гномы ответят «нет», поэтому всего 44 эльфа и, значит,

55–44=11 гномов. На второй вопрос «да» ответят пьющие кофе, а «нет» – пьющие чай. Поэтому всего 33 существа пьют кофе, а значит

55–33=22 существа пьют чай.

Ответ. На самом деле 22 существа пьют чай и 11 из собравшихся— гномы.

Критерии проверки.

Полное решение— 7 баллов.

Дан ответ только на один вопрос (т.е. найдено только количество гномов или только количество пьющих чай) с полным обоснованием—3балла.

Найдено (с обоснованием) количество пьющих кофе и количество эльфов, а дальше продвижений нет (т. е. не догадались вычесть найденные числа из 55)—3 балла.

Только верный ответ без обоснования (возможно, с проверкой на конкретном примере, что всё сходится)—2 балла.

9 класс

1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2015—нет). Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.

2. На доске была написана несократимая дробь. Петя уменьшил её числитель на 1, а знаменатель на 2. А Вася прибавил к числителю 1, а знаменатель оставил без изменений. Оказалось, что в результате мальчики получили одинаковые значения. Какой именно результат у них мог получиться?

3. Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10 минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60 км/ч?

4. В подземном царстве живут гномы, предпочитающие носить либо зелёные, либо синие, либо красные кафтаны. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды каждому из них задали четыре вопроса.

1. «Ты предпочитаешь носить зелёный кафтан?»
2. «Ты предпочитаешь носить синий кафтан?»
3. «Ты предпочитаешь носить красный кафтан?»
4. «На предыдущие вопросы ты отвечал честно?»

На первый вопрос «да» ответили 40 гномов, на второй—50, на третий—70, а на четвёртый—100.Сколько честных гномов в подземном царстве?

5. В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а медиана, выходящая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла А. Известно, что сторона АВ = 1. Найдите периметр треугольника АВС.

6. Есть три сосуда объёмом 3л, 4л и 5л без делений, кран с водой, раковина и 3л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде количество воды было равно количеству сиропа?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2016–2017 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

9 класс

Решения и критерии оценивания

1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2015 —нет). Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.

Ответ. 2015 = 1551 +  464

Комментарий.

Чтобы найти решение, можно было рассуждать так:

Так как 2002 не подходит, значит, большее слагаемое имеет вид    1AA1.

Тогда второе слагаемое должно заканчиваться на 4, так как оно равно 2015–  

1AA1, т.е. имеет вид 4B4. Итак, 2015–1AA1= 4B4. Получаем

         2015 − 1001 − 404 = AA0  + B0 , т.е. 61= AA+В, откуда AA=55, В=6.

Критерии проверки.

• Верный пример—7 баллов.

Приводить доказательство, что другие не подходят, или рассуждение, как пример был найден, не требуется.

• Неверный пример – 0 баллов.

2. На доске была написана несократимая дробь. Петя уменьшил её числитель на 1, а знаменатель на 2. А Вася прибавил к числителю 1, а знаменатель оставил без изменений. Оказалось, что в результате мальчики получили одинаковые значения. Какой именно результат у них мог получиться?

Ответ. 1.

Решение. Пусть была написана дробь  . Тогда Петя получил , а Вася . Так как они получили одинаковый результат, то  = , откуда b-a = 1. Значит, исходная дробь имела вид . И Петя получил из неё дробь , а Вася , т.е. результат Пети и Васи равен 1.

Комментарий.

Т.к. в условии говорится, что у Пети и у Васи полученная дробь имела некоторое значение, проверять, что знаменатель неравен  нулю, не требуется.

Критерии проверки.

• Верное решение — 7баллов.
• Получено, что исходная дробь имела вид

а

a+1

(или эквивалентный ему), но

далее выводов про итоговое значение не сделано—3балла.

• Решение приведено на конкретном примере (например, показано, что для

дроби 2

3

условие задачи выполнено) — 2 балла.

• Приведён только верный ответ—1балл.

3. Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10  минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60км/ч?

Ответ. 6 км/ч.

Решение. Дима приехал домой на 10 минут раньше, за это время автомобиль дважды проехал бы путь, который Дима прошёл. Следовательно, на пути к вокзалу отец на автомобиле сэкономил 5 минут и встретил Диму в 17:55. Значит, Дима прошёл расстояние от вокзала до встречи с отцом за 50 минут, то есть он шёл в 10 раз медленнее автомобиля, и его скорость была 6км/ч.

Критерии проверки.

• Полное верное решение—7баллов.
• В целом верное решение с недостаточными обоснованиями (в частности, нарисована схема движения с неполными обоснованиями)—5баллов.
• Верный ход решения, но неверный ответ из-за арифметической ошибки— 4 балла.
• Найдено, что время встречи 17:55, а дальше продвижений нет—2 балла.
• Найдено, что отец по дороге к вокзалу сэкономил 5минут, но ошибочно принято, что до встречи Дима шёл 55 минут,—2 балла.
• Приведён только верный ответ—1 балл.

4. В подземном царстве живут гномы, предпочитающие носить либо зелёные, либо синие, либо красные кафтаны. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды каждому из них задали четыре вопроса.

1. «Ты предпочитаешь носить зелёный кафтан?»
2. «Ты предпочитаешь носить синий кафтан?»
3. «Ты предпочитаешь носить красный кафтан?»
4. «На предыдущие вопросы ты отвечал честно?»

На первый вопрос «да» ответили 40 гномов, на второй—50, на третий—70,

а на четвёртый—100. Сколько честных гномов в подземном царстве?

Ответ: 40 честных гномов.

Решение.

На 4-й вопрос и честный, и лгун ответят «да», поэтому в подземном царстве всего 100 гномов.

Честный гном на один из трёх первых вопросов ответит «да» ,а на два—«нет».

А лгун, на оборот, на два из первых трёх вопросов ответит «да», а на один—

«нет».

Далее ответ можно получить или уравнением, или рассуждением.

Способ 1. Пусть всего x честных гномов. Тогда всего на первые три вопроса будет x+2·(100–x)=200–x ответов «да», т.е. 200–x=40+50+70=160, откуда x=40.

Способ 2. В сумме на первые три вопроса было дано 40+50+70=160 ответов

«да». Если бы все гномы говорили правду, то на первые три вопроса было бы 100 ответов «да». Так как каждый лжец даёт на один ответ «да» больше, всего отвечали 160–100=60 лжецов. Значит, честных гномов 40.

Критерии проверки.

• Верное решение—7баллов.
• Рассуждением найдено, сколько лжецов, а сколько честных гномов, не найдено — 5баллов.
• Верный ответ без обоснования—2 балла.

5. В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а медиана, выходящая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла А. Известно, что сторона АВ=1. Найдите периметр треуголь- ника АВС.

Ответ: 5.

Решение. Пусть АМ–медиана, проведённая из вершины А. Тогда в треуголь- нике ABM биссектриса угла В перпендикулярна стороне AM, т.е. биссектриса является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, AB=BM=1. Но тогда ВС=2BM=2. Аналогично из второго условия получаем, что сторона АС в два раза больше АВ, т.е. периметр треугольника АВС равен 1+2+2=5.

В

А

С

Критерии проверки.

• Верное решение—7баллов.
• Получено, что треугольник, отсекаемый одной из медиан,—равнобедренный, но дальнейших продвижений нет—3балла.
• Приведён только верный ответ—1балл.

6. Есть три сосуда объёмом 3л, 4л и 5л без делений, кран с водой, раковина и 3л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде количество воды было равно количеству сиропа?

Решение.

Например, так (см.таблицу ниже, с—сироп, в—вода, и—итоговая смесь).

Критерии проверки.

• Верный алгоритм—7баллов.
• Получено меньше 6 литров нужной смеси (т.е. в одном сосуде получена нужная смесь, а в другом пропорция не соблюдена)—не более1балла.

8 класс

1. Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня, 13сентября, у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?

2. Самолёт вылетел из Перми 28 сентября в полдень и прибыл в Киров    в11часов утра (везде в задаче время отправления и прибытия указывается местное). В 19 часов того же дня самолёт вылетел из Кирова в Якутск и прибыл туда в 7 часов утра. Через три часа он вылетел из Якутска в Пермь и вернулся туда в 11 часов утра 29 сентября. Сколько времени самолёт находился в воздухе?

3. На поляне собрались 25 гномов. Известно, что

1. каждый гном, который надел колпак, надел и обувь;
2. без колпака пришли 12 гномов;
3. босиком пришло 5 гномов.

Каких гномов и насколько больше: тех, кто пришёл в обуви, но без колпака, или           тех, кто надел колпак?

4. Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ на стороне СВ выбрана точка D так, что CD = AC–AB. Точка М – середина AD. Докажите, что угол BMC - тупой.

6. Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2015, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. Верно ли, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4?

8 класс

Решения и критерии оценивания

1. Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня, 13 сентября, у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?

Ответ. 13 октября.

Решение.

Будем считать, сколько дней прошло, начиная с «тяжёлого». Если это число делится на 2, то Робинзон должен пополнить запас воды. Если делится на 3, то пополнить запас фруктов. А если делится на 5, то сходить на охоту. А если он делает все три дела одновременно, то, значит, количество прошедших дней делится  и  на  2,   и  на  3,   и  на  5.   Впервые  это  произойдёт       через

НОК(2; 3; 5)=2⋅3⋅5=30

дней. Так как в сентябре 30 дней, то следующий

тяжёлый день будет 13 октября.

Критерии проверки.

• Верно сказано, что количество прошедших дней должно делиться на 2, 3, 5, и сделан верный вывод, что в следующий раз это произойдёт через 30 дней, ответ верен—7 баллов.
• Получено, что такое произойдёт через 30 дней, но в ответе ошибка, так как ученик посчитал, что в сентябре 31 день (это явно написано в работе),— 6 баллов.
• Получено, что такое произойдёт через 30 дней, но далее ошибка ±1 в нахождении даты (не по причине предыдущего пункта)—4 балла.
• Сразу (без обоснования) сказано, что такое произойдёт через 30 дней, и далее дата указана правильно — 3 балла.
• Только ответ «13 октября» без обоснований—2 балла.
• Неверный пример—0 баллов.

2. Самолёт вылетел из Перми 28 сентября в полдень и прибыл в Киров    в 11 часов утра (везде в задаче время отправления и прибытия указывается местное). В 19 часов того же дня самолёт вылетел из Кирова в Якутск и прибыл туда в 7 часов утра. Через три часа он вылетел из Якутска в Пермь и вернулся туда в 11 часов утра 29 сентября. Сколько времени самолёт находился в воздухе?

Ответ. 12 часов.

Решение.

Самолёт отсутствовал в Перми 23 часа. Из них 8 часов он стоял в Кирове (с 11 до 19  часов) и три часа в Якутске. Итого из этих 23  часов он стоял  8+3=11(часов), т.е. в воздухе самолёт находился 23−11=12(часов).

Критерии проверки.

• Верное решение— 7 баллов
• Верный ответ без обоснования—2 балла.

3. На поляне собрались 25 гномов. Известно, что

1. Каждый гном, который надел колпак, надел и обувь;

2) без колпака пришли 12 гномов;

3) босиком пришло 5 гномов.

Каких гномов и насколько больше: тех, кто пришёл в обуви, но без колпака, или тех, кто надел колпак?

Ответ. Тех, кто надел колпак, на 6 больше.

Решение.

Из условия 2 следует, что в колпаке пришли 25 – 12 = 13 гномов.

Из условия 1 получаем, что ровно 13 гномов пришли и в колпаке, и в обуви. Из условия 3 следует, что всего в обуви пришло 25–5=20 гномов.

Значит, 20 – 13 = 7 гномов пришли в обуви, но без колпака.

Итак, тех, кто надел колпак (13 гномов), больше, чем тех, кто пришёл в обуви, но без колпака (7 гномов), ровно на 6 гномов.

Критерии проверки.

• Верное решение—  7 баллов.
• Верный ответ с неполным обоснованием—3−4 балла.
• Только верный ответ без обоснования—2 балла.

4. Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Ответ. −2 .

Решение.

Дано:

а2 −b2 =6 ,

(а−2)2 − (b −2)2 = 18 .

Дальше можно действовать по-разному.

Способ 1.

(а−2)2−(b−2)2=а2−4a+4−b2+4b−4=а2−b2−4(a−b).Так как из первого

условия

а2−b2 = 6 , получаем, что 6 − 4(a−b) = 18 . Отсюда

a−b=−3,

и из

первого уравнения получаем, что

Способ 2.

а2 −b2 = (a −b)(a +b) = 6 ,

a+b =−2 .

(а−2)2 − (b−2)2 = (a−b)(a+b− 4) = 18.

Очевидно, все множители в приведённых равенствах не равны нулю. Разделим второе уравнение на первое и обозначим искомую сумму a+b=х. Тогда

х−4   =3, откуда

х

х=−2.

Критерии проверки.

• Верное решение – 7 баллов.
• Получено уравнение  . А затем допущена арифметическая ошибка – 4 балла.
• Верно найдена разность a-b, дальнейших продвижений нет—3балла.
• При нахождении значения a-b или a+b допущена ошибка в знаке—не более 3 баллов.
• Только верный ответ без обоснования—2 балла.

5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ на стороне СВ выбрана точка D так, что CD = AC–AB. Точка М—середина AD. Докажите, что угол BMC—тупой.

Решение.

Так как CD=AC–AB=BC–AB, получаем, что DB=AB, а значит, треугольник

ABD равнобедренный. Тогда его медиана BM является и высотой, т.е.

угол BMD прямой.

 Значит,

∠BMC=∠BMD+∠DMC= 90°+∠DMC> 90° тупой.

С

А        В

Критерии проверки.

• Верное решение— 7 баллов.
• Доказано, что треугольник ABD равнобедренный, но больше продвижений нет—2 балла.

6. Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2015, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников. Верно ли, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4?

Решение.

Если периметр прямоугольника не делится на 4, то сумма его сторон не делится на 2. Сумма двух целых чисел не делится на 2, если они разной чётности, т.е. периметр прямоугольника не делится на 4, если одна его сторона чётная, а другая нечётная. Но тогда его площадь должна быть чётной. Однако площадь каждого из составляющих квадрат 2015 × 2015 прямоугольников чётной быть не может, так как иначе их суммарная площадь была бы тоже чётной, но площадь квадрата 2015×2015 нечётна.

Математическая регата для 6 классов

Цели:

• Развитие познавательного интереса, любви к предмету математика, применение математических знаний во внеурочной обстановке.
• Развитие навыков  использования полученных теоретических знаний.
• Развитие у учащихся познавательного интереса и любознательности.
• Формирование у учащихся стремления к активной интеллектуальной деятельности.
• Воспитание навыков коллективной деятельности.
• Воспитание  доброжелательности, инициативности, активности.

Задачи:

Образовательные: научить применять знания в новой ситуации.

Развивающие: расширять кругозор учащихся; развивать умение объяснять окружающие явления.

Воспитательные: развивать организаторские способности учащихся, коммуникативные навыки; приобщить к здоровому образу жизни.

Правила математической регаты.

1. В данной математической регате участвуют команды учащихся 6 класса. В команде  4 человека.
2. Соревнование проводится в 3 тура. Каждый тур представляет собой коллективное письменное решение трех задач. Любая задача оформляется и сдается в жюри на отдельном одинарном листе.
3. Регатой руководит один из учителей.  Он организует раздачу заданий и сбор листов с решениями; проводит разбор задач и объявляет итоги проверки.
4.  Время, отведенное командам для решения, и «ценность» задач каждого тура в баллах указываются на листах с условиями задач.
5. Жюри осуществляет проверку решений после окончания каждого тура. Жюри состоит из трех комиссий, специализирующихся на проверке задач 1, 2 и 3 каждого тура соответственно. Для того, чтобы проверка решений осуществлялась качественно, но быстро, каждая комиссия жюри  состоит из 3 человек. В состав комиссий входят учителя математики школы и учащиеся старших классов. Обязанности  председателя исполняет учитель.
6. Параллельно с проверкой учитель одной из школ  проводит разбор задач для учащихся после каждого тура, а затем объявляет итоги проверки. После объявления итогов тура команды, не согласные с тем, как оценены их решения, имеют право подать заявки на апелляции. В случае получения такой заявки, комиссия повторно проверяет задачу  и, после этого, может изменить свою оценку. Если оценка не изменена, то апелляции эта же комиссия принимает после окончания всех туров регаты, но до окончательного подведения итогов. В результате апелляции оценка решения может быть, как повышена, так и понижена, или оставлена без изменения. В спорных случаях окончательное решение об итогах проверки принимает председатель жюри.
7. Команды – победители и призеры регаты определяются по сумме баллов, набранных каждой командой во всех турах. Награждение победителей и призеров происходит сразу после подведения итогов регаты.

При составлении комплекта заданий для регаты выполняются следующие правила:

• для таких соревнований пригодны только такие задачи, решение которых может быть изложено кратко;
• задания каждого тура должны иметь различную тематику, но примерно одинаковый уровень сложности;
• задания первого тура должны быть сравнительно простыми, чтобы они были решены большинством команд.
• сложность заданий и время, выделяемое на их выполнение, возрастают от тура к туру.

       Регата дает возможность каждому участвующему в ней школьнику

• выбирать и выполнять те задания, которые ему по силам;
• приобретать навыки коллективной учебной деятельности;
• сразу по окончании работы сравнить свое решение с «эталонным» и получить оценку результатов своей деятельности;
• учиться отстаивать свою точку зрения (апелляции), приобретая навыки ведения дискуссии

Регламент регаты

1 тур (10 мин, каждая задача – 5 баллов)

2 тур (12 мин, каждая задача – 7 баллов)

3 тур (15 мин, каждая задача – 8 баллов)

                                                Критерии оценивания.

В первом туре каждая задача оценивалась от нуля до пяти баллов.

0 баллов – если решение неверно или его нет.

1 балл – если при верном ответе нет решения данного задания.

2-3-4 балла – если приведено верное решение, но оно не доведено до конца или допущена арифметическая ошибка .

5 баллов – если приведено верное решение с полным обоснованием и получен верный ответ.

Во втором туре каждая задача оценивалась от нуля до семи баллов.

0 баллов – если решение неверно или его нет.

1 балл – если при верном ответе нет решения данной задачи.

2-3 балла – если в решении задачи есть правильная идея, но она не доведена до конца и решение пошло по неправильному пути.

4-5-6 баллов – если приведено верное решение, но оно не доведено до конца, либо недостаточно обосновано, либо допущена арифметическая ошибка.

7 баллов – если приведено верное решение с полным обоснованием и получен верный ответ.

В третьем туре каждая задача оценивалась от нуля до восьми баллов.

0 баллов – если решение неверно или его нет.

1 балл – если при верном ответе нет решения данной задачи.

2-3-4 балла - если в решении задачи есть правильная идея, но она не доведена до конца и решение пошло по неправильному пути.

5-6-7 баллов - если приведено верное решение, но оно не доведено до конца, либо недостаточно обосновано, либо допущена арифметическая ошибка.

8 баллов - если приведено верное решение с полным обоснованием и получен верный ответ.

1 тур (10 мин, каждая задача – 5 баллов)

1. Найдите значение выражения:

1919: 19 – (25 · 37 + 43 ·25 + 25 ·20): 25

Ответ: 1.

2. Найдите три последовательных числа, сумма которых равна 69.

2. Ответ. 22, 23, 24.

Решение.

Второе числа на 1 больше первого, третье число на 2 больше первого. Уравняем числа.

69-1-2=66 – стала сумма всех чисел после уравнивания.

66:3=22 – первое число.

22+1=23 – второе число.

22+2=24 – третье число.

3.В Таниной квартире имеется  8 розеток,  21 тройник и неограниченный запас утюгов. Какое наибольшее число утюгов Таня может включить в сеть одновременно?

Решение

Каждый тройник увеличивает количество розеток на 2. Вставляя тройник в розетку, мы занимаем одну розетку, но получаем 3новых.  Значит, свободных розеток, как бы мы ни вставляли тройники, будет

 8 + 21 ∙ 2  =  50

Ответ. 50 утюгов

1.3. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200км. Скорости машин – 60км/ч и 80км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?

1.3. Ответ. 60км, 180км, 220км, 340км.

Решение.

Возможны четыре случая:

1) машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60км,

2) машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340км,

3) машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180км,

4) машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220км.

^ Некоторые критерии для проверки

Вычислительная ошибка – снимаем 2 балла.

Рассмотрен только один случай – 2 балла, два случая – 3 балла, три случая – 4 балла.

1.4Ночью семья подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2 минуты, дочь – за 5 минут, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост же выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? Если переходят мост двое, то они идут с меньшей из скоростей. Двигаться без фонарика нельзя.(7 баллов)

Ответ: Первыми идут мама и папа– 2 минуты; затем папа с фонариком возвращается и передает его бабушке – 1 минута, бабушка идет с внучкой – 10 минут; мама возвращается с фонариком – 2 минуты; папа переходит мост вместе с мамой -2 минуты. Итого 17 минут.

2 тур (12 мин, каждая задача – 7 баллов)

1. На окраску кубика 2r2r2 требуется 12 г краски .

Сколько краски потребуется, чтобы окрасить кубик 6r6r6?

Решение

Рассмотрим кубик 2r2r2.  Всего у него 6 граней по 4 квадратика на каждой.

Значит, всего будет 24 квадратика. Теперь рассмотрим кубик 6r6r6.

В этом кубике всего 6 граней по 36 квадратиков. Надо покрасить 216

квадратиков.   216:24=9, Значит, на втором кубике надо покрасить в 9 раз

больше квадратов .  Следовательно, краски понадобиться  тоже в 9разбольше:

12r9=108 г

ОТВЕТ.  108 г краски.

2.  Баба Яга варит волшебное зелье: к 1,5 килограмма меда она добавила 100граммов     растертых волчьих когтей, 100 граммов дегтя и 300 граммов слез кикиморы.

   Сколько процентов слез кикиморы содержит это варево?

Решение

1) Определим общую массу волшебного зелья:

     1,5 кг меда+100г волчьих когтей+100г дегтя+300г слез кикиморы=2кг

(1500+100+100+300=2000)

2) Определим, сколько процентов слез кикиморы в зелье:

     × 100% = 15%

 Ответ: зелье содержит 15% слез кикиморы.

3. Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей машины и увидел, что спидометр показывает число 25952. «Какое красивое число километров я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее красивое число» – подумал он. Однако, через 1 час 20 минут на спидометре высветилось следующее красивое число. С какой скоростью ехал грузовик?

Решение

Ответ: 82,5 км/ч. Следующим красивым числом (то есть, числом-палиндромом) будет число 26062. Следовательно, за 1 час 20 минут грузовик проехал 26062 – 25952 = 110 (км), значит его скорость равна 110: = 82,5 (км/ч).

3 тур (15 мин, каждая задача – 8 баллов)

1.Группа из 21 мальчика получила 200 орехов. Доказать, что как бы ребята ни распределили эти орехи, найдутся двое, которым достанется поровну орехов (может быть ни одного ореха).

Решение

1. Принцип Дирихле. Предположим, что не найдутся двое, имеющие поровну орехов. Тогда у каждого мальчика разное количество орехов. Допустим, что у первого – 0 орехов, у второго – 1 орех, у третьего – 2 ореха, и т.д., у двадцать первого мальчика – 20орехов. Найдем общее количество орехов:  0 + 1 + 2 + 3 +…+ 20=  

  = (0 + 20) + (1 +19) + (2 + 18) +… (9+11) + 10 = 20*10 + 10 = 210

 По условию задачи – количество орехов равно 200. Значит, предложение неверно, и найдутся два мальчика, у которых будет поровну орехов.

2. В ящике лежат цветные карандаши: 12 красных, 6 синих и 8 желтых. В темноте берем из ящика карандаши. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо было:

                   а) не менее пяти карандашей одного цвета?

                   б) не менее восьми карандашей одного цвета?

                   в) хотя бы один карандаш каждого цвета?

Решение

Чтобы точно вытащить количество карандашей, достаточно взять:

а) 13 карандашей. В крайнем случае: 4 красных + 4 синих + 4 желтых

             + 1 любой карандаш.

б) 21 карандаш. В крайнем случае: 7 красных + 6 синих + 7 желтых + 1

            красный или желтый.  

         в) 21карандаш. В крайнем случае: 12 красных + 8 желтых + 1 синий.

3.В одном отеле остановились англичанин, итальянец, немец и француз, известно, что они занимали комнаты под номерами: 11,22,33,44.Каждый из них привез с собой одного из питомцев: собаку, кошку, канарейку или попугая. Узнайте номер комнаты, в которой каждый из них остановился и кого из питомцев с собой привез, по следующим сведениям.

1.Француз не любит собак

2.У англичанина есть птица

3.Хозяин собаки остановился в комнате 44

4.У немца нет собаки

5.У француза нет клетки

6.Попугай говорит только по-английски

7.Итальянец живет в комнате с четным номером

8.В комнате номер 11 есть клетка

9.Хозяин кошки остановился в комнате с четным номером

10.Англичанин остановился в комнате с номером 33

Заполните следующую таблицу:

Решение