УСТНЫЙ СЧЕТ! ТАК ЛИ ОН НУЖЕН В НАШЕЙ ЖИЗНИ?
статья

Тема:  «УСТНЫЙ СЧЕТ! ТАК ЛИ ОН НУЖЕН В НАШЕЙ ЖИЗНИ?»

Цель:  развивать познавательный интерес к математике  с помощью использования различных видов устного счета.

Актуальность: Зачем нужен устный счет, если на дворе 21 век, и всевозможные гаджеты способны едва ли не молниеносно производить любые арифметические операции? Можно даже не тыкать в смартфон пальцем, а дать голосовую команду – и немедленно получить правильный ответ. Сейчас это успешно проделывают даже школьники младших классов, которым лень самостоятельно делить, умножать, складывать и вычитать.

Но у этой медали есть и обратная сторона: ученые предупреждают, что если мозг не тренировать, не нагружать работой и облегчать ему задачи, он начинает лениться, его мыслительные способности снижаются. Точно так же без физических тренировок слабеют и наши мышцы.

Устный счет развивает внимание, память, быстроту реакции. Недаром появляются все новые и новые методики быстрого устного счета, предназначенные и для детей, и для взрослых. 

И именно он отлично тренирует мышление. Но мы недооцениваем этот навык. Дело не только в умении складывать, умножать, вычитать и делить числа между собой. Устный счет помогает планировать семейный бюджет, совершать более выгодные покупки, считать проценты по кредиту и переплату. И это только малая часть повседневных ситуаций, в которых одним калькулятором не обойтись. Ведь он не сможет принять за вас решение.

     Навык умственных математических вычислений помогает нам избегать неправильного перерасчёта в повседневной жизни. Он помогает нам правильно посчитать сдачу в магазине. Так же  оценить, какой товар выгоднее купить  (Например, Вы когда-нибудь задумывались в супермаркете, что выгоднее купить: 5 пачек овсяной каши весом 150 грамм за 145 рублей или 4 пачки овсяной каши по 190 грамм за 155 рублей?).  Спланировать семейный бюджет, проанализировать в уме график выплат при покупке товара в кредит и многое другое.

Дети, которые обладают навыком устного счета, более сконцентрированные и внимательные, имеют развитое образное мышление и могут быстро реагировать на обстоятельства.

Так, что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме:

• счёт «на пальцах»,
• аудиомоторный счёт (метод Трахтенберга, индийские скоросчеты и т.д.),
• визуальный счёт (ментальная арифметика).

Изучив вышеописанные методики, можно выделить 3 основные составляющие навыка устного счета:

1. способности (способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно),
2. алгоритмы (знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации),
3. тренировка и опыт (постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнений позволяют улучшить скорость и качество устного счета).

Учить детей считать в уме нужно обязательно! Не зря Михаил Ломоносов всегда повторял своим ученикам: «Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит».

       Зависимость от электронного помощника, будь то калькулятор или поисковик, рано или поздно сыграет с человеком злую шутку. Есть даже определенный перечень проблем, которые возникают, если человек не старается думать сам:

1. Рассеянное внимание и неспособность сосредоточиться на одном деле.
   Как ни странно, быстрый устный счет помогает научиться сосредоточенно решать сложные и требующие времени задачи.
2. Нелогичное мышление.
   Понять, что дешевле: десять 150-граммовых пачек крупы за 290 рублей или восемь 190-граммовых пачек за 310 рублей, можно, если вы хорошо считаете в уме и мыслите последовательно, то есть логично. Без практики этот навык теряется.
3. Зависимость от гаджетов.
   Калькулятор — это удобно, но его отсутствие не должно делать человека беспомощным в процессе подсчетов, скажем, размера своей ежеквартальной премии или скидки по купону.
4. Плохо развитое аналитическое мышление.
   Устный счет отличается от счета на калькуляторе тем, что не ограничен одним видом действия. Мы можем не только посчитать, но и проанализировать результаты и продолжить вычисления, исходя из нашей цели.

      Если вы задумываетесь над тем, нужно ли вашему ребенку развивать простейшие прикладные навыки, то будьте уверены — все они, и в частности устный счет, будут пригождаться ему даже тогда, когда он не будет этого замечать.

       Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет - это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

   Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления и развития личностных качеств ребенка. На мой взгляд, вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными. А это - важнейшее условие сознательного усвоения материала.

Секреты устного счёта

ПРИЕМЫ ОКРУГЛЕНИЯ

Существуют приемы устного счета - простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем - единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел - это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247 

Перейдем к умножению:

35 х 18 = 35 х 20 – 35 х 2 = 700 – 70 = 630.

Я умножила 35 на 20, а не на 18, следовательно, взяла два «лишних» раза, поэтому из произведения (оно взято в скобку) надо вычесть 35 х 2.

Прием очень эффективный, если множимое «удобное» для умножение, а множитель близок к полному числу десятков или полному числу сотен.

К примеру, рассмотрев округление множимого:

198 х 3 = (200 – 2) х 3 = 600 – 6 = 594.

Я умножила на 3 не 198, а 200, следовательно, я взяли «лишних» 2 единицы 3 раза. Это произведение 2 х 3 надо «сбросить» с 600.

Прием округления множимого удобен, если оно близко к полным десяткам или сотням и если множитель – однозначное число (или число, выражающее круглые десятки или круглые сотни):

79 х 30 = (80 – 1) х 30 = 2400 – 30 = 2370.

Округление множимого или множителя не обязательно должно производиться путем их множителя их увеличения на несколько единиц, как это имело место в рассмотренных двух примерах на умножение путем округления сомножителей:

32 х 21 = 32 х (20 + 1) = (32 х 20) + (32 х 1) = 640 + 32 = 672.

Я взяла 32 двадцать раз и затем прибавляем 32, взятое еще один раз. Умножение в данном случае можно назвать умножением путем округления множителя, но можно его назвать умножением путем разложения множителя на два слагаемых, удобных для выполнения умножения.

203 х 16 = (200 + 3) х 16 = 3200 + 48 = 3248.

И здесь прием округления множимого привел к разложении. Его на два слагаемых, удобных для умножения 16.

Рассмотрим применение округление при делении:

596 : 4 = 600 : 4 – 4 : 4 = 150 – 1 = 150.

Я округлила делимое, увеличив на 4, следовательно, разделить не 596 , а число большее на 4 единицы, то есть, в частном у нас одна «лишняя» единица, получаемая от деления 4 на 4.

808 : 8 = (800 + 8) : 8 = 800 : 8 + 8 : 8 = 200 + 1 = 201.

Здесь округление делимого произведено за счет уменьшения его до круглых сотен. Округление в данном примере равносильно делению путем разложения делимого на разряды.

308 : 28 = (280 + 28) : 28 = 10 + 1 = 11.

В данном примере делимое «округлено», или разложении на два слагаемых так, что деление их на 28 стало удобным для выполнения устно.

Очень эффективен прием одновременного увеличения делимого и делителя:

225 : 75 = (225 х 2) : (75 х 2) = 450 : 150 = 3;

440 : 55 = 880 : 110 = 8.

     Если делимое и делитель одновременно увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то величина частного не изменится

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения - это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении.

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

• умножить на 4 - это дважды умножить на 2;
• умножить на 6 - это значит умножить на 2, а потом на 3;
• умножить на 8 - это трижды умножить на 2;
• умножить на 9 - это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

• разделить на 4 - это дважды разделить на 2;
• разделить на 6 - это сначала разделить на 2, а потом на 3;
• разделить на 8 - это трижды разделить на 2;
• разделить на 9 - это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

1. Умножение двузначного числа на однозначное

Умножить двузначное число на однозначное проще всего, разложив его на две составляющие. Например, 45 — на 40 и 5. Далее каждую составляющую умножаем на нужное число, к примеру на 7, отдельно. Получаем: 40 × 7 = 280; 5 × 7 = 35. Затем получившиеся результаты складываем: 280 + 35 = 315.

2. Умножение трехзначного числа на однозначное

Умножать в уме трехзначное число также намного проще, если разложить его на составляющие, но представив множимое так, чтобы с ним легче было производить математические действия. Например, нам нужно умножить 137 на 5.

Представляем 137 как 140 − 3. То есть получается, что мы теперь должны умножить на 5 не 137, а 140 − 3. Или (140 − 3) х 5.

Ну а дальше каждую часть умножаем отдельно: 140 × 5 − 3 × 5 = 700 − 15 = 685.

Зная таблицу умножения в пределах 19 х 9, можно сосчитать еще быстрее. Раскладываем число 137 на 130 и 7. Далее умножаем на 5 сначала 130, а затем 7, и результаты складываем. То есть 137 × 5 = 130 × 5 + 7 × 5 = 650 + 35 = 685.

Разложить можно не только множимое, но и множитель. Например, нам нужно умножить 235 на 6. Шесть мы получаем, умножив 2 на 3. Таким образом, 235 сначала множим на 2 и получаем 470, а затем 470 умножаем на 3. Итого 1410.

Это же действие можно произвести иначе, представив 235 как 200 и 35. Получается 235 × 6 = (200 + 35) × 6 = 200 × 6 + 35 × 6 = 1200 + 210 = 1410.

Таким же образом, раскладывая числа на составляющие, можно выполнять сложение, вычитание и деление.

3. Умножение на 10-ть

Как умножать на 10, известно всем: просто приписать к множимому нуль. Например, 15 × 10 = 150. Исходя из этого, не менее просто умножать и на 9. Сначала к множимому припишем 0, то есть умножим его на 10, а затем от получившегося числа отнимем множимое: 150 × 9 = 150 × 10 = 1500 − 150 = 1 350.

4. Умножение на 5-ть

Легко умножать и на 5. Следует всего лишь умножить нужно число на 10, а получившийся результат разделить на 2.

6. Умножение на 1,5

При необходимости умножить какое-нибудь число на 1,5 делим его на два и прибавляем получившуюся половинку к целому: 24 × 1,5 = 24 / 2 + 24 = 36.

Это лишь самые простые способы устного счета, с помощью которых мы можем тренировать свой мозг в быту. Например, подсчитывать стоимость покупок, стоя в очереди в кассу. Или же совершать математические действия с цифрами на номерах проезжающих мимо машин. Те же, кто любит «играться» с цифрами и хочет развить свои мыслительные способности, могут обратиться к книгам вышеупомянутых авторов.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Волшебство числа

     Большинство приемов быстрого счета похоже на фокусы. Взять хотя бы известнейший пример умножения на 11. Чтобы, например, 32 х 11 нужно написать 3 и 2 по краям, а в середину поставить их сумму: 352.

. УМНОЖЕНИЕ НА 22, 33, ..., 99 - Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528 Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759 Задание: Умножьте 18∙ 44 5. 

   При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко - это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

УМНОЖЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25, НА 125 При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями: a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2 a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8 Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85 Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150 Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675 Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 15.

24 х 15 = 24 х 10 +  = 240 + 120 = 360;

37 х 15 = 370 + 185 = 555;

234 х 15 = 2340 + 1170 = 3510;

12,4 х 15 = 124 + 62 = 186;

2,04 х 15 = 20,4 + 10,2 = 30,6; 

ДЕЛЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25 При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями: a:5= a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100 a:25=a ∙ 4:100 Примеры: 35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7 3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75 6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256

Допустим, надо умножить 96 на 92. Дополнения до ста – соответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножителя дополнение второго (96-8=88) или от второго сомножителя дополнение первого (92-4=88). И в том, и в другом случае получаем 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4·8=3– это последние цифры произведения) . Итак, 96·92=8832.

Счет на пальцах

    Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9.  А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения?  Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

    Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций. Но это только фокусы. Фокусы это хорошо, но они актуальны, пока вы этим пользуетесь, и тут же забывается,  при прекращении применения их. Поэтому  лучше выучить стандартные алгоритмы устного счёта.

Некоторые приёмы устного счёта

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34*9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30*9=270, 4*9=36, 270+36=306).

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176. Однако, не зная таблицу умножения до 19*9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры как 147*8=(150-3)*8=150*8-3*8=1200-24=1176

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225*6=225*2*3=450*3=1350. Также, проще может оказаться 225*6=(200+25)*6=200*6+25*6=1200+150=1350.

При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека, как внимание, сосредоточенность, выдержка, смекалка, самостоятельность. Любое вычисление устно можно выполнить очень многими способами. Пусть, например, нам надо умножить 28 на 4. Это умножение можно выполнить так:

А) 28 х 4 = (20 + 8) х 4 = 80 + 32 = 112;

Б) 28 х 4 = (25 + 3) х 4 = 100 + 12 = 112:

В) 28 х 4 = (30 – 2) х 4 = 120 – 8 = 112;

Г) 28 х 4 = 28 х 2 х 2 = 56 х 2 = 112.

ПРИЕМЫ ПЕРЕСТАНОВКИ.

Одним из приемов устного счета является прием перестановки слагаемых или перестановки сомножителей.

Пусть надо выполнить сложение чисел:    389 + 567 + 111.

Сложение этих чисел в порядке их написания довольно затруднено, и вы, вероятно, начнете писать слагаемые в столбик и выполнять сложение письменно.

Между тем достаточно написать слагаемые в том порядке, в каком их удобнее сложить (пользуясь переместительным свойством суммы: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется), и вычисление легко выполнить устно:  389 + 111 + 567 = 500 + 567 = 1067.

Не меньший эффект дает переместительное свойство произведения (от перемены мест сомножителей произведение не изменяется).

Рассмотрим несколько примеров:

4 х 53 х 25 = 25 х 4 х 53 = 100 х 53 = 53 х 100 = 5300;

3 х 124 = 124 х 3 = 300 + 72 = 372;

5 х 37 = 37 х 5 = 30 х 5 + 7 х 5 = 150 + 35 = 185;

4 х 8 х 13 х 5 х 125 х 25 = (4 х 25) х (8 х 125) х (13 х 5) = 100 х 1000 х 65 = 6 500 000.

При решении этих приемов я использовала следующие свойства действия умножения: при умножении нескольких сомножителей можно переместить места сомножителей, соединить их в отдельные группы, произвести умножение сомножителей по группам и затем перемножить полученные произведения.

        Приём возведения в квадрат двузначных чисел.

        Использование формул сокращённого умножения при возведении в квадрат двузначных      

         чисел.

        Извлечение корней из чисел..

72² = (70 + 2)² = 4900 + 280 + 4 = 5184;

59² = (60 – 1)² = 3600 – 120 + 1 = 3481;

47 х 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 2500 – 9 = 2491;

Как видно из разобранных примеров, особенно эффективна формула разности квадратов. Правда, она применима в случаях умножения чисел, отличающихся от какого-либо целого числа десятков (сотен) на одно и то же число в ту же и другую сторону.

В рассматриваемом примере 47 на 3 меньше 50, а 53 на 3 больше 50. Эту формулу можно использовать в обратном порядке для нахождения разности квадратов двух чисел:

128² – 127² = (128 + 127)(128 – 127) = 255 х 1 = 255.

= = = 17;

= = = 0,7 · 0,3 = 0,21.

Заключение

 Существуют много способов  быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета. Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в учёбе.

Вывод:

1. Устный счет развивает внимание, память, быстроту реакции.
2. При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека, как внимание, сосредоточенность, выдержка, смекалка, самостоятельность.
3. Дети, которые обладают навыком устного счета, более сконцентрированные и внимательные, имеют развитое образное мышление и могут быстро реагировать на обстоятельства.
4. Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления и развития личностных качеств ребенка.
5. При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека, как внимание, сосредоточенность, выдержка, смекалка, самостоятельность.