Практическое занятие "Прогрессии"
методическая разработка

Инструкционная карта.

(1 курс Профессии 15.01.05 Сварщик (ручной и частично-механизированной сварки (наплавки)), 08.01.07 Мастер общестроительных работ)

Практическое занятие №8.

Тема: «Прогрессии»

Цель: убедится, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры;
- продолжать формировать навыки применения прогрессии к решению прикладных задач;

-  обобщить  и систематизировать знания по данной теме.

Оборудование:  инструкционные карты, калькулятор.

Вариант __

Изучить теоретический материал.

Порядок выполнения:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом и решением задач.
2. Изучить образцы решенных задач.
3. Выполнить практическую работу.
4. Сделать вывод.
5. Ответить на контрольные вопросы.

Теоретическая часть.

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность вида а1, а1+d,  а1+2d,…, а1+(n-1)d,…

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага, или разности прогрессии):

an = an-1 + d

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена: an = a1 + (n-1)d

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формулам

an = a1 + (n-1)d

an = am - (m - n)d

где  a1 — первый член прогрессии, d — её разность, am — член арифметической прогрессии с номером m.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b1, b2, b3,… (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (называемое знаменателем прогрессии), где b1 ≠ 0, q ≠ 0: b1, b2 = b1q, b3 = b2q,…, bn = bn-1q.

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле: bn = b1qn – 1

Задача 1.

Диаметры пяти шкивов, насажанных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию. Найти диаметры шкивов, если сумма первого и третьего составляет 268 мм, а второго и четвёртого - 316 мм.

Решение: 

По условию задачи +=268,  Найти  .

Составим и решим систему уравнений, используя формулу  d(n-1)

;  ;  ;  .

Подставив полученные значения в формулу  d(n-1), найдём остальные значения

.

Ответ: 110, 134, 158, 182, 206.

Задача 2.

Мощности пяти электромоторов составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Мощность первого 5 кВт, а третьего 9,8 кВт. Рассчитать мощности остальных электромоторов (ответ дать в кВт).

Решение:

По условию задачи . Найти .

По условию задачи

Для того, чтобы найти остальные значения, найдём q,

q

,

.

Ответ: 7;  13,72;  19,208.

Задача 3.

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10  м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5сек. после начала падения.

 Решение: Составим математическую модель задачи: в первую секунду – 5 м, во вторую секунду - 15м, в третью секунду – 25 м, в четвертую секунду – 35 м, в пятую секунду – 45 м.

Всего за пять секунд :  5+15+25+35+45=125 (м).

Ответ: глубина шахты 125 м.

Задача 4.

Два тела, находясь на расстоянии 158 м друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первое тело движется со скоростью 10 м/с, а второе в первую секунду прошло 3 м, а в каждую последующую на 5м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

Решение. 

Положим, что тела встретятся через t секунд. Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле s=vt. Движение второго совершается по закону арифметической прогрессии, первый член которого равен 3 м, а разность 5м. Поэтому из условия задачи получим уравнение:  .

20t + (6+ 5t – 5)t = 316

21t +  5t2 = 316

5t2 + 21t – 316 = 0

Решаем через дискриминант.

(t натуральное число), решив которое получим t1 = 6, t2 = .

Второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть меньше нуля.

Ответ: 6сек.

Практическая часть. 

Сделайте вывод.

Контрольные вопросы (ответить письменно).

1. Какую прогрессию называют арифметической?

2. Какую прогрессию называют геометрической?

3. Назовите формулу n -го члена арифметической прогрессии.

4. Назовите формулу n -го члена геометрической прогрессии.