Тема занятия: Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Общие этапы формирования понятия величины у младших школьников.
учебно-методический материал

Раздел 1. Методика изучения величин в начальном курсе математики

Тема 1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Общие этапы формирования понятия величины у младших школьников.

Величина. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Формирование у учащихся представлений о числе и о десятичной системе счисления тесно связано с изучением величин. В начальных классах у учащихся имеются некоторые интуитивные представления о величинах и об их измерении.

- Какие величины вы знаете? (длина, время, скорость, масса, объем, площадь, а также температура, плотность, сил и т.д.)

Исторический очерк. В древних цивилизациях, в основном в связи с обширным развитием торговли, возникла потребность в измерениях товаров, определении расстояния, времени, расчете посевных площадей и прочего. Сначала люди измеряли предметы при помощи сравнения их с человеком или животным. Но все эти меры были довольно относительными, ведь у каждого свои пропорции тела, а величина в математике - это в первую очередь точность. Поэтому со временем возникла необходимость в создании единого эталона системы величин. Так, во Франции в 1791 году во время Великой революции единицей измерения длины было принято считать метр, который составлял одну сорокамиллионную часть земного меридиана, пересекающего Париж. Кроме метра была установлена такая величина, как килограмм. Он был равен одному кубическому дециметру воды при температуре 4 °С. А также ар как мера площади, литр и грамм. Так как в основе новых величин был метр, то и система измерения стала называться метрической. В Национальном архиве Франции до сих пор лежат платиновые эталоны метра в виде линейки со штрихами на концах и килограмма в виде цилиндрической гири. Русская система измерения С Древней Руси до принятия в Российской империи метрической системы мер принято было производить замеры с помощью длины локтя, ширины ладони, длины стопы - фут. Расстояние от кончика вытянутой вверх руки до пятки противоположной ноги называлось сажень, расстояние между вытянутыми руками - маховая сажень и т. д. Для измерения расстояния брали, например, слышимость петушиного крика или способность лошади без отдыха добраться из пункта А в пункт Б. Так люди измеряли дальность проложенного маршрута.

Даже сейчас в пословицах и поговорках мы можем встретить напоминания о существовании старинных величин. Об этом свидетельствую такие выражения, как «слышать за версту», «косая сажень в плечах», «мерить на свой аршин» и другие крылатые фразы. В 1899 году, 4 июня была принята единая метрическая система, которая являлась необязательной. Обязательной она стала 14 сентября 1918 года уже при советской власти, практически сразу после Великой октябрьской революции.

Понятие величины. 

Итак, величина – особое свойство предметов или явлений. Например, свойство предметов «иметь протяженность» называется «длиной». Величину рассматривают как обобщение свойств некоторых объектов и как индивидуальную характеристику свойства конкретного объекта. Величины можно оценивать количественно на основе сравнения. 

Например, понятие длины возникает:

1. при обозначении свойств класса объектов («многие окружающие нас предметы имеют длину»);

2. при обозначении свойства конкретного объекта из этого класса («этот стол имеет длину»);

3. при сравнении объектов по этому свойству («длина стола больше длины парты»).

Величины представляют собой особые свойства предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. (например, один предмет может иметь длину, массу, объем и др.)

Свойства однородных величин:

 1. Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин а и b справедливо только одно из отношений: а < b, а > b, а = b. Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины комнаты.

2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В результате сложения и вычитания получается величина того же рода. Величины, которые можно складывать, называются аддитивными. Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина. Существуют величины, которые не являются аддитивными, например, температура. При соединении воды разной температуры из двух сосудов, получается смесь, температуру которой нельзя определить сложением величин. Мы будем рассматривать только аддитивные величины. Пусть: а – длина ткани, b – длина куска, который отрезали, тогда: (а - b) – длина оставшегося куска.

3. Величину можно умножать на действительное число. В результате получается величина того же рода. Пример: «Налей в банку 6 стаканов воды». Если объем воды в стакане – V, то объем воды в банке – 6V.

4. Однородные величины делят. В результате получается неотрицательное действительное число, его называют отношением величин. Пример: «Сколько ленточек длиной b, можно получить из ленты длиной а ?» ( х = а : b )

 5. Величину можно измерить.

Измерение величины. Сравнивая величины, непосредственно мы можем установить их равенство или неравенство. Например, сравнивая полоски по длине наложением или приложением, можно установить, равны они или нет:

- если концы совпадают, то полоски имеют равную длину;

- если левые концы совпадают, а правый конец нижней полоски выступает, то ее длина больше.

Для получения более точного результата сравнения величины измеряют. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной, принятой за единицу. Измеряя массу арбуза на весах, сравнивают ее с массой гири. Измеряя длину комнаты шагами, сравнивают ее с длиной шага.

Процесс сравнения зависит от рода величины: длину измеряют с помощью линейки, массу — используя весы. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения получается определенное число, зависящее от выбранной единицы величины.

Цель измерения – получить численную характеристику данной величины при выбранной единице. Если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = х • е. Это число х называют численным значением величины а при единице величины е.

Примеры:

1) Масса дыни 3кг.

3кг = 3∙1 кг, где 3 – численное значение массы дыни при

единице массы 1кг.

2) Длина отрезка 10см.

10см = 10 • 1см, где 10 – численное значение длины отрезка при

единице длины 1см.

Величины, определяемые одним численным значением, называются скалярными (длина, объем, масса и др.). Существуют еще векторные величины, которые определяются численным значением и направлением (скорость, сила и др.). Измерение позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а действия с величинами – к действиям над числами.

Общие этапы формирования понятия величины у младших школьников. В современной начальной школе задачи изучения раздела «Величины и их измерение» расширены. Ученики, оканчивающие начальную школу (по любой программе) в соответствии с ФГОС должны научиться:

1) читать и записывать величины (массу, время, длину, площадь, скорость) используя основные единицы измерения величин и соотношения между ним;

2) сравнивать названные величины;

3) выполнять арифметические действия с этими величинами;

4) выбирать единицу для измерения данной величины, объяснять свои действия. Таким образом, в начальном курсе математики изучаются некоторые величины – длина, масса, объем (вместимость), время. Кроме этого, рассматриваются величины, характеризующие различные процессы – движения (скорость, время, расстояние), купли-продажи (цена, количество, стоимость), работы (объем работы, производительность, время).

Понятие величины в учебниках начального курса математики не определяется, то есть дается без определения. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определенные этапы.

1-й этап. Выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребенка). Цель данного этапа – сформировать у учащихся представление о том, что все окружающие нас объекты обладают свойствами или признаками, их можно сравнивать: ручка короче указки, арбуз тяжелее яблока, прямоугольник АВCD больше круга, перемена длится меньше, чем урок и т.п

Имеющийся жизненный опыт у ребенка позволяет ему осознать практическую значимость изучаемого понятия, связать его с реальными предметами и явлениями, перевести житейский понятия на язык математики. Придя в школу, они уже имеют представления о том, что два различных предмета могут быть одинаковыми, а в чем-то различными. Например, два карандаша могут быть одинаковыми, так как они используются при рисовании, и в то же время они могут различаться по цвету, длине, форме.

2-этап. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок). Цель данного этапа – сформировать у учащихся представление о том, что величины можно сравнивать, устанавливая отношение порядка (как правило, нестрогого, ибо величины могут быть и равны) на множестве однородных величин.

Среди всех характеристик реальных предметов, обладающих определенными свойствами, выделяются такие, относительно которых можно ввести отношения «больше», «меньше»: если две полоски по длине неодинаковы, то одна длиннее другой; если два сосуда имеют различную вместимость, то вместимость одного сосуда больше другого; если два тела по массе неодинаковы, то масса одного тела меньше другого. Основу деятельности на данном этапе составляют практические действия, выполняемые им в различных ситуациях.

3-й этап. Знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором. Знакомство с единицей величины на данном этапе лучше всего вводить с помощью различных ситуаций проблемного характера. Цель данного этапа – сформировать у учащихся представление о том, что: 1. мерка должна быть однородной с измеряемой величиной, удобной; 2. численное значение величины зависит от выбранной единицы измерения (мерки): чем больше мерка, тем число (мера) меньше и наоборот; 3. сравнивать можно только величины, измеренные одной единицей измерения. 

Здесь учащиеся выполняют упражнения на выбор подходящей мерки (для измерения длин – веревочки, полоски бумаги, кусочки проволоки, палочки разного размера). Осуществляя измерение величин различными мерками, учащиеся устанавливают зависимость между величиной и единицей величины, осознают необходимость введения единой (общепринятой) единицы. Целесообразно ознакомить учащихся со старинными единицами измерения величин – сажень, фут, фунт, ярд, локоть, шаг. Методически верно подобранная система заданий наглядно иллюстрирует учащимся, что все используемые ранее единицы (до введения стандартных) были связаны, как правило, с частями тела человека, а, значит, носили субъективный характер.

 Например, на доске прикреплены две полоски (90 и 120 см). учитель обращается к учащимся с таким вопросом: «Как вы думаете, длина какой полоске больше?» ученики могут высказать свои предположения, они могут верными, но свой ответ нужно объяснить. Учащиеся прибегают уже к известному им способу сравнения, но учитель ставит им условие, что полоски снимать нельзя. Отыскивая новый способ, учащиеся могут предложить использовать для этой цели карандаши, ручки, веревочки и т.д. тогда учитель предлагает им воспользоваться планками различных цветов красной и синей: 30 см и 15 см. укладывая красную планку по длине первой полоски они получают 4, по длине второй полоски получают 3. В результате измерения получили 4>3, и значит, длина первой полоски больше длины второй. Закрепить со второй планкой.

Учитель предлагает ситуацию с измерением двух полосок двумя планками одновременно, в итоге получаем длина первой полоски с помощью измерения красной планки равно 4, а длина второй полоски с помощью измерения второй планки равна 6. Получилось, что 4<6, значит длина первой полоски меньше 6. Кто же прав, я или вы? Данный вопрос позволяет ученикам осознать тот факт, что для сравнения двух полосок необходимо пользоваться одной меркой, и подводит их к пониманию того, что числовое значение величины зависит от выбранной единицы.

4-й этап. Введение стандартных единиц измерения величин. Цель данного этапа – познакомить учащихся с общепринятыми единицами величин. Происходит это методом демонстрации: учитель предлагает вниманию учащихся различные предметы (объекты) – носители единичной величины; учащиеся должны осознать, что независимо от материала, из которого изготовлен данный образец (бумага, проволока, пластилин, нитка), все объекты обладают общим свойством – длиной, например.

1 класс Длина (см, дм). Масса (кг). Объем (л).

2 класс Площадь фигуры (кв.см, кв.дм, кв.м). Объем фигуры (куб.см, куб.дм, куб.м). Длина (м)

3 класс Длина (мм, км). Время (сек, мин, ч, сутки, год, век…). Масса (т, ц).

4 класс Площадь (ар, га).

5-й этап. Формирование измерительных умений и навыков.  Цель данного этапа – сформировать у учащихся способность к измерению длин отрезков, площадей фигур, масс тел, вместимости сосудов с помощью стандартных единиц величин. Решение учебной задачи направлено на осознание учащимися неэкономичности во времени использования образца – эталона для измерения величин и, как следствие, введение измерительного инструмента (линейки, палетки, транспортира).

6-й этап. Выполнение арифметических действий с именованными числами. Цель данного этапа – развитие вычислительных умений и навыков, формирование представлений о свойствах величин, формирование у учащихся способности к преобразованию, сравнению, сложению, вычитанию, умножению и делению величин, выраженных в единицах сначала одного, затем разных наименований. Здесь важно, чтобы учащиеся осознали, что для выполнения действий с именованными числами, их нужно выразить в единицах одного наименования. Так же нужно обратить внимание учащихся на связь между действиями с отвлеченными числами и именованными (за исключением именованных чисел, выраженных в единицах времени)

д/з. Истомина стр 53-62.