24.03.2020г. гр.836 Повторение. Приемы решения рацион. уравнений и неравеств
материал

Тема: Повторение. Основные приемы решения рациональных уравнений и неравенств.

Цель: обобщить опыт по решению рациональных уравнений разных видов, рассмотреть различные способы их решения, в том числе и нестандартные.

Лекционный материал

1. Рациональные уравнения.

Многие уравнения с помощью различных приемов, выполнив подходящие замены переменных, можно свести к квадратным. Вспомним некоторые из них.

1)  Такое уравнение называется биквадратным.

Замена: 
 D = 1225 = ,   

Ответ: 

2) 

Замена:  тогда получим  

Ответ: –2,5, –2, 0,5, 1.

3) В уравнении , перемножая попарно скобки, получим  Сделав замену  сводим уравнение к квадратному.

4)  О.Д.З.: 

Замена:  тогда   получаем  
 т.к. х0, то получаем  

Ответ: –1, –2, 

5) Симметрическим уравнением называется уравнение вида  где Заметим, что симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = –1, симметрическое уравнение четной степени можно решить, используя замену  В школьном курсе математики часто встречаются симметрические уравнения четвертой степени, которые в общем виде можно записать так:  где
Решим уравнение  О.Д.З.: R.
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив обе части уравнения на , получим уравнение  
Пришли к уравнению, решение которого рассмотрено в п.4.

6) Возвратным уравнением нечетной степени называется уравнение вида  где R.

Возвратное уравнение четной степени – это уравнение вида  где R.

Заметим, что возвратное уравнение нечетной степени имеет корень 

Решим возвратное уравнение четверной степени 
О.Д.З.: R. Заметим, что  Разделив обе части уравнения на (, получим  
Замена :  тогда 
  

Ответ: 

7) Однородным уравнением ой степени называется уравнение вида  которое заменой  сводится к алгебраическому уравнению ой степени.

Решим уравнение, которое сводится к однородному уравнению четвертой степени:

 О.Д.З.:R.
 Заметим, что , поэтому можем разделить обе части уравнения на выражение , получим
, это уравнение заменой  сводится к квадратному уравнению 

Рассмотрим еще некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным.

8) О.Д.З.: R.
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому можем разделить обе части его на  получим  

Замена:  Получаем квадратное уравнение  

При решении последних уравнений мы пользовались утверждением: при умножении или делении обеих частей уравнения на число или выражение, не равное нулю на области допустимых значений переменной, получаем уравнение, равносильное данному.

Можно использовать и другое утверждение: при делении числителя и знаменателя дроби на число или выражение, не равное нулю на области допустимых значений переменной, получаем уравнение, равносильное данному. Покажем, как используется это утверждение.

9)  О.Д.З.: R 

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х, получим  Замена:  тогда  

10) При решении уравнения вида  можно воспользоваться заменой

Решим уравнение:  Сделаем замену:   получим     

Ответ: –5, 1.

11) Рассмотрим метод выделения полного квадрата при решении рационального уравнения.

 О.Д.З.:
 
 

Выполнив замену  получим квадратное уравнение 

12) Покажем, как при решении уравнений может значительно упростить решение выделение целой части дробного выражения.

 О.Д.З.: 

Выделять целую часть можно делением «уголком» числителя на знаменатель или, например, следующим образом:  Выполняя аналогичные преобразования каждой дроби, получим 
  замена: 

Ответ: 

Задание для выполнения: С целью закрепления навыков решения уравнений рассмотренными методами, решите следующие уравнения (достаточно любые 3).

1)
2) 
3) 
4) 
5) 

6) 
7) 
8) 

2) Рациональные неравенства.

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство:

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители.

Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени.

Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов.

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался.

Где?

В рациональных уравнениях!

Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель!

Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!

Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Требования к отчетности:

1. Ознакомиться с материалом;
2. Выполнять в рабочей тетради:а) три уравнения на выбор из предложенных;

б) записать примеры рациональных неравенств.

3. Фотографировать готовые решения;
4. Присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.