Компьютерное моделирование операций над множествами в дискретной математике
статья

Компьютерное моделирование операций над множествами  в дискретной математике

В настоящее время идет процесс информатизации общества, интеллектуализации организационных систем, внедрения компьютеров во все сферы жизни человека. Происходит процесс информатизации разнообразных технических систем, постоянное расширение интеллектуальных возможностей динамических систем.

Дискретные системы с древнейших времен применяются в вычислительной практике. Широко известны изобретенные в древности различные системы представления чисел и связанные с ними алгоритмы выполнения арифметических операций, решения уравнений и т.д., повсеместно были распространены дискретные вычислительные приспособления: абак, различные виды счетов.

Основными задачами обучения дискретной математике с помощью  наглядной  имитационной компьютерной модели является развитие логических и математических способностей обучаемых, формирование умений построения и анализа математических моделей и алгоритмов их исследования, формирование представлений о математике как едином целом, осознание связи между математикой и другими дисциплинами, связи между математикой и информатикой.

Этапы непрерывного обучения дискретной математике определяются возрастом обучаемых, их психологическими и физическими возможностями, различными целями и задачами, достигаемыми и решаемыми при обучении.

Главной целью обучения дискретной математике является  методы использования дискретной математики при обучении  информатики и информационным технологиям  и, наоборот. На всех этапах такого обучения лучше  усваивается обучаемыми учебный предмет, для продуктивной деятельности в современном информационном мире, овладение ими умениями использования мощных средств исследования реальной действительности, в том числе и вычислительной техники, развитие их умственных способностей для решения жизненных вопросов.

Недооценка дискретной математики в школе приводит к тому, что ее выпускник приходит в вуз, не имея никаких навыков мышления, ориентированного на восприятие дискретных объектов, что затрудняет ему овладение различными дискретными математическими курсами, связанными с кибернетикой и информатикой. В то же время, для понимания основных разделов по дискретной математике достаточно знаний в объеме основной образовательной программы среднего (полного) общего образования.

Решение задач по дискретной математике на начальном уровне ее изучения не требует глубоких теоретических знаний, а нуждается только в сообразительности.

Наглядные модели часто используются в процессе обучения,  что способствует повышению интереса к обучению. Одним из наиболее часто используемых типов информационных моделей является прямоугольная таблица.

Представленное в наглядной занимательной форме компьютерное моделирование операций над множествами «mnogestvo.exe»  даст возможность учащимся наглядно увидеть в виде модели  решение не сложных  задач по дискретной математике.

Разработанная компьютерная программа «mnogestvo.exe»  проста в применении и в обучении. В Информатике компьютерную программу  можно использовать как пример для обучения учащихся программированию. Это имитационное компьютерное моделирование операций над множествами, разработано на языке программирования Delphi. Язык Delphi предназначен и для начинающих программистов. При работе с данной программой  не нужна инструкция, следует руководствоваться подсказками на правой стороне программного окна, где наглядно описано, как математически выглядит каждая операция над множествами.  Одновременно текст программы «mnogestvo.exe»  можно использовать как пример для обучения программированию, так как функционально в тексте программы использованы все необходимые процедуры  азов программирования: (создать, открыть, закрыть текстовые файлы, работа с окнами, формами, событиями, компонентами, файлами  массивами  таблицами и т.д). Они будут полезны не только для обучения, но и при написании реальных программ.  В программе формируется  табличная информационная модель,  в которой используют N-ое количество множеств с  N-ым количеством элементов. Выполняют операции над множествами по выбору из панели задач,  наглядно без особых усилий знакомит учащихся с разными видами информационных моделей в виде  операций над множествами и способами задания множеств.

 При запуске  программы «mnogestvo.exe» на экране формируется  окно, содержащее  название программы  и главное меню, с пунктами необходимыми для работы с множествами  и видами  операций над множествами. Чтоб оперировать над множествами необходимо  множества «создать» выбрав, из главного меню  пункт «файл», как указано на рисунке.1.

Рисунок.1

В окне (рисунок 2)  нужно ввести цифровое значение в поля «количество элементов» и «количество множеств» и нажатием  кнопки «создать» на экране формируется следующее окно с таблицей: по вертикали количество множеств, по горизонтали количество элементов в заданных множествах.

Рисунок.2

В таблицу информационной модели   можно добавить множество или  элемент. Для этого  из пункта «элемент» или «множество» главного меню (рисунок 1), необходимо выбрать «добавить».

Если таблица множеств не создана и  выполняется операция «добавить» множество  или элемент во  множество, то программа на экран выдает окно ошибки «Множество не создано» (рисунок.3).

Рисунок.3

Если из модели  таблицы множеств необходимо  удалить элемент или множество, то из пункта «элемент» или «множество» главного меню   на экран выдается окно «удаление множества/элемента». Необходимо вводить номер удаляемого из таблицы множества/элемента и выбрать кнопку «удалить».

Непроизвольным выбором  клетки, нажатием  клавиши «мыши» дважды, записывается  элемент в виде «ХХХ» в пустую клетку таблицы множеств. Таким образом, создается информационная модель  в виде таблицы с заданным количеством  множеств  и  заданным количеством элементов (рисунок.4).

Рисунок.4

Для моделирования операций над множествами из главного меню  необходимо выбрать пункт математический операции над множествами. В пунктах операций главного меню разработаны различные виды информационных моделей операций над множествами (пересечение (произведение «*»), объединение (сумма «+»),  разность «-», симметричная разность (кольцевая сумма «%»), дополнение «U\M»).

В таблице информационной модели  записывается  результат обработки данных каждого  вида модели главного меню с выбранной операцией над множествами.

При выборе пункта «пересечение/объединение» главного меню на экране формируется модель в виде окна (рисунок 5). Выбрать «мышью» по множеству из каждого столбца и  название операции нажатием кнопки.

Выполнение любой   операции  главного меню  отражается в таблице информационной модели  нижней части    окна:

где первая строка- первое множество с элементами,

 вторая строка- второе множество с  элементами,

третья строка- результат выполненной операции над выбранными множествами.

Рисунок 5

При выборе пункта «Разность» главного меню на экране формируется информационная модель операций «разность» и «симметричная разность» (рисунок 6). В данной информационной модели для выбора номеров множеств используется «видж счетчик».

Рисунок 6

При выборе пункта «все операции» главного меню, на экране формируется информационная модель в виде окна  со столбцами множеств с двух сторон от кнопок основных  операций над множествами (рисунок 7).

Рисунок 7

Информационная модель операции «Дополнение», отличается от остальных моделей операций над множествами.

Выбрать «мышью» по множеству из каждого столбца и  название операции нажатием кнопки «Дополнение». Выполнение  операции  отражается в нижней части таблицы информационной модели:

Где первая строка- первое множество с элементами;

 вторая строка- второе множество с  элементами;

третья строка- результат операции (дополнение) над выбранным множеством из первого столбца.

четвертая строка- результат операции (дополнение) над выбранным множеством из второго столбца (рисунок 7).

 При выборе пункта «операции в строке» главного меню на экране формируется  еще одна информационная модель в виде окна. Как вводить операции над множествами в строку, наглядно показано в правой стороне окна модели. При  нажатии  кнопки «Выполнить» выполнение операции отражается в таблице информационной модели (рисунок 8).

Рисунок 8

При выборе пункта  «операции в строке» главного меню, ввод строки операции над множествами  «дополнение» в информационную модель, отличается от остальных  вводимых строк операций над множествами (рисунок 8).

Для множества М задается некоторое универсальное множество U, которое обозначается  U\M.

Таблица модели выполненной операции «Дополнение» отличается от остальных моделей операций над множествами:

Где первая строка -  множество М с элементами,

 вторая строка - универсальное множество U\.множества М,

Ознакомление  учеников с операциями над множествами  с помощью имитационной компьютерной модели, развивает активные навыки использования компьютерных программ при обучении нового учебного материала, развивает умственные способности и интерес не только к обучению математики, но и к информатике и информационным технологиям.

Ученик получает навыки работы с  учебными программами в электронном виде, может осознавать место дискретной математики в системе знаний, необходимых для тех, кто связал свою жизнь с компьютером.

Выбор дискретной математики как составляющей при обучении математике вызван широким распространением дискретных математических моделей при исследовании кибернетических систем, повсеместным изучением информатики, теоретической базой которой является дискретная математика. Кроме того, целью изучения дискретной математики является повышение с ее помощью интеллектуального развития человека, умственное совершенствование обучаемых, формирование у них приемов логического мышления, развитие их соображения и воображения, формирование их личности.

Задачей имитационной компьютерной модели «mnogestvo.exe» являются: обучение учащихся   теоретическим основам дискретной математики, овладение методами выполнения операций над множествами, иллюстрирование возможностей практического выполнения операций над множествами с помощью компьютерной программы для ускорения математического, информационного  развития.

Цель наглядной  имитационной компьютерной модели «mnogestvo.exe»,  состоит в изучении основных наиболее часто используемых операций над множествами  дискретной математики, наглядное использование их при объяснении курса теории множеств и операций над ними, а также применение способов  моделирования к решению задач. В процессе изучения данных основ дискретной математики учащиеся должны:

знать базовые понятия дискретной математики; основные понятия теории множеств,  методы моделирования операций над множествами дискретной математики;

уметь использовать арсенал методов моделирования  дискретной математики использованные в программе «mnogestvo.exe», для решения  конкретных математических задач;

иметь представление об основных терминах, понятиях и методах дискретной математики, о языках  программирования для моделирования конкретных математических задач.

Большое значение приобретает умение будущих специалистов исследовать построенные модели на компьютерах с помощью пакетов прикладных программ. Поэтому становится важным раннее пропедевтическое ознакомление с началами дискретной математики, начиная с дошкольных заведений и школы, и заканчивая в вузе.

Увеличение значения дискретной математики в технике и в экономике, новые требования к обучению информатике в школах и вузах должны изменить и отношение к преподаванию дискретной математики. Но в школе происходит постоянное увеличение объема знаний, предлагаемых для усвоения ученикам. К сожалению, часто это увеличение происходит за счет сокращения часов, отводимых на фундаментальные знания, в том числе и на математику, что ведет к резкому ухудшению качества обучения и появлению все новых и новых трудностей.

Литература

1.        Фленов М.Е Библия  Delphi СПб: Питербург, 2005.

2.        Мельников О.И. Обучение дискретной математике. –Осипова В.А. Основы дискретной математики. – М. : ФОРУМ:

4        . Белоусов А.Н., Ткачев С.Б. Дискретная математика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001

5        . Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Питер, 2000.

6        . Хаггарти Р.  Дискретная математика для программистов / Р. Хаггарти, М.,  – 2004.

Инструкция пользователя

Компьютерное моделирование операций над множествами  в дискретной математике

Запустите программу «mnogestvo.exe» и на экране формируется  окно, содержащее  название программы  и главное меню, с пунктами необходимыми для работы с множествами  и видами  операций над ними. Чтоб оперировать над множествами необходимо  множества «создать» выбрав, из главного меню  пункт «файл», как указано на рисунке.1.

Рисунок.1

На экране формируется новое окно  (рисунок 2).Необходимо ввести цифровое значение в поля «количество элементов» и «количество множеств» и нажатием  кнопки «создать» на экране формируется следующее окно с таблицей: по вертикали количество множеств, по горизонтали количество элементов в заданных множествах (рисунок 3).

Рисунок.2

Рисунок 3

В таблицу можно добавить множество или  элемент в множество. Для этого  из пункта «элемент» или «множество» главного меню (рисунок 1), необходимо выбрать «добавить».

При  выполнении операции «добавить» множество  или элемент во  множество и при этом таблица множеств не создана, то программа на экран выдает окно ошибки «Множество не создано» (рисунок.4).

Рисунок.4

Если из таблицы множеств необходимо  удалить элемент, то из пункта «элемент» главного меню нужно выбрать «удалить», на экран выдается окно «удаление элемента». Необходимо вводить номер удаляемого из таблицы элемента и выбрать кнопку «удалить» (рисунок.5).

Рисунок 5

Если из таблицы множеств необходимо  удалить  множество, то из пункта  «множество» главного меню нужно выбрать «удалить»,  на экран выдается окно «удаление множества». Необходимо вводить номер удаляемого из таблицы множества и выбрать кнопку «удалить» (рисунок 6).

Рисунок 6

Непроизвольным выбором  клетки, нажатием  клавиши «мыши» дважды, записывается  элемент в виде «ХХХ» в пустую клетку  таблицы множеств (рисунок 7). Таким образом, создается информационная модель  в виде таблицы с заданным количеством  множеств  и  заданным количеством элементов.

Рисунок 7

Таблицу можно сохранить  в виде текстового  файла. Для этого  из пункта «Файл»  главного меню (рисунок 1), необходимо выбрать «сохранить» на экран выдается окно «сохранить как». Необходимо для сохранения файла выбрать каталог на верхней панели окна, а в нижнюю  панель вводить имя файла с расширением (пример «таблица.txt») (рисунок 8).

Таким же образом таблицу можно загрузить файл, если на компьютере существует  ранее сохраненный  файл  с расширением  «****.txt»

Рисунок 8

При выборе пункта «пересечение/объединение» главного меню на экране формируется окно (рисунок 9). Выбрать «мышью» по множеству из каждого столбца и  название операции нажатием кнопки.

Рисунок 9

Выполнение операции записывается в таблицу в нижней части окна: Первой строке первое множество с элементами, во второй строке, второе множество с  элементами, а в третьей строке- результат выполненной операции над выбранными множествами. Пример Операции «пересечение» отражено на рисунке 10.

Рисунок 10

При выборе пункта «Разность» главного меню на экране появиться окно (рисунок 11). В полях номеров множеств  с помощью «видж счетчика» необходимо выбрать номера множеств затем кнопку выполняемой операции. На рисунке 11 отражено операция «симметричная разность» над множествами М3 и М7.

Рисунок 11

При выборе пункта «Все операции» главного меню, на экране формируется  окно со столбцами множеств с двух сторон от кнопок основных  операций над множествами (рисунок 7).

Рисунок 12

Модель операции «Дополнение», отличается от остальных моделей операций над множествами.

Выбрать «мышью» по множеству из каждого столбца и  название операции нажатием кнопки «Дополнение». Выполнение  операции  отражается в таблице нижней части  окна:

Где первая строка- первое множество с элементами;

 вторая строка- второе множество с  элементами;

третья строка- результат операции (дополнение) над выбранным множеством из первого столбца;

четвертая строка- результат операции (дополнение) над выбранным множеством из второго столбца (рисунок 12).

При выборе пункта « операции в строке» главного меню на экране формируется новое окно. В правой стороне окна первое поле служит для ввода строки операции над множествами. Для этого необходимо:

1. компьютер переводить на латинский шрифт;
2. Буквенные  значения набирается с нажатием кнопки «Shift\М»  с клавиатуры компьютера;
3.  удаление  с поля строки буквенное или цифровое значение   производится  с помощью клавиши «Delete».

Рисунок 13

При  нажатии  кнопки «Выполнить» выполняется действие операции и На рисунке 14 пример операции «Симметричная разность».

Где на правой стороне окна

В первом поле строки находиться введенная строка первое множество с номером, операция «Симметричная разность» второе множество с номером.

;во втором поле  строки отражается номер первого множества ;

В третьем поле  строки отражается вид операции;

В четвертом поле строки отражается номер второго множества

Рисунок 14

Ввод строки  модели операции над множествами  «дополнение» отличается от остальных  вводимых строк операций (рисунок 15).

Рисунок 15

Для множества М задается некоторое универсальное множество U, которое обозначается U\M.

Выполнение операции «дополнение» отражено на рисунке 16

Где  первая строка - первое множество с элементами;

 вторая строка - универсальное множество U\M, множества М.

Рисунок 16

Для выполнения другой операции необходимо нажать кнопку «Следующая операция» и в поле строки операции над множествами ввести первое множество, вид операции и второе множеств.