Учебно-методические материалы для студентов по курсу "Дискретная математика"
учебно-методический материал по теме
В данной разработке представлены теоритические и практические материалы по темам:
элементы теории множеств;
формулы логики;
булевы функции;
предикаты и кванторы
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 formuly_logiki.ppt | 397 КБ |
| bulevy_funktsii.ppt | 688 КБ |
| predikaty.ppt | 531.5 КБ |
| teoriya_mnozhestv.pptx | 457.65 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Простые и составные высказывания логических операций. Конъюнкция и Дизъюнкция. Простые и составные высказывания логических операций. Отрицание, Импликация и Эквиваленция. Таблицы истинности, формулы логики, порядок действий. Равносильность формул, законы ассоциативности, дистрибутивности, коммутативности. Законы поглощения, конъюнкция и дизъюнкция, закон единицы и нуля. Законы снятия двойного отрицания, де-Моргана, склеивания – рассеивания. Законы снятия импликации, контрапозиции. Тождественно – истинные формулы (Тавтологии), тождественно – ложные формулы. Правильное рассуждение. ДНФ – (Дизъюнктивная нормальная форма), алгоритм приведения формулы к ДНФ. СДНФ - (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма). Содержание
Простые и составные высказывания логических операций. Конъюнкция и Дизъюнкция. Простые и составные высказывания логических операций. Отрицание, Импликация и Эквиваленция. Простое высказывание – это предложение, утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Составное высказывание – это предложение, утверждение, которое состоит из нескольких простых высказываний, связанных между собой логическими связками. К логическим связкам относится: и, или, а, но, если то, т. и т.т.… Высказывание Не высказывание Волга впадает в каспийское море Кит – млекопитающие 6 – Четное число Приветствую тебя Встать! – суд идет Люблю грозу в начале мая Логические операции Содержание
Название Прочтение Обозначение Определение Дизъюнкция А или В А v B Высказывание, которое истинно т. и т.т., когда истинно одно из входящих в него высказываний Конъюнкция А и В (А, но В; А, а В) А & В Высказывание, которое истинно т. и т.т., когда истинны оба высказывания Отрицание не А (Не верно что А) А 7 А Высказывание, которое истинно т. и т.т., когда А ложно Импликация Из А следует В (если А, то В) A B Высказывание, которое ложно т. и т.т., когда посылка(А) истинна, а заключение(В) ложно Эквиваленция А равносильно В А т. и т.т., когда В А ~ В Высказывание, которое истинно т. и т.т., истиносные значения входящие в высказывания совпадают Логические операции Содержание
Таблицы истинности, формулы логики, порядок действий. Таблица истинности Формулы логики – это предложение содержащие высказывание, соединенные логическими операциями и скобками. порядок действия Скобки Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция Содержание
Таблица истиности Таблица истинности А В AvB A&B 7A A B A~B И И И И Л И Л И Л И Л Л Л Л Л И И Л И И Л Л Л Л Л И И И Содержание
Равносильность формул, законы ассоциативности, дистрибутивности, коммутативности. Формула Х равносильна Y если при любых наборах истиносных значений входящей в них переменных они принимают одинаковые истиносные значения, т.е. результирующие столбики должны совпадать. Закон ассоциативности A v B v C = (A v C) v B, A & B & C = (A & C) & B Закон дистрибутивности A v (B & C) = (A v B) & (A v C), A & (B v C) = (A & B) v (A & C), Закон коммутативности A v B = B v A, A & B = B & A Содержание
Законы поглощения, конъюнкция и дизъюнкция, закон единицы и нуля . ЗАКОНЫ ПОГЛОЩЕНИЯ A v (A & B) = A A & (A v B) = A Содержание Законы 1 и 0 A & 1 = A A & 0 = 0 A v 1 = 1 A v 0 = A A & 7A = 0 A v 7A = 1 Доказательство
А В A&B Av(A&B) И И И И И Л Л И Л И Л Л Л Л Л Л Av(A&B)=A A 7A 1 Av7A И Л И И И Л И И Л И И И Л И И И А v7A=1 Формула равносильна Формула равносильна Содержание
Законы снятия двойного отрицания, де-Моргана, склеивания – рассеивания. Закон снятия двойного отрицания 77 A = A Закон ДеМоргана 7 (А & В) = 7 А v 7 В 7 (А v В) = 7 А & 7 В Закон склеивания – расщепления A = A&BvA&7B Доказательство Содержание
A B A&B 7(A&B) 7A 7B 7AV7B И И И Л Л Л Л И Л Л И Л И И Л И Л И И Л И Л Л Л И И И И 7(A&B) = 7A v 7B A = A&BvA&7B A B A&B A&7B A&BvA&7B И И И Л И И Л Л И И Л И Л Л Л Л Л Л Л Л Содержание
Законы снятия импликации, контрапозиции. Снятие импликации A B = 7AvB A B = 7 ( A& 7 В) Закон контрапозиции А В = 7В 7А Содержание Доказательство
A B 7A A В 7AvB И И Л И И И Л Л Л Л Л И И И И Л Л И И И A B 7A 7B A В 7B 7А И И Л Л И И И Л Л И Л Л Л И И Л И И Л Л И И И И A B=7AvB A B=7B 7A Формулы равносильны, т. к. результирующие столбики таблицы истинности совпадают Формулы равносильны, т. к. результирующие столбики таблицы истинности совпадают Содержание
Тождественно – истинные формулы (Тавтологии), тождественно – ложные формулы. Тождественно – истинными формулами( тавтологиями) называются формулы, при любых наборах истиносных значений входящих в них переменной принимают значения истинны, т.е. результирующий столбик таблицы истинности состоит из истины. Тождественно – ложными формулами называются формулы, при любых наборах ложных значений входящих в них переменной принимают значения лжи, т.е. результирующий столбик таблицы истинности состоит из лжи. Например Содержание
A 7A Av7A A&7A И Л И Л И Л И Л Л И И Л Л И И Л Av7A A&7A Формула тождественно – истинная, т.к. результирующие столбики таблицы истинности состоят из истины Формула тождественно – ложная, т.к. результирующие столбики таблицы истинности состоят из лжи Содержание
Правильное рассуждение. Рассуждение называется правильным , если из конъюнкции посылок следует заключение: А 1 &A 2 … &A n D = 1 - Тавтология причем само заключение не обязано всегда быть истинно. В правильном рассуждении заключение может ложным, когда одна из посылок Пример Содержание
Если Петр занимается спортом, то Петр никогда не болеет. Петр занимается спортом, следовательно Петр никогда не болеет. A B A B (A B)&A (A B)&A 7B И И И И И И Л И Л И Л И Л Л И Л Л И Л И Содержание
ДНФ – (Дизъюнктивная нормальная форма), алгоритм приведения формулы к ДНФ. Формула называется элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией переменных или их отрицанием. Элементарная конъюнкция может быть одночленной. Например: А &B&C, не A&B , А Формула находится в ДНФ если она является Дизъюнкцией элементарных конъюнкций. Например: А & В & С v С &D Алгоритм приведения формулы к ДНФ Содержание
Алгоритм приведения формулы к ДНФ 1) Снятие импликации и эквиваленции используя законы: A B = 7AvB A B = 7 ( A& 7 В) А ~B = A&Bv 7 А & 7 В 2) Протащить отрицание: 7 (А & В) = 7 А v 7 В 7 (А v В) = 7 А & 7 В 77 А = А Если необходимо, то использовать законы дистрибутивности: A&(BvC) = A&BvA&C упростить: A&A = A A&1 = A A&0 = 0 A&7A = 0 AvA=A Av1 = 1 Av0 = A Av7A = 1 Содержание
СДНФ - (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма). Одну и ту же формулу можно привести к различным ДНФ, поэтому необходимо рассмотреть особую форму, которая называется СДНФ. СДНФ – это ДНФ в каждом дизъюнктивном члене которого присутствуют все переменные имеющиеся в данной формуле. Утверждения: Для каждой формулы существуют единственная СДНФ. Формулы равносильны т. и т.т. когда их СДНФ совпадают. Алгоритм: Привести формулу к ДНФ Использовать закон расщепления (ввести недостающие переменные) A = A&BvA&7B Содержание
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Функция Способы задания функции Булевы векторы Булева функция Способы задания булевой функции Булевы функции двух переменных Операция двоичного сложения и ее свойства Многочлены Жегалкина Классы функций Полная система булевых функций (теорема Поста) Контрольные задания
ФУНКЦИЯ
Определение: Функция – это соответствие между двумя множествами элементов X и Y , при котором каждому элементу множества X ставится в соответствие только один элемент множества Y . X – это область определения функции. Она состоит из независимых аргументов. Y – это область значений функции и она состоит из значений функции.
Способы задания функций
Способы задания функции С помощью стрелочек Графический Аналитический Табличный Словесный
Задание функции с помощью стрелочек Это функция . Она взаимнооднозначна . Это функция . Она не взаимнооднозначна . Это не функция. Это не функция. X X X X Y Y Y Y 1 2 3 4
Функция называется взаимнооднозначной , если одному значению X соответствует только одно значение Y .
Функция называется не взаимнооднозначной , если двум или более значениям X соответствует одно значение Y .
Графический Это функция . Она взаимнооднозначна . Это функция . Она не взаимнооднозначна . Это не функция. 1) 2) 3) y x x x y y
Аналитический y=kx+b y=ax 2 +c x 2 +y 2 =r 2
Табличный x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 x 1 2 3 3 y 1 4 9 16 Функция Не функция
Словесный Фамилия студента и порядковый номер фамилии в журнале.
БУЛЕВ ВЕКТОР
Булев вектор. Вектор – упорядоченный набор чисел. Булев n -мерный вектор – упорядоченный набор n -чисел, состоящих из 0 и 1.
Примеры векторов. 1) Двумерный вектор: (3 ; 5), где 3 – это координата по оси x , а 5 - по оси y. 2) Трехмерный вектор: (5;6;7), где 5 – это координата по оси х, 6 – по оси у, а 7 – по оси z .
Примеры булевых векторов. Двумерные булевы вектора: Трехмерные булевы вектора:
БУЛЕВА ФУНКЦИЯ
Булева функция. Булева функция – это функция, где Х – область определения функции - множество булевых векторов, а Y – множество значений функции – значения «0» или «1».
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Способы задания булевой функции. Табличный Аналитический Графический x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 0 1 y 1 0 0 1 (1;0) (0;0) (0;1) (1;1) x 1 x 2
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
X1 X2 0 0 1 1 0 1 0 1 С Д Н Ф Ч Т Е Н И Е ОБОЗНАЧЕНИЕ Н А З В А Н И Е Y0 0 0 0 0 0 Все нули 0 Тождественный ноль Y1 0 0 0 1 Х1 и Х2 Конъюнкция Y2 0 0 1 0 Х1, но не Х2 Отрицание импликации Y3 0 0 1 1 Как Х1 Х1 X1 Y4 0 1 0 0 Х2, но не Х1 Отрицание обратной импликации Y5 0 1 0 1 Как Х2 Х2 Х2 Y6 0 1 1 0 Х1 не как Х2 Двоичное сложение Y7 0 1 1 1 Х1 или Х2 Дизъюнкция Y8 1 0 0 0 Не Х1 и не Х2 Стрелка Пирса Y9 1 0 0 1 Х1 как Х2 Эквиваленция Y10 1 0 1 0 Не Х2 Отрицание Х2 Y11 1 0 1 1 Если Х2, то Х1 Обратная импликация Y12 1 1 0 0 Не Х1 Отрицание Х1 Y13 1 1 0 1 Если Х1, то Х2 Импликация Y14 1 1 1 0 Не Х1 или не Х2 Штрих Шеффера Y15 1 1 1 1 1 Все единицы 1 Тождественная единица
ОПЕРАЦИЯ ДВОИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ
Операция двоичного сложения Таблица истинности Свойства 1) 2) 3) 4) 5) 6) x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 0 1 Х+ Y 0 1 1 0 X+Y истинно тогда и только тогда, когда только одно из них истинно. Операцию двоичного сложения также называют отрицанием эквиваленции . Операция двоичного сложения широко применяется в многочленах Жегалкина.
МНОГОЧЛЕНЫ ЖЕГАЛКИНА
Многочлены Жегалкина. В математике доказано, что любую булеву функцию можно представить в виде многочлена Жегалкина – двоичной суммы конъюнкций переменных и единиц . Преимущество их состоит в том, что преобразования осуществляются, как преобразования в классической алгебре , за исключением X*X=X т . е . в многочленах Жегалкина нет степеней и X+X=0 т . е . нет коэффициентов . Недостатком является громоздкость при большом количестве переменных .
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
Классы функций. Класс функций, сохраняющих 1 – это множество булевых функций, удовлетворяющих условию f(1;1;…;1)=1. Класс функций, сохраняющих 0 – это множество булевых функций, удовлетворяющих условию f(0;0;…;0)=0. Класс самодвойственных функций – это множество булевых функций, удовлетворяющих условию Класс линейных функций – это множество булевых функций, удовлетворяющих условию Класс монотонных функций – это множество булевых функций, для которых выполняется условие т.е каждому предшествующему вектору соответствует не большее значение функции. Вектор называется предшествующим другому вектору, если каждая его координата меньше либо равна каждой координате последующего вектора. где числа 0 и 1.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Полная система булевых функций : Определение: Некоторая система булевых функций {f1..fm} называется полной, если любая булева функция f может быть выражена некоторым образом через f1..fm . Например: Е 1 } - Система является полной т.к. с помощью этих функций записывается многочлен Жегалкина { v , & , щ } – Система является полной т.к. с помощью этих функций записывается СДНФ. { v щ – Система является полной т.к. X&Y = щ ( щ X v щ Y) { & , щ } – Система является полной т.к. XvY = щ ( щ X & щ Y) Теорема Поста (критерий полноты): Система булевых функций является полной тогда и только тогда, когда в ней существует функция, не сохраняющая 0, существует функция, не сохраняющая 1, существует функция, не линейная, существует функция, не монотонная и существует функция, не самодвойственная. Е v , 1 } { / } К 0 К 1 К л К м К с Е V 1 + - + - - + + - + - - + + + - - - - - - / - - - - -
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ * Прежде, чем переходить к данному разделу, настоятельно рекомендуется понять весь изложенный перед этим материал.
Написать СДНФ для следующих функций: Y8 Y3 Изобразить графическое и аналитическое представление функций: Y2 Y12 Упростить: Привести к многочлену Жегалкина: Упростить многочлен Жегалкина: Проверить принадлежность к классу монотонных функций: Y5 Y1 Проверить принадлежность к классу самодвойственных функций: Y13 Y 8 Проверить принадлежность к классу линейных функций: Y0 Y15 Проверить принадлежность к классам, сохраняющим 1 и 0: Y7 Y9 Является ли система полной? { ЕЪ } Контрольные задания
Решение. 1) 2) 1) Y2 2) Y12 1) 2) 4. 1) 2) (0;1) (1;1) x 1 x 2 (0;1) (1;1) x 1 x 2
Решение. 1) 2) 1) 2) 7. 1) 2) x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 0 1 y 5 0 1 0 1 x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 0 1 y 1 0 0 0 1
Решение. 1) 2) 1) 2) x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 0 1 y 7 0 1 1 1 x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 0 1 y 9 1 0 0 1 К0 К1 Кл Км Кс Е V + - + - - + + - + - Система ЕЪ не является полной, т.к. Е и Ъ принадлежат к классу функций, сохраняющих 0.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание. Предикат. ООП и ОИП. 4. Построение отрицаний предикатов, содержащих кванторные операции. 2. Логические, кванторные операции над предикатами. 5. Равносильность предикатов и предикатных формул. 3. Предикатная формула. Свободные и связанные переменные. 6. Законы логики предикатов.
1. Предикат. ООП и ОИП. Предикат - это высказывание или утверждение, содержащее одну или несколько переменных. Например: трехместный: Человек x живет в городе y на улице z - M(x,y,z) двухместный: x +4= y – Q(x,y) одноместный: Птица v летит на юг – W(v) Определение (*) : предикат - это функция, аргументом которой являются переменная или несколько переменных некоторого множества, а значение равно 1 (истине) или 0 (лжи).
ООП ( область определения предиката ) - это множество тех значений переменных, при которых предикат превращается в высказывание, имеющее смысл (т.е. можно определить истинно оно или ложно). ОИП(область истинности предиката) - это те значения переменных, при которых предикат превращается в истинное высказывание. (ОИП является подмножеством ООП).
Примеры ООП и ОИП Предикат ООП ОИП x +2= 5 целое число 3 Рабочий x получает фамилия Иванов - зарплату y N руб. 12500 руб. x + y = z Rx Rx R x, y, x+y
Над предикатами можно выполнять любые логические операции: конъюнкция дизъюнкция отрицание импликация эквиваленция При этом будут получатся новые предикаты.
2. Кванторные операции над предикатами. В дискретной математике существует две кванторые операции: квантор всеобщности ( ) квантор существования ( )
Квантор всеобщности Обозначается - x P(x) Читается – для всех , для любого, для каждого x выполняется условие P(x) Пример: P(x) – река x имеет исток x P(x) – любая река имеет исток x P(x)=P(x1)& P(x2)& P(x3) ... P(xn) {x1, x2, x3 ... xn}= ООП
Квантор существования Обозначается – x P(x) Читается – существует, некоторое, какое-то x для которого выполняется P(x) Пример: P(x) – дверь x закрыта x P(x) – существует дверь, которая закрыта x P(x)=P(x1) v P(x2) v P(x3) v... P(xn) {x1, x2, x3 ... xn}= ООП
3. Предикатная формула. Свободные и связанные переменные Предикатная формула -это выражение, образованное из предикатов, соединенных логическими кванторными операциями и скобками, например: P(x) x Q(x)& ( y R(y) M(n)) Порядок выполнения действий : 1. отрицание , кванторы , 2. конъюнкция & 3. дизъюнкция 4. импликация 5. эквиваленция ~
Переменная называется свободной, если она не следует непосредственно за квантором и не входит в область действия квантора по этой переменной, обозначенной скобками, все остальные переменные называются связанными. x (P(x,q)& Q(x))~ w M(x,w) связанные свободные Формула не содержащая свободных переменных называется замкнутой. Она является высказыванием истинностным, которое можно определить.
При связании переменной предиката квантором, предикат перестает зависеть от переменной и n- местность уменьшается на 1. Например: P(x, y, z) – x + y = z трехместный x P(x, y, z) – существует такое число, которое в сумме с числом y дает число z двухместный x y P(x, y, z) – существует такое число, которое при сложении с любым числом дает z одноместный
4. Построение отрицаний предикатов, содержащих кванторные операции. При переходе отрицания через квантор, квантор всеобщности меняется на существование, а квантор существования на всеобщности, и отрицание ставится перед предикатом. x y P(x, y)= x y P(x, y)
5. Равносильность предикатов и предикатных формул. Два предиката с одними и теми же переменными называются равносильными, если при всех значениях переменных, при которых истинен один из предикатов, истинен и другой, т. е. их ООП совпадают, например: 1) P (x) – число x , которое делится на 3; F (x)- x – нечетное число; следовательно P (x) = F (x) , т.е. равносильны. 2) С ( x, y ) – x < y ; D (y, x) – y > x ; следовательно C (x, y) = D (y, x), т. е. неравносильны.
Две незамкнутые предикатные формулы называются равносильными, если при любом замещении предикатных символов, входящих в них конкретными предикатами, они превращаются в равносильные предикаты, а две замкнутые формулы называются равносильными, если при таком замещении они превращаются в предложение, имеющее одинаковые истинностные значения, например: ( x P(x)& x Q(x))= x P(x) x Q(x) P(x) – студент x решает задачу Q(x ) – студент x пишет конспект
6. Законы логики предикатов. Законы протаскивания отрицания через кванторы : x P(x)= x P(x) x P(x)= x P(x) Вынесение квантора за скобки Ф-предикат, не имеющий переменной x Ф & x F(x)= x( Ф & F(x)) Ф & x F(x)= x( Ф & F(x)) Ф x F(x)= x( Ф F(x)) Ф x F(x)= x( Ф F(x)) x F(x)& x P(x)= x (F(x)& P(x))
3) Переименование связанных переменных: x F (x)= y F (y) ; x F (x)= y F (y) ; 4) Перестановка кванторов местами: Одноименные кванторы можно менять местами, а разноименные нет. x y P (x, y) = y x P (x, y).
ОБЕЗЬЯНКИ В каждом маленьком ребенке И мальчишке и девчонке Есть по двести грамм взрывчатки Или даже полкило! Должен он бежать и прыгать Все хватать, ногами дрыгать А иначе он взорвется, трах-бабах ! И нет его! Каждый новенький ребенок Вылезает из пеленок И теряется повсюду И находится везде! Он всегда куда-то мчится Он ужасно огорчиться, Если что-нибудь на свете Вдруг случится без него!
ОБЕЗЬЯНКИ В каждом маленьком ребенке И мальчишке и девчонке Есть по двести грамм взрывчатки Или даже полкило! Должен он бежать и прыгать Все хватать, ногами дрыгать А иначе он взорвется, трах-бабах ! И нет его! x – мальчишка y – девчонка P ( x, y ) - в мальчишке x и девчонке Y есть по двести грамм взрывчатки. Q (x, y) – должны бежать и прыгать, все хватать, ногами дрыгать; M (x, y) – x и y взорвутся. x y (P (x, y ) & Q (x , y)) M (x, y)
ОБЕЗЬЯНКИ Каждый новенький ребенок N (z) – ребенок z вылезает из пеленок; Вылезает из пеленок D (z, t) – ребенок z теряется во времени t ; И теряется повсюду R (z, v) – ребенок z находится в месте v . И находится везде! z t v (N (z) & D (z, t) & T (z, v)) Он всегда куда-то мчится Он ужасно огорчиться, Если что-нибудь на свете Вдруг случится без него!
Любимые коты 1 Всякий может догадаться: У нас в доме два кота, Из них каждый любит драться И обои рвать всегда. 2 Рушат всё без исключенья, Что увидят на пути, Но на мордах сожаленья За разбои не найти. 3 Каждому секрет открою, Что без этих двух котов Я от скуки просто вою- Это честно, без смешков. ( автор Кузнецов Роман)
Любимые коты 1 Всякий может догадаться: У нас в доме два кота , Из них каждый любит драться И обои рвать всегда. 1 F (x) – человек x , который догадается; x F(x) P (z) – коты z , которые дерутся; Q (z) – коты z , которые рвут обои. z (P (z) & Q (z))
Любимые коты 2 Рушат всё без исключенья, Что увидят на пути, Но на мордах сожаленья За разбои не найти. 2 M (x, y) – коты z рушат вещи y Q (x, z) – сожаленье x на мордах котов z y M (z, y)& Q (x, z)
Любимые коты 3 Каждому секрет открою, Что без этих двух котов Я от скуки просто вою- Это честно, без смешков. 3 F(x ) – я открою секрет человеку x x F(x)
Блэки В нашем доме существо- Блэки – звать её. И игрива, и смешна, Но всего смешней, глупа. Взяв разгон, летя вперёд, Все сметёт и упадёт. Вскочит, бешено глядя, Ни сдается никогда. Всех попутно покусает, А потом и убегает, Спрячется в свой закуток, Спать легла, и все – молчок!
КОНЕЦ Авторы: Алонов Антон Кузнецов Роман Группа 51
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
История основания. Теория множеств Кантора Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. « Mathematische Annalen »). Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах ( Mengenlehre ).
История основания. Аксиоматическая теория множеств В начале XX века Бертран Рассел, изучая канторовскую теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность этой теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.
Основные понятия Среди производных понятий наиболее важны следующие: пустое множество подмножество и надмножество c емейство множеств пространство (универсум) конституента
Пустое множество. Пустым множеством в математике называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначение пустого множества
Пустое множество.
Подмножество. Подмножество в теории множеств — это понятие части множества. A является подмножеством B, а B является надмножеством A.
Подмножество.
Основные понятия. Над множествами определены следующие операции: объединение (или сумма) разность дополнение пересечение (или произведение) симметрическая разность подмножество
Объединение множеств. Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств — это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение A и B
Разность множеств. Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, но не входят во второе множество.
Разность множеств.
Пересечение множеств. Пересечение множеств в теории множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Пересечение A и B
Симметрическая разность. Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности
Симметрическая разность. Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них.
Леонард Эйлер. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и, начиная с 1766 года, был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский ) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Использованная литература. К. Куратовский , А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова . — М.: Мир, 1970. — 416 с. Н. К. Верещагин, А. Шень . Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина . — М.: Мир, 1966. — 366 с. Чечулин В. Л. О множествах с самопринадлежностью // Вестник ПГУ, серия Математика. Механика. Информатика. — Пермь: 2005. — С. 133—138. (прореферировано в РЖ Математика ВИНИТИ РАН, № 7, 2006 г., реферат № 06.07-13А.48.) [1] Чечулин В. Л. О приложениях семантики самопринадлежности // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. — Пермь: 2009, № 3. — С. 10—17. (текст в открытом доступе на http://elibrary.ru )
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Учебно-методическая разработка по учебной дисциплине Элементы высшей математики
Учебно-методическая разработка по учебной дисциплине «Элементы высшей математики» предназначена для студентов КГБОУ СПО «Хабаровский машиностроительный техникум» специальности 230111 «Компьютерные сет...
Учебно-методическое пособие "Рекомендации для студентов медицинского колледжа по написанию учебной истории болезни ребёнка".
Методические рекомендации "Написание учебной истории болезни ребёнка" имеют своей целью обучение студентов медицинского колледжа ведению медицинской документации в условиях практического здравоохранен...
«Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов»
Самостоятельная работа является одной из форм организации обучения. Ее роль в современном образовании возрастает с введением ФГОС СПО нового поколения. В программах и профессиональных модулях организа...
Книги для учителя математики. Проблема нехватки качественных учебно-методических материалов для учителей математики.
Описывается проблема нехватки качественных учебно-методических материалов для учителей математики и ее содержание....
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов по учебной дисциплине: «Химия» основной профессиональной образовательной программы по специальности 19.02.02 «Технология хранения и переработки зерна»
Методические указания по выполнению СРС...
Учебно-методическое пособие (материалы по экологическому воспитанию дошкольников)
Мчебно-методическое пособие предназначено для воспитателей ДОО, студентов педагогических колледжей. В пособии представлены НОД по экологическому воспитанию дошкольников, проекты, экологические з...
Учебно-методическое пособие для самоподготовки студентов по гигиене и экологии человека к практическому занятию по теме: «ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОЦЕНКА ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ В ПОМЕЩЕНИИ»
Сегодня остро стоит проблема ухудшения здоровья людей в связи с особенностями влияния условий окружающей среды.Учебно-методическое пособие поможет студентам лучше понять и изучить влияние факторов воз...