Методическая разработка практического занятия для студента "Основные понятия дискретной математики. Элементы теории вероятности"
учебно-методический материал по теме

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 5

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Основные понятия дискретной математики.

Элементы теории вероятности.

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская

Минусинск, 2013

 Тема: Основные понятия дискретной математики.

Элементы теории вероятности.

Уважаемые студенты!

В медицине приходится иметь дело с большими и сложно организованными объектами, поэтому трудность исследования состоит в выборе специфических предпосылок и исходных положений для последующей математической  обработки, а также в  толковании результатов, получаемых  с помощью математических методов. Одними из таких   методов являются методы теории вероятности

Теория вероятностей, как научная дисциплина занимается изучением закономерностей в случайных явлениях. Она изучает модели экспериментов, результат которых нельзя предсказать определенно. Предметом изучения теории вероятностей может быть, например, распространение эпидемий в регионах, погода на завтрашний день, доля отбракованных лекарств при их массовом производстве, прогнозирование результатов лечения, курса акций при устойчивом финансовом положении рынка и т.п.

Методы теории вероятности  получили широкое распространение в практике медико-экспериментальных и клинических исследований, например при обработке лабораторных и клинических данных (в т.ч. при анализе ЭКГ, получении распределений  микрообъектов по оптико-геометрическим параметрам в гистологических препаратах и т.д.), в ходе  эпидемиологических исследований, в санитарной статистике,  аптечной сети и т.д.

При изучении данной темы вам будут предложены задания из следующих разделов математики: «Элементы математической логики», «Элементы комбинаторики», «Элементы теории вероятностей».

Цели занятия

Студент должен уметь:

• производить операцию дизъюнкции, конъюнкции, отрицания;
• применять формулы вычисления числа размещений, перестановок, сочетаний;
• применять правила сложения и произведения;
• вычислять вероятность случайного события.

Студент должен знать:

• элементы математической логики;
• основные понятия комбинаторики;
• правила сложения и произведения;
• формулы вычисления числа размещений, перестановок, сочетаний;
• понятия случайного явления и события;
• виды случайных событий;
• классическое определение вероятности случайного события.

Оснащение: дидактический материал.

Материал для повторения: лекция 9,10,11,12,13

Этапы самостоятельной работы:

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

1. Элементы математической логики.

ИНФОРМАЦИЯ:

Математика – дедуктивная наука. Это говорит о том, что истинность математических утверждений дедуцируется (выводится). Вывод осуществляется с помощью логических рассуждений.

Математическая логика – это раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики.

Высказывание  - основное неопределяемое понятие математической логики.

В математической  логике устанавливается следующий приоритет логических операций: договорились считать, что сильнее всех связывает знак отрицания, за ним следуют знаки конъюнкции и дизъюнкции.

Основные равносильности:

Выполнить задания:

Цель: Научиться распознавать высказывания,  производить основные операции над высказываниями, применять основные равносильности.

1.  Можно ли определить значение истинности высказывания , зная, что A – «и»?

Решение: Высказывание  представляет собой конъюнкцию высказываний . Так как А истинно, то по определению дизъюнкции высказывание  так же будет истинно. Однако этого недостаточно для нахождения значения истинности конъюнкции , ибо все будет зависеть от значения истинности второго высказывания, образующего эту конъюнкцию. Действительно, если истинно, а С ложно, то и вся конъюнкция будет ложной. Если же истинно, и С – истинно, то конъюнкция  истинна.

2. Среди следующих предложений выделите высказывания и установите значения их истинности:

1. Любой лекарственный препарат выпускается в виде таблеток.
2. Какая прекрасная картина!
3. Анальгин – успокаивающий препарат.
4. Все граждане России имеют право на образование.
5. 
6. Существуют ядовитые  грибы.
7. Вы любите театр?
8. Каждый лекарственный препарат имеет свой срок годности.
9. Х  - трехзначное число.
10. Сегодня среда.

3. Определите, какие из следующих высказываний являются составными; выделите в них элементарные высказывания и логические связки:

1. В одном метре 100 см или 10 дм.
2. 27 кратно 3 и меньше 31.
3.  Отвар коры дуба назначается для внутреннего или наружного применения.
4. Неверно, что нитроглицерин – это сердечный препарат.
5. 1- наименьшее натуральное число.
6. 5 мл – это наибольший объем шприца.
7. Москва – столица России или Украины.

4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний и укажите, что истинно – само высказывание или его отрицание:

1. Сумма цифр числа 312 равна 6.
2. Число 27 кратно 8.
3. Число 2 является корнем уравнения
4. 9 – однозначное число.

5. Даны высказывания:

А: «Сегодня понедельник» и В: «Сегодня вторник». Могут ли эти высказывания быть одновременно истинными? А одновременно ложными? Являются ли они отрицаниями друг друга?

6. Выясните, какие из высказываний каждой пары являются отрицаниями друг друга:

1. В книге более  100 страниц.

В книге не более 100 страниц.

2. Эта гвоздика красная.

Эта гвоздика розовая.

3. Эта роза красная.

Эта роза не красная.

4. Данное слово – существительное.

Данное слово  - прилагательное.

7. Даны высказывания: А: «В черном море вода соленая», В: «Анальгин – успокаивающее лекарственное средство». Сформулируйте отрицания этих высказываний. Сравните значения истинности высказываний , . Какой вывод можно сделать.
8. Выявите логическую структуру следующих высказываний и найдите их значения истинности:

1. 8 кратно 4 и 2.
2. Весна и осень – времена года.
3. 2 < 7  и 7 < 5.
4. Разность чисел 5 и –3 равна 8, а их сумма равна 2.
5. На первом курсе медучилища изучаются математика или информатика.

9. Дано высказывание А: «0 – целое число». Приведите пример высказывания В такого, чтобы конъюнкция высказываний А и В была: а) истинной; б) ложной.
10. Можно ли определить значение истинности высказывания , зная только, что: а) А истинно; б) В истинно; в) А ложно; г) В ложно?
11. Можно ли определить значение истинности высказывания А, если известно, что:

1.  - «и»;
2.  - «л»;
3.  - «л», В – «и»;
4.  - «л», В – «л».

12. Дано высказывание В: «7 – четное число». Приведите пример высказывания А такого, чтобы дизъюнкция высказываний А и В была а) истинной; б) ложной.
13. Можно ли определить значение истинности высказывания, зная только, что: а) А истинно; б) В истинно; в) А ложно; г) В ложно?
14. Можно ли определить значение истинности высказывания В, если известно, что:

1. - «и»;
2. - «л»;
3. - «и», А – «и»;
4. - «и», А – «л».

15. Упростите следующие высказывания:

1. , если А истинно;
2. , если А ложно;
3. , если А истинно.
4. , если А ложно.

16. Составьте таблицы истинности для  и . Какой вывод можно сделать?
17. Известно, что А – и, В – л, Х – л, Y – л. Найдите значения высказываний:

1. А или ;
2.  и В;
3. Y или В;
4.  и ;
5. ;
6.  или Y;
7. А или В или Х;
8. Y  и Х или А;
9.  и А и .

18. Укажите порядок выполнения операций над высказываниями и а), е), f) – преобразуйте, используя основные равносильности (см. информация ) :

19. Упростите:

20. Составьте таблицы истинности  для высказываний и . Можно ли утверждать, что эти высказывания являются отрицаниями друг друга? Почему?
21. Сформулируйте данные высказывания, заменив союз «или» одним из следующих слов: «по крайней мере», «хотя бы один», «не менее», «не более»:

1. В прямоугольнике ABCD длина стороны AB равна 5 см или длина стороны BC равна 5 см.
2. Число 7 – целое или число 2.3 целое.
3. В этой книге 70 или более страниц.
4. Число студентов в этой группе меньше или равно 30.

2. Элементы комбинаторики.

ИНФОРМАЦИЯ:

    - перестановки.

      - размещения.

                                                                        Основные комбинации

                                                                        связаны равенством:

              - сочетания.

Выполнить задания:

Цель: Научиться находить  число размещений, перестановок, сочетаний.

22. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
23. Сколько можно составить размещений из десяти цифр по три?
24. Сколькими способами можно выбрать  три шара из урны содержащей 10  шаров различного цвета?

3. Элементы теории вероятностей.

ИНФОРМАЦИЯ:

         - вероятность события А

      где

1. Если  , то  образуют полную группу событий.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:  , где  - противоположные события.

3.  - теорема сложения вероятностей для несовместных событий

4.  =   -  теорема умножения вероятностей для независимых событий.

5.  - теорема сложения вероятностей для совместных событий.

6.  - теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

7.   - формула полной вероятности.

       где

Выполнить задания:

Цель: Научиться применять основные теоремы и формулы при нахождении вероятности событий.

25. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через А событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько  может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т.е. . Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

.

26. В лотереи из 5000 билетов имеются 250 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный.
27. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
28. В коробке имеется 50 одинаковых флаконов с лекарственным препаратом, из которых 5 с истекшим сроком годности. Наудачу вынимают один флакон. Найти вероятность того, что извлеченный флакон окажется просроченным.
29. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.
30. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
31. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4.
32. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв:  а, в, м, р, ч, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных  «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «врач».
33. На карточках написаны буквы слова «медицина». Карточки  перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится это слово.
34. События A, B, C, D образуют полную группу. Вероятности событий таковы: P(A) = 0.1; P(B) = 0.4;  P(C) = 0.3. Чему равна вероятность события D.
35. Районная больница получает пакеты с результатами обследования населения данного районного центра из населенных пунктов А, В и С. Вероятность получения пакета из населенного пункта  А равна 0.7, из  В – 0.2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из населенного пункта С.
36. Вероятность того, что стрелок попадет в цель, равна  0.7. Найти вероятность того, что он промахнется.
37. Вероятность того, что день будет дождливым равна 0.6. найти вероятность того, что день будет ясным.
38. В урне 10 красных, 5 синих и 15 белых шаров. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

.

Вероятность появления синего шара (событие В)

События А и В  несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

39. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0.45, во вторую 0.35. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
40.  В денежно – вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
41. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; вероятность выбить 9 очков равна 0.3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0.6. Найти  вероятность того, что при выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.
42. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0.8, а вторым (событие В) – 0.7.

Решение: События А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность:

43. Найти вероятность совместного появления  «герба» при одном бросании двух монет.
44. В одной коробке 6 стандартов аспирина и 3 стандарта парацетомола, в другой 2 стандарта аспирина и 4 стандарта парацетомола. Из каждой коробки вынули по стандарту. Найти вероятность того, что в обеих случаях - это парацетомол.
45. Имеется 3 коробки, содержащих по 10 ампул лекарственного препарата. В первой коробке 8, во второй 7 и в третьей 9 ампул раствора кальция хлорида. Из каждой коробки медсестра наудачу вынимает по одной ампуле. Найти вероятность того, что все три вынутые ампулы окажутся  раствором кальция хлорида.
46. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны p1 = 0.7; p2 = 0.8. Найти  вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит  от результата стрельбы из другого орудия, поэтому событие А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

        Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

        Искомая вероятность

47. Найти вероятность того, что наудачу взятое число из промежутка 1…20 окажется кратным либо 2, либо 3, либо и тому и другому одновременно.
48. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров из них 3 белых. Искомая условная вероятность

49. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А)

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, т.е. условная вероятность

По теореме умножения, искомая вероятность

50. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором черный (событие В) и при третьем синий (событие С).
51. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятности того, что будет выбрана нечетная цифра: а)  в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.
52. Имеется два набора лекарственных препаратов. Вероятность того, что срок годности лекарственного препарата из  первого набора, равна 0.8, а второго – 0.9. Найти вероятность того, что наудачу взятый препарат из наудачу взятого набора  годен к применению.

Решение. Обозначим через А событие «извлеченный препарат годен к применению».

Препарат  может быть извлечен либо из первого набора (событие Н1), либо из второго набора (событие Н2).

Вероятность того, что препарат вынут из первого набора, .

Вероятность того, что препарат вынут из второго набора,

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечен препарат с не истекшим сроком годности, .

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечен препарат с не истекшим сроком годности, .

Искомая вероятность того, что извлеченный наудачу препарат годен к применению, по формуле полной вероятности равна

53. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0.9, для велосипедиста – 0.8 и для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
54. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0.8, а завода №2 – 0.9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
55. В первой коробке содержится 20 стандартов лекарственных препаратов, из них 15 – это обезболивающие препараты; во второй – 30 стандартов, из них 24 обезболивающие препараты; в третьей – 10 стандартов, из них 6 обезболивающие препараты. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный стандарт из наудачу взятой коробки – обезболивающий препарат.

4. Приложение теории вероятности в генетике.

В период гонений в нашей стране в 30-40 годы 20 века на генетику, многие законы которой обосновывались с помощью теории вероятностей в литературе появились высказывания типа: «наука  - враг случайности» и «природа не играет в кости». Российский ученый А.Я. Хинчин по поводу первого тезиса сказал: «Да,  это верно «наука – враг случайности», но врага надо изучать, а это делает теория вероятностей.

Примером современного приложения теории вероятности является закон Менделя в генетике. Пусть какой-либо признак живого организма (н-р белый или розовый цветок гороха) определяется парой генов: доминантным геном А и рецессивным геном а. Особь, имеющая пару генов аа, имеет белые цветы, а особи с набором генов АА, Аа, аА – розовые. Если один из родителей имеет пару генов аа, а другой АА, то все их потомки I поколения  будут иметь набор генов аА, получив по одному из генов от каждого из родителей. Во II поколении каждая особь случайно получает по одному гену а или А от каждого из родителей. Всего возможны 4 комбинации: аа, аА, Аа, АА; рецессивный признак проявляется только в особях с набором генов аа. Остальные особи будут обладать доминантным признаком. Вероятность набора аа равна ¼ , остальные наборы появляются с вероятностью ¾ . Если число особей во II поколении велико , то отсюда следует , что отношение частот  особей с  рецессивным и доминантным признаками равно приблизительно1:3. Это и есть закон Менделя, который проверен во многих экспериментах. В этом случае случайность проявляется также, как и в азартных играх. Поэтому можно сказать, что и природа иногда «играет в кости».

Моногибридное скрещивание.

Решить задачи:

Цель: Научиться применять методы теории вероятностей при решении задач по генетике.

56. При скрещивании томатов шаровидной и грушевидной формы (родители гомозиготные по данным признакам) шаровидная форма плода доминирует над грушевидной. Определить вероятность появления томатов грушевидной формы во II поколении.

Решение.

Р:                          

      F1:

F2:

Т.к. шаровидная форма  плода доминирует над грушевидной, то только особь имеющая пару генов аа будет грушевидной формы. Т.о. вероятность появления  томатов грушевидной формы во втором поколении равна ¼.

57. При скрещивании томатов шаровидной и грушевидной формы (родители гетерозиготные по данным признакам) шаровидная форма плода доминирует над грушевидной. Найти вероятность появления томатов шаровидной формы по II поколении, если в I поколении  скрещивались томаты шаровидной формы, гетерозиготные по данным признакам.
58. В семье здоровых супругов родился ребенок  - альбинос. Какова была вероятность того, что такой ребенок  появится в этой семье, если известно, что бабушка по отцовской линии и дедушка по материнской линиям у этого ребенка так же были альбиносами. Возникновение альбинизма контролирует рецессивный ген, а развитие нормальной пигментации – доминантный ген.
59. У супругов, страдающих дальнозоркостью, родился ребенок с нормальным зрением. Какова вероятность появления в этой семье ребенка с дальнозоркостью, если известно, что ген дальнозоркости доминирует над геном нормального зрения.
60. Светловолосая женщина, родители которой имели черные волосы, вступает в брак с черноволосым мужчиной, у матери которого светлые волосы, а у отца черные. Единственный ребенок в этой семье – светловолосый. Какова вероятность появления в этой семье ребенка именно с таким цветом волос, если известно, что ген черноволосости доминирует над геном светловолосости.

Домашнее задание.

1. Определить значение истинности высказывания, если известно, что А – «л».

2. На карточках написаны буквы слова «молоко». Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится это слово.
3. В урне содержится 10 шаров с номерами от 1 до 10. Найти вероятность того, что последовательно вынимая шары из урны их нумерация образует последовательность от 1 до 10.
4. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень равна 0.9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.
5. В аптечке содержится 12 флаконов настойки пустырника, 10 флаконов настойки календулы и 8 флаконов раствора перекиси водорода. Найти вероятность того, в наудачу извлеченном флаконе будет настойка пустырника или настойка календулы.
6. В аптечке находится 4 шприца по 10 мл и 6 шприцов по 5 мл. Вынимается сначала один шприц, а затем второй. Найти вероятность того, что первый шприц будет объемом 10 мл, а второй 5 мл.
7. Две медсестры берут у пациентов кровь из вены. Вероятность попадания в вену у  первой сестры равна 0.7, у второй -  0.6. Найти вероятность того, что при одновременном взятии анализа крови обе медсестры сразу попадут в вену.
8. В  медицинском училище  на первом курсе обучается 4 группы студентов. В 1 группе – 27 человек, во 2 – 28 человек, в 3 – 27 человек, в 4 – 25 человек. Вероятность сдать зачет по анатомии с первого захода для 1 группы 0.8, для 2 группы 0.7, для 3 группы 0.75, для 4 группы – 0.6.Найти вероятность того, что студент, выбранный наудачу, сдаст зачет с первого захода.

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

Тема: Основные понятия дискретной математики. Элементы теории вероятностей.

1 вариант

1. Определить значение истинности высказывания, если известно, что А - «и»: .

а) и                б) л                

2. В аптечке содержится 5 ампул  раствора эфедрина и 3 ампулы раствора мезатона. Найти вероятность того, что наудачу  извлеченная медсестрой ампула  - ампула  мезатона.

а)                 б)                в)

3. В аптечке имеется 5стандартов парацетомола , 3 стандарта ацетилсалициловой кислоты, 2 стандарта анальгина. Найти вероятность того, что  извлеченный из аптечки препарат будет  аспирином или анальгином.

а)                 б)                 в)

4. Два студента  медучилища, проходя практику в больнице, берут у пациентов кровь из вены. Вероятность попадания в вену у  первого студента равна 0.5, второго -  0.7. Найти вероятность того, что при одновременном взятии анализа крови оба студента сразу попадут в вену.

а)  0.35                      б)  0.5                     в) 0.12

5. Вероятность сдачи зачета по сестринскому делу с первого раза  у первого студента  равна 0.5, у второго 0.6. Найти вероятность того, что  хотя бы один из студентов сдаст зачет с первого раза.

а) 0.6                б)0.8                в) 0.3

6. В аптечке имеется 8 стандартов анальгина и 4 стандарта  цитрамона.  Один за другим медсестра вынимает два стандарта. Найти вероятность появления стандарта анальгина при втором испытании, если при первом испытании был извлечен стандарт цитрамона.

а)              б)                 в)

7. В коробке 30 флаконов лекарственного препарата, из которых 26 с не истекшим сроком годности.  Найти вероятность того, что наудачу извлеченный  флакон будет содержать  просроченный препарат.

а)                  б)          в) .

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

Тема: Основные понятия дискретной математики. Элементы теории вероятностей.

2 вариант

1. Определить значение истинности высказывания, если известно, что А - «л»: .

а)  и                      б)  л                    

2. В аптечке имеется 7 стандартов фурациллина и  3 стандарта активированного угля. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный стандарт  лекарственного препарата – фурациллин.

а)                  б)          в) .

3. В коробке имеется 10 шприцев на 5 мл, 6 шприцев на 2 мл и 12 шприцев на 10 мл. Найти вероятность того, что извлеченный из коробки шприц будет объемом 2 мл или 5 мл.

а)                  б)          в) .

4.  Два студента  медучилища сдают экзамены. Первый по  анатомии,  второй по фармакологии. Вероятность первого студента сдать экзамен по анатомии  равна 0.8, вероятность второго студента сдать экзамен по фармакологии равна 0.6. Найти вероятность того, что при одновременной сдаче экзаменов  оба студента его сдадут.

а) 0.8               б) 0.14       в)0.48.

5. Вероятность поступления  в училище у первого  абитуриента 0.4, у второго – 0.7. Найти вероятность того, что хотя бы один абитуриент станет студентом.

а) 0.7               б) 0.82       в) 1.1.

6. В аптечке имеется 10 флаконов настойки валерьяны и 15 флаконов настойки пустырника. Один за другим медсестра вынимает 2 флакона. Найти вероятность того, что оба флакона с настойкой валерьяны.

а)                  б)          в) .

7. В аптечке 50 стандартов анальгина, из которых 5 с истекшим сроком годности. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный стандарт не будет просроченным.

а)                  б)          в) .

Задания для самостоятельного решения:

1. В урне 10 шаров: 6 белых и 6 черных. Вынули 2 шара. Какова вероятность, что оба шара  белые.
2. В лотерее 2000 билетов. На один биле падает выигрыш 100 руб., на 4 билета по 50 руб., на 10 – по 20 руб., на 165 – по 5 руб., и на 400 – по 1 руб., остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету на менее 10 рублей.
3. Монета подброшена 2 раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет герб.
4. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором с номерами  от 6  до 10. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11.
5. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 выигрышные. Куплено 2 билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
6. В первой урне 1 белый, 2 красных, и 3 синих шара. Во  второй 3 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность,  что среди вынутых шаров нет синих?
7. В группе  12 юношей и 18 девушек. Нужно выбрать делегацию из 2х человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны 1) два юноши; 2) две девушки; 3) девушка и юноша.
8. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все шары белые?
9.  Производят 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.5. найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
10. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров. Во второй 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем  из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый.
11. В первой коробке содержится 5 ампул новокаина и 7 ампул ледокаина, во второй 14 ампул новокаина и 10  ледокаина, в третьей 7 новокаина и 5 ледокаина. Медсестра наудачу извлекает ампулу из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что это ампула ледокаина.
12.  В первой коробке содержится  3 шприца на 10 мл, а 2 на 5 мл. Во второй  коробке 3 шприца на 10 мл, а 7 на 5 мл. В третьей  коробке содержится 2 шприца на 10 мл, а 3 на 5 мл. Медсестра наудачу извлекает шприц из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечен шприц на 10 мл.

Контрольные вопросы:

1. Что является основным понятием математической логики?
2. Какие предложения не являются высказываниями?
3. Какие значения могут принимать  высказывания?
4. Что такое логические операции?  Перечислите их.
5. Что называют  отрицанием высказывания?
6. Что называют конъюнкцией двух высказываний?
7. Что называют дизъюнкцией двух высказываний?
8. Что изучает комбинаторика?
9. Что называют перестановками, какой формулой выражается число всех возможных перестановок?
10. Что называют размещениями, какой формулой выражается число всех возможных размещений?
11. Что называют сочетаниями, какой формулой выражается число всех возможных сочетаний?
12. Что изучает теория вероятностей?
13. Что называют случайным событием?
14. Какое событие называют достоверным, а какое невозможным?
15. Какие события называют  совместными, а какие несовместными?
16. Какие события называют зависимыми, а какие независимыми?
17. Какие события называют противоположными?
18. При каком условии события образуют полную группу.
19. Сформулировать теорему сложения вероятностей для несовместных  и для совместных событий.
20. Сформулировать теорему умножения вероятностей для зависимых и для независимых событий.
21. Что показывает формула полной вероятности.

ОТВЕТЫ:

II. Элементы комбинаторики.

22) 24, 23) 720, 24)  120.

III. Элементы теории вероятностей.

25)  26) 0.05, 27) 0.1, 28) 0.1, 29) 0.5, 30) 0.81, 31) 32) 33) 34) 0.2, 35) 0.1,       36) 0.3,  37) 0.4, 38)  39) 0.8, 40) 0.02, 41) 0.4, 42) 0.56, 43) 44) 45) 0.5, 46) 0.94, 47)  48)  49)  50) 51) 52) 0.85, 53) 0.86, 54) 0.84, 55) 0.72.

IV. Приложение теории вероятности в генетике:

56)  57)  58) 59)  60)