Методические рекомендации по проведению практического занятия по теме: "Вычисление неопределенных интегралов методом введения"
учебно-методическое пособие по теме

Вычисление неопределенных интегралов методом введения новой переменной

Цель работы: овладение методом подстановки для вычисления неопределенного интеграла.

        Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно определять подстановки для  вычисления неопределенны интегралов и применять их при решении задач, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

         Формирование компетенций:

Рекомендации по выполнению.

1. Записать схему вычисления методом подстановки  неопределенного интеграла.

2.Разобрать решение примеров.

3.Выполнить задания тренажера, используя указания.

4.Оформить решение задач тренажера в тетради.

1.Метод подстановки для неопределенного интеграла.

1.Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.

2.Определяют какую часть подынтегральной функции заменяют новой переменной и записывают эту замену.

3.Находят дифференциалы обеих частей замены и выражают дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной.

4.Производят замену под интегралом.

5.Находят полученный интеграл.

6. Делают обратную замену

2.Разобрать решение примеров:

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Используем  табличную формулу .

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной переменной.
В данном случае : .

Далее  нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

После того, как мы подобрали замену, в данном примере,  , нам нужно найти дифференциал . Так как , то

После преобразований:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

Таким образом:

по формуле:

В заключении осталось провести обратную замену.Т.к. .

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену:  

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Иногда  при использовании метода замены переменной в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная :  (функции ,  могут быть и не в произведении)

По формуле  из таблицы производных.

Замена:

Следует отметить, что для дробей вроде,  такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены).

Пример 4.Найти неопределенный интеграл.

Используем  формулу . В  подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
За  обозначают саму функцию (а не её производную).

В данном случае: .
Или :
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом:

3.Выполнить задания тренажера.

Тренажер

Вычисление неопределенных интегралов методом введения новой переменной

Вычислить интегралы методом подстановки

Проверить правильность решения примеров с помощью приложения 2.

4.Оформить решение примеров в тетради.

5. По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений

     Литература:

1. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Под редакцией В.А. Гусева Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011
2. Пехлецкий И.Д. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011.
3. Дополнительная литература:
4. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. - М., ВШ,1990.      
5. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика.-М., Дрофа,2006.

Интернет ресурсы:

1. www/mathematics.ru
2. http://www.tutoronline.ru/
3. http://www.exponenta.ru