Виды однородных уравнений. Системы однородных уравнений.
методическая разработка по теме

Тема:

Однородные уравнения. Системы однородных уравнений.

Содержание:

Введение……………………………………………………………………………………………………….  2

Однородные алгебраические уравнения…………………………………………………...  3

Однородные показательные уравнения……………………………………………………..  8

Однородные логарифмические уравнения……………………………………………….  11

Однородные тригонометрические уравнения………………………………………….  12

Системы однородных  уравнений……………………………………………………………..  13

Решение систем  однородных уравнений графическим методом…………..  22

Заключение…………………………………………………………………………………………………  24

Список используемой литературы…………………………………………………………….  25

Введение

В своей  работе  я рассмотрела различные методы решения однородных уравнений и систем однородных уравнений, которые чаще всего встречаются при изучении. Представленные методы могут служить опорой  для решения  разнообразного типа других задач. Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй, четвертой степеней, является не очень простой темой. Но в то же время в некоторых частных случаях  такие системы могут быть решены с помощью простых и изящных приёмов. Иногда, посмотрев на уравнение, кажется, что это простое уравнение, но сделав определённые преобразования, мы видим, что это однородное уравнение. Однородные уравнения применяются также и для решения задач по физике. В работе разработана классификация однородных уравнений и систем.

Уравнение называется однородным, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемом складываются).

1. Однородные алгебраические уравнения

А)           /:

Однородные уравнения 4-й степени. Можно убедиться – делить можно на любой из 3-х слагаемых.

Замена:   =t>0                                

Ответ:

Можно иначе:

Аналогично: (/: (

Ответ: =2,5

Б)  

Введем  новые неизвестные  .  Получим уравнение  однородное второй степени относительно . Делим обе его части на  (легко увидеть, что в случае  решений  нет) и полагаем.Получаем уравнение  c корнями t1= –,  t2= .

В первом случае ;

;

;

, это уравнение действительных корней не имеет.

Во втором случае

x1=3;     x2 =

Ответ: x1=3;     x2 =

В)  -

Положим  Тогда уравнение принимает вид:  В случае  решений нет.

Разделим обе части уравнения на и введем новое неизвестное  , получи уравнение  c корнями t1=,  t2= –2.

В первом случае  ,

x1= 2;   x2= 4

Во втором случае ,

x3= –1;   x4= –.

Ответ: x1= 2;   x2= 4;  x3= –1;   x4= –.

Г)

Введем еще одно неизвестное  Получим однородное уравнение  Его можно решать  как обычно, а можно представить в виде  следует

x1= –3,   x2=5.

Значение  x= –3  не удовлетворяет уравнению, а x=5- удовлетворяет.

Ответ: x=5

Д)  

Если  положить то получится уравнение, которое можно было бы назвать «однородным степени », если бы было дано соответствующее  определение. Чтобы не иметь дела с дробными показателями, положим:

а) если

б) если

В первом случае приходим к уравнению   откуда делением на   находим, что (второй корень уравнения  следует отбросить), , так что на промежутке  исходное уравнение не имеет корней.

Во втором случае (при ) получаем уравнение  откуда  Так как  то это - корень исходного уравнения.

Ответ:  .

Однородные уравнения получаются при решении задач.

Задача. Из пункта А в пункт Б выехала машина. Одновременно навстречу ей из пункта Б   выехал велосипедист. Через 3 минуты после встречи машина мгновенно поворачивает, едет за велосипедистом, и, догнав его, снова мгновенно поворачивает и прибывает в пункт Б. Если бы машина мгновенно повернула через 1 минуту после встречи, а велосипедист после встречи увеличил бы скорость в 15/7 раза, та машина затратила бы на всю дорогу то же самое время. Найти отношение скоростей велосипедиста и машины.

Пусть x (км/мин) – скорость машины, а y (км/мин) – скорость велосипедиста. Заметим, что на движение машины от пункта А до первой встречи с велосипедистом в первом и втором случае уходит одно и то же время и, что на движение от места первой встречи с велосипедистом до пункта Б в обоих случаях также уходит одинаковое время. Поэтому одно и то же время занимает движение машины от момента первой встречи с велосипедистом до второго прохождения места их первой встречи. Подсчитаем это время в каждом случае.

После встречи с велосипедистом машина ехала 3 минуты в направлении пункта Б. На обратную дорогу до места встречи ей потребуется еще 3 минуты. Велосипедист за это время удалится от места встречи на 6y км. Машина будет его догонять со скоростью
(x-y) км/мин, на это у нее уйдет  На обратную дорогу до места встречи у нее уйдет также , а всего
мин.

Проводя аналогичные рассуждения, получим:

мин.

Приравнивая найденные выражения, получаем уравнение

 ,

откуда

Это – однородное уравнение второй степени относительно
 и Полагая (отношение скорости машины и велосипедиста) и, решая уравнение

находим  (отрицательный корень не удовлетворяет  условию задачи).

В этой задаче у нас было одно уравнение с двумя независимыми переменными. Такой случай встречается довольно редко, обычно в задачах переменные связаны некоторыми дополнительными соотношениями.

Ответ:

2.Однородные показательные уравнения.

А)     

Пусть  тогда

Это однородное  уравнение второй  степени  относительно   и  .  Разделим  обе части на . Получим:

   =0          Замена:  

Вернемся к замене:      

- не удовлетворяет

Ответ:

Б)                              ОДЗ:

По определению        

,  но не принадлежит

Ответ: решений нет

В)УНИКАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ:

Нелегко увидеть, что это уравнение однородное:

                                         ОДЗ:

                       /

Замена:      

 – однородное уравнение 2-ой степени

2-й способ решения:

Ответ:

Г)

           /:

Замена   тогда

   Этот корень не удовлетворяет условию  

Вернемся к  замене:

Ответ:

3. Однородные логарифмические уравнения.

А)          ОДЗ:

Это однородное уравнение 2-й степени относительно  и

Разделим на

Ответ: корней нет

Аналогично:

Однородное уравнение 2-й степени.

ОДЗ:

Разделим  на   любой  из  членов.

4. Однородные  тригонометрические уравнения.

Уравнения

                     ,

где a, b, c, d – действительные числа, называются однородными относительно

А) однородное уравнение первой степени.

Если  то  что невозможно, т.к. теряет смысл

тождество Синус и косинус одного и того же аргумента не могут быть

равны  0 одновременно. Следовательно, при делении на получаем уравнение,

равносильное данному:

 /:

n

 Ответ: n

Можно ли делить на Если делить на  то выдвигать условие

Будут ли значения , при которых  корнями данного уравнения? НЕТ! Если

 то , что невозможно, т.к. теряет смысл основное

 тригонометрическое тождество .

Б) - однородное уравнение 2-й степени.

По основному тригонометрическому тождеству .

Если 0, то .        

Если , то .

                      Делим  полученное уравнение на

Ответ: ,

В) Если все члены содержат cos x, то на cos x делить нельзя. Если все члены содержат sin x,

то на sin x делить нельзя.

Ответ:

Г)

Ответ:

5. Системы однородных уравнений

А)

Пусть  

t1,2

Зная t, легко сразу найти

Используя это, найдем y, а затем x.

а)

б)

 При y=0 решений нет.

Ответ: {(3

2-й способ решения:

+ 

x1,2=                               

1)                      2)

Ответ: {(

Б)                                  

Пусть

     а)t=5.

б) t=1,5

При y=0 решения нет.

Ответ: {             

В)  В этой системе можно потерять решение.

а)t

Казалось бы все в порядке, но ведь подстановка имеет смысл, только

если  

б)проверим случай равенства к нулю (не используя подстановку).

Если  то есть

Значит, есть решения (1;0); (–1;0).

Ответ: {(–1;1); (1; –1); (1;0); (–1;0)}.

Г)

Пусть

Тогда

а)                  

     (4;9)

                              (–4; –9) -  не удовлетворяет условию

б)        

При

Ответ: (4;9).

Д)    

(К левой части 2-ого уравнения

Замена:

Тогда:

Разделим почленно II на I

+

  ⇒  +        2xy=12        

Ответ: (2;3) (–2; –3); (3;2) (–3; –2)

Е) Аналогично:

Замена:  

Тогда:

Вернемся к замене:

            +

к.п.                                                                    к.п.

Ответ: (3;1); (1;3); (-3; –1); (–1; –3).

Ж)                           ОДЗ:

Рассмотрим первый случай

Замена:

              Сложим первое уравнение системы со вторым

В результате получаем            

Вернемся к замене:

Рассмотрим второй случай

Замена:

 Сложим первое уравнение системы со вторым

В результате получим:            

Вернемся к замене:

Ответ:(4;2);(–4; –2);(4; 0,5);(–4;–0,5);(0,25; 2);(–0,25;  –2);(0,25; 0,5);(–0,25;–0,5).

6. Решение системы однородных уравнений графически.

А)

1-й способ решения:

                                                         B       y

                                             A                   1

                                                             0     1        D        x

                                                                    C

2-й способ решения:

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим его с первым.

В результате получим:
  и      

прямая AC: y = –2–x

прямая BD: y = 2–x

        y

           B

                A        1

        0    1        D        x

        C        

По  графику получается:

A(-3;  1); B(-1;3); C(1; –3); D(3; –1)

Ответ: (-3;  1); (-1;3); (1; –3); (3; –1)

Заключение

Исследуя выбранную тему,  я выявила  новые методы решения однородных уравнений и систем  однородных уравнений.

Методы решения:

Разделить  уравнение на одну из переменных,  неравную нулю.

Дополнить одно из уравнений системы до полного квадрата.

Замена.

Графически.

Выразить одну переменную через другую.

Данная тема стала для меня еще более интересной и познавательной.

Использованная литература

Дорофеев Г.В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. –М.: Дрофа, 2001.

Ионин В.Л. Системы однородных уравнений. Квант, №9, 1975.

Шахмейстер А.Ч. Системы уравнений. – СПб.:  ТеРо  - на  - Неве,  2004.

http://eqworld.ipmnet.ru

http://www.exponenta.ru

http://methmath.chat.ru

http://ru.wikipedia.ru

http://www.bymath.net