Лабораторные работы к уроку
методическая разработка

Лабораторная работа

«РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Задание

Дано нелинейное алгебраическое уравнение f(x)=0.

Используя методы:

 − деления отрезка пополам (дихотомии);

− простой итерации (релаксации),

найти приближенные значения корней с заданной точностью ε.

Провести анализ полученных результатов.

Примечание. Номер варианта задания выбрать из таблицы в соответствии с номером компьютера, на котором выполняется задание.

Выполнение задания

1. В пакете MathCAD создать файл с именем «Нелинейные уравнения».

2. Исследовать функцию f(x) на наличие корней графически. Определить интервал наличия всех корней.

3. Найти интервалы изоляции табличным способом. (Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.)

4. Для каждого интервала изоляции [ai , bi] с заданными степенями точности (ε = 0.01; ε = 0.001; ε = 0.0001) найти корни уравнения с использованием:

а) метода деления отрезка пополам;

в) метода простой итерации.

Реализацию каждого метода оформить и провести необходимые вычисления. Результаты вычислений по каждому методу занести в три таблицы следующего вида.

Таблица 1. Метод половинного деления

Лабораторная работа

«Метод половинного деления в программе MExcel»

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1. представить решаемое уравнение в виде  

2. выбрать a, b и вычислить 

3.если f(a)×f(с)<0, то a=a; b = c иначе a = c; b=b

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Пример

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10-5.

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

 если f(a)×f(с)<0и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Решение уравнений, используя “Подбор параметра”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1.Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2.По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Файл/ Параметры/Формулы.

Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например, найдем все корни уравнения 2x3-15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Выполните команду меню Файл/ Параметры/Формулы установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Вычислить итеративные вычисления.

Выполните команду меню Данные/Анализ что если/Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля:

þ  Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции; (B2)

þ  Значение: в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ  Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.(A2)

Повторить данные шаги для всего столбца B.

Получим значение 3х корней (примерно)

-1,65793685

-0,35913476

2,05170101

Лабораторная работа.

Решение СЛУ методом Гаусса и методом простой итерации в системе MathCad.

Задание 1: Решить средствами MathCad СЛУ, используя метод Гаусса. Записать в тетради назначения функций, встречающийся в практической работе.

Справочная информация:

1. Способы ввода матрицы:

1. На панели инструментов Матрицы/Таблицы

Выбрать необходимый диапазон

Нажать ЛКМ

Присвоить имя матрице и внести значения.

2. Чтобы определить матрицу A, введите A:[

Введите 1 4 2, нажимая клавиши Shift+"Пробел" после каждого числа.

Чтобы вставить строку, нажмите клавиши Shift+"Ввод" или установите указатель на последний элемент матрицы (2 в данном случае) и нажмите клавишу Tab.

2. Функции расположены на панели Функции – Векторы и матрицы

Прежде чем вводить матрицу коэффициентов исходной системы и вектор свободных членов, зададим начальный индекс элементов. Для этого системной переменной ORIGIN присвоим значение 1.

Задание 2: Решить в MathCad СЛУ методом простой итерации с точностью ε=10-4.

Замечание: для записи уравнений преобразованной системы вместо обычного знака равенства следует использовать символьный знак равенства. Вызов осуществляется двумя способами:

1. [CTRL]+[=]
2. Математика – Операторы -блок Сравнение