Рабочая программа по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" для специальности "Программирование в компьютерных системах"
рабочая программа по теме

Вид учебной работы

Всего часов

Семестры

3

4

Аудиторные занятия (всего)

100

34

66

в том числе:

лекции (Л)

60

20

40

практические занятия (ПЗ)

40

14

26

семинары (с)

-

-

-

лабораторные работы (ЛР)

-

-

Самостоятельная работа студентов (СРС) (всего)

50

22

28

в том числе:

курсовой проект (работа)

-

-

-

расчетно-графические работы

16

8

8

реферат

-

-

-

выполнение домашней работы

20

8

12

работа с конспектом лекций

14

6

8

Форма промежуточной аттестации:

ИКР

ДЗ

Общая трудоемкость

150

56

94

№

п/п

Раздел дисциплины

Семестр / неделя семестра

Виды учебной дисциплины, включая самост. и трудоемкость

Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Формы промежуточной аттестации (по семестрам)

Л

ПЗ

ЛР

СРС

1.

Случайные события

3 / 1-12

14

10

12

тестирование

2.

Случайные величины

3 / 13-17

4 / 1-8

6

18

4

6

10

6

тестирование

3.

Элементы математической статистики

4 / 9-14

10

8

10

интегрированный контроль

4.

Теория графов

4 / 15-22

12

12

12

тестирование

Промежуточная аттестация

ИКР, ДЗ

Итого

60

40

50

№ п/п

Наименование тем

Трудоёмкость

Содержание

Формируемые компетенции

Результаты освоения (знать, уметь, владеть)

Образовательные технологии

1

2

3

4

5

6

7

1.

Основные понятия теории вероятностей

4

Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность

Практическая работа № 1

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

 знать:

- понятие случайного события, понятия совместимых и несовместимых событий;

- общее понятие о вероятности события как о мере возможности его наступления;

- классическое определение вероятности;

- методику вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики;

уметь:

- вычислять вероятности событий по классической формуле определения вероятности

Лекция

Практическое занятие

СРС

2.

Элементы комбинаторики

4

Основные формулы комбинаторики

Практическая работа № 2

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- основные комбинаторные объекты (типы выборок);

- формулы и правила расчёта количества выборок);

уметь:

- определять тип комбинаторного объекта (тип выборки);

рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях

Лекция

Практическое занятие

СРС

3.

Теорема сложения вероятностей

4

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий

Практическая работа № 3

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие противоположного события, формулу вероятности противоположного события;

- понятия суммы событий;

- теорему сложения вероятностей;

- методику вычисления вероятности суммы совместных событий;

уметь:

- представлять сложные события через элементарные события с помощью операций над событиями;

- вычислять вероятности суммы совместных и несовместных событий

Лекция

Практическое занятие

СРС

1

2

3

4

5

6

7

4.

Теорема умножения вероятностей.

Следствия теорем сложения и умножения вероятностей

6

Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события, теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса

Практическая работа № 4 (1 ч.)

Практическая работа № 5 (1 ч.)

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятия произведения событий;

- понятие условной вероятности;

- теорему умножения вероятностей;

- понятие независимых событий, формулу вероятности произведения независимых событий;

- понятие совместных событий;

- формулу полной вероятности;

- формулу Бейеса;

уметь:

- находить условные вероятности;

- представлять сложные события через элементарные события с помощью операций над событиями;

- вычислять вероятности сложных событий;

- вычислять полную вероятность;

- вычислять вероятность гипотез по формуле Бейеса

Лекция

Практическое занятие

СРС

5.

Повторение испытаний

6

Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Практическая работа № 6 (1 ч.)

Практическая работа № 7(1 ч.)

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие схемы Бернулли;

- формулу Бернулли;

- локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа;

уметь:

- вычислять вероятности событий в схеме Бернулли;

- вычислять вероятности по формулам Лапласа

Лекция

Практическое занятие

СРС

6.

Дискретные случайные величины (ДСВ)

4

Случайная величина. Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения вероятностей ДСВ. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона.

Практическая работа № 8

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие ДСВ и функции от ДСВ;

- понятие распределения ДСВ и его графического изображения;

- методику записи распределения функции от одной ДСВ;

- методику записи распределения функции от двух независимых ДСВ;

уметь:

- записывать распределение ДСВ, заданной содержательным образом;

- графически изображать распределение ДСВ;

- записывать распределение функции от одной ДСВ;

- записывать распределение функции от двух независимых ДСВ;

Лекция

Практическое занятие

СРС

7.

Математическое ожидание ДСВ

4

Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание ДСВ. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства МО. МО числа появлений события в независимых испытаниях

Практическая работа № 9

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- определение математического ожидания  ДСВ, его сущность и свойства;

уметь:

- вычислять характеристики ДСВ, заданной своим распределением;

- с помощью свойств вычислять характеристики для функций от одной или нескольких ДСВ

Лекция

Практическое занятие

СРС

1

2

3

4

5

6

7

8.

Дисперсия ДСВ

6

Отклонение СВ  от ее математического ожидания. Дисперсия ДСВ. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение. СКО суммы взаимно независимых СВ. Одинаково распределенные взаимно независимые СВ.

Практическая работа № 10

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- определение дисперсии ДСВ, её сущность и свойства;

- определение среднеквадратического отклонения ДСВ, его сущность и свойства;

уметь:

- вычислять характеристики ДСВ, заданной своим распределением;

- с помощью свойств вычислять характеристики для функций от одной или нескольких ДСВ;

Лекция

Практическое занятие

СРС

9.

Закон больших чисел

4

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

-общесмысловую формулировку центральной предельной теоремы;

- частную формулировку центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин;

- неравенство Чебышева;

- закон больших чисел в форме Чебышева;

- понятие частоты события, взаимоотношения между понятиями «вероятность» и «частота»;

- закон больших чисел в форме Бернулли;

уметь:

- оценивать вероятность с помощью неравенства Чебышева

Лекция

СРС

10.

Функция распределения вероятностей случайной величины

4

Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие НСВ;

- понятие равномерно распределённой НСВ;

- понятие случайной точки, равномерно распределённой в плоской фигуре;

- формулу геометрического определения вероятности (одномерный и двумерный случай);

- теорему об эквивалентности равномерности распределений двух независимых величин X и Y и равномерности распределения точки M(X,Y) в соответствующем прямоугольнике на координатной плоскости;

уметь:

- вычислять вероятности для равномерно распределенной НСВ;

- вычислять вероятности для случайной точки, равномерно распределенной в плоской фигуре;

- вычислять вероятности для простейших функций от двух независимых равномерно распределенных величин X и Y методом перехода к точке M(X,Y) в соответствующем прямоугольнике;

Лекция

СРС

1

2

3

4

5

6

7

11.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

6

Определение плотности распределения. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения. Закон равномерного распределения вероятностей

Практическая работа № 11

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- определение и свойства функции плотности НСВ;

- формулу функции плотности для равномерно распределённой НСВ;

- определение и свойства интегральной функции распределения НСВ;

- связь между функцией плотности и интегральной функцией распределения;

- методику расчёта вероятностей для НСВ по её функции плотности и интегральной функции распределения;

- методику вычисления математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения НСВ по её функции плотности;

- определение медианы НСВ и методику её нахождения;

уметь:

- находить функцию плотности по интегральной функции распределения НСВ;

- вычислять вероятности для НСВ по её функции плотности и интегральной функции распределения;

- находить медиану НСВ

Лекция

Практическое занятие

СРС

12.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

6

- Числовые характеристики НСВ. Нормальное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной СВ.

- Определение показательного распределения. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной СВ. Числовые характеристики показательного распределения

Практическая работа № 12 (1 ч.)

Практическая работа № 13 (1 ч.)

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- функцию плотности нормально распределенной НСВ, смысл параметров a и σ нормального распределения, интегральную функцию распределения нормально распределенной НСВ;

- теорему о сумме нескольких независимых  нормально распределенных НСВ;

- функцию плотности показательно распределённой НСВ, интегральную функцию распределения показательно распределенной НСВ;

- формулы для вычисления характеристик показательно распределенной НСВ;

уметь:

- вычислять вероятности для нормально распределенной НСВ;

- вычислять вероятности для суммы нескольких независимых нормально распределенных НСВ;

- вычислять математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение НСВ по её функции плотности;

- вычислять вероятности и находить характеристики для показательно распределенной НСВ

Лекция

Практическое занятие

СРС

13.

Выборочный метод

4

Задачи математической статистики. Случайная выборка. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма

Практическая работа № 14

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- повторную и бесповторную выборки;

- репрезентативную выборку;

- способы отбора;

- статистическое распределение выборки;

- эмпирическую функцию распределения;

- понятие полигона и гистограммы;

уметь:

- находить распределение относительных частот;

- строить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки;

- строить полигоны и гистограммы частот и относительных частот распределения

Лекция

Практическое занятие

СРС

1

2

3

4

5

6

7

14.

Статистические оценки параметров распределения

4

Статистические оценки параметров распределения. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Групповая и общая средние. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Сложение дисперсий

Практическая работа № 15

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- несмещенные, эффективные и состоятельные оценки;

- генеральную и выборочную средние;

- формулы для вычисления дисперсии;

- групповую и общую средние;

- отклонение от общей средней и его свойства;

- генеральную и выборочную дисперсии, формулы вычисления дисперсии;

- теорему об общей дисперсии;

уметь:

- находить групповую среднюю и общую среднюю по групповым средним;

- находить генеральную дисперсию;

- находить выборочную дисперсию;

- вычислять дисперсию

Лекция

Практическое занятие

СРС

15.

Доверительные интервалы

6

Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания. Оценка истинного значения измеряемой величины. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения.

Практическая работа № 16

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- точечную и интервальную оценку;

- доверительную вероятность и доверительный интервал;

уметь:

- находить доверительные интервалы для оценки математического ожидания;

- оценивать истинное значение измеряемой величины с заданной надежностью;

- находить доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения

Лекция

Практическое занятие

СРС

16.

Оценка точности измерений

4

Оценка точности измерений. Оценка вероятности по относительной частоте. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия. Процедура рекуррентного оценивания

Практическая работа № 17

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- точечную и интервальную оценку;

- метод моментов для точечной оценки;

- метод наибольшего правдоподобия;

- процедуру рекуррентного оценивания;

уметь:

- находить точность измерения с заданной надежностью;

- находить точечную оценку методом моментов;

- находить методом наибольшего правдоподобия оценку параметра

Лекция

Практическое занятие

СРС

17.

Основные понятия теории графов

4

Задачи, приводящие к графам. Полный граф, дополнение графа. Степень графа. Путь в графе, цикл. Связность графа. Операция удаления ребра, мост. Деревья, лес. Изображение графа.

Практическая работа № 18

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие графа, вершины и ребра графа;

- полный граф, дополнение графа;

- путь и цикл в графе, связность графа;

- понятие моста, дерева, леса;

уметь:

- находить дополнение графа;

- находить пути и циклы в графе;

- вычислять степени вершин графа;

- изображать граф

Лекция

Практическое занятие

СРС

1

2

3

4

5

6

7

18.

Плоские графы

4

Представление о плоском графе. Формула Эйлера. Триангулированный граф. Изображение ребер плоского графа прямолинейными отрезками. Эйлеровы графы. Лабиринты. Гамильтоновы графы.

Практическая работа № 19

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие плоского графа;

- формулу Эйлера;

- триангулированный граф;

- эйлеровы и гамильтоновы графы;

уметь:

- проводить триангуляцию графа;

- изображать ребра плоского графа прямолинейными отрезками;

- находить выходы из лабиринта

Лекция

Практическое занятие

СРС

19.

Ориентированные графы

4

Основные понятия. Полный ориентированный граф. Изображение с помощью ориентированных графов отношений на множестве.

Практическая работа № 20

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятия ориентированное ребро и ориентированный граф;

- ориентированный путь и ориентированный цикл;

- полный ориентированный граф;

уметь:

- находить ориентированные пути и циклы;

- отношения на множестве изображать в виде ориентированных графов

Лекция

Практическое занятие

СРС

20.

Матрицы графа

4

Матрица инцидентности графа. Матрица смежности графа. Список ребер.

Практическая работа № 21

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- способы задания графов;

- матрицы графов;

уметь:

- составлять матрицы заданных графов;

- по заданным матрицам графа изображать граф

Лекция

Практическое занятие

СРС

21.

Деревья в работе

4

Деревья и подсчет количества изомеров. Число деревьев с пронумерованными вершинами. Деревья в комбинаторике.

Практическая работа № 22

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- диаметр и радиус графа, корневые вершины графа;

- теорему о количестве корневых вершин графа;

уметь:

- применять деревья для подсчета числа изомеров химического соединения;

- с помощью деревьев решать задачи комбинаторики

Лекция

Практическое занятие

СРС

22.

Сетевое планирование. Транспортная задача

4

Сетевое планирование. Транспортная задача.

Практическая работа № 23 (1 ч.)

Практическая работа № 24 (1 ч.)

ОК 1-10

ПК 1.1

ПК 1.1

ПК 2.4

ПК 3.4

знать:

- понятие сетевого графа;

- представление сети  в виде структурно-временной таблицы;

- алгоритм построения максимального потока;

уметь:

- решать задачи сетевого планирования;

- решать транспортную задачу

Лекция

Практическое занятие

СРС

№ п/п

Раздел дисциплины

Наименования практических занятий

Объем в часах

1.

Случайные события

Практическая работа № 1. Вычисление вероятности событий по классической формуле определения вероятности

2

2.

Случайные события

Практическая работа № 2. Расчет количества выборок, сочетаний и размещений

2

3.

Случайные события

Практическая работа № 3. Вычисление вероятности суммы совместных и несовместных событий

2

4.

Случайные события

Практическая работа № 4. Вычисление условных вероятностей и вероятностей сложных событий

1

5.

Случайные события

Практическая работа № 5. Вычисление полной вероятности

1

6.

Случайные события

Практическая работа № 6. Вычисление вероятности событий в схеме Бернулли

1

7.

Случайные события

Практическая работа № 7. Вычисление вероятности по формулам Лапласа

1

8.

Случайные величины

Практическая работа № 8. Составление законов распределения ДСВ

2

9.

Случайные величины

Практическая работа № 9. Вычисление математического ожидания ДСВ

2

10.

Случайные величины

Практическая работа № 10. Вычисление дисперсии ДСВ

2

11.

Случайные величины

Практическая работа № 11. Вычисление вероятности НСВ по ее функции плотности и интегральной функции распределения

2

12.

Случайные величины

Практическая работа № 12. Вычисление математического ожидания НСВ

1

13.

Случайные величины

Практическая работа № 13. Вычисление дисперсии и квадратического отклонения НСВ

1

14.

Элементы математической статистики

Практическая работа № 14. Нахождение распределения относительных частот

2

15.

Элементы математической статистики

Практическая работа № 15. Нахождение групповой средней, генеральной и выборочной дисперсии

2

16.

Элементы математической статистики

Практическая работа № 16. Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения

2

17.

Элементы математической статистики

Практическая работа № 17. Оценивание точности измерений с заданной надежностью

2

18.

Теория графов

Практическая работа № 18.  Нахождение пути и цикла в графе. Нахождение дополнения графа

2

19.

Теория графов

Практическая работа № 19. Изображение триангулированного и плоского графов прямолинейными ребрами. Нахождение выходов из лабиринтов

2

20.

Теория графов

Практическая работа № 20. Нахождение ориентированных путей и циклов. Задание отношений на множестве ориентированными графами

2

21.

Теория графов

Практическая работа № 21. Составление матриц графа. Изображение графа по его матрицам

2

22.

Теория графов

Практическая работа № 22. Использование деревьев при решении задач

2

23.

Теория графов

Практическая работа № 23. Решение задачи сетевого планирования

1

24.

Теория графов

Практическая работа № 24. Решение транспортной задачи

1

№

п/п

Раздел рабочей программы

Перечень домашних заданий других вопросов для самостоятельного изучения

Сроки выполнения (семестр/неделя семестра)

Объем в часах

1.

Случайные события

расчетно-графические работы – нахождение геометрической вероятности

3 / 1-2 нед.

2

выполнение домашней работы (решение задач)

3 / 1-12 нед.

6

работа с конспектом лекций

3 / 1-12 нед.

4

2.

Случайные величины

расчетно-графические работы –  построение графика плотности распределения

3 / 13-15 нед.

6

выполнение домашней работы (решение задач)

3 / 13-17 нед.

4 / 1-8 нед.

2

4

работа с конспектом лекций

3 / 13-17 нед.

4 / 1-8 нед.

2

2

3.

Элементы математической статистики

расчетно-графические работы – построение полигона и гистограммы

4 / 9-14 нед.

4

выполнение домашней работы (решение задач)

4 / 9-14 нед.

4

работа с конспектом лекций

4 / 9-14 нед.

2

4.

Теория графов

расчетно-графические работы – решение задач сетевого планирования

4 / 15-22 нед.

4

выполнение домашней работы (решение задач)

4 / 15-22 нед.

4

работа с конспектом лекций

4 / 15-22 нед.

4

1.

Математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений называется

а)

вероятностью

в)

математической статистикой

б)

комбинаторикой

г)

теорией вероятности

2.

Число всех возможных сочетаний вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

3.

Событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти, называется

а)

случайным

в)

достоверным

б)

невозможным

г)

несовместным

4.

Вероятность невозможного события А равна

а)

1

в)

1/2

б)

0

г)

-1

5.

Событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий, называется

а)

разностью событий А-В

в)

суммой событий А+В

б)

произведением событий А·В

г)

разностью событий В-А

6.

Если появление одного события не исключает появление другого события в одном и том же испытании, то такие события называются

а)

достоверными

в)

случайными

б)

несовместными

г)

совместными

7.

Теорема умножения вероятностей: вероятность совместного появления двух событий равна

а)

разности вероятностей этих событий, т.е. Р(А·В)=Р(А)-Р(В)

в)

произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е. Р(А·В)=Р(А)·

б)

сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А·В)=Р(А)+Р(В)

г)

сумме вероятностей противоположных событий, т.е. Р(А·В)=+

8.

Величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее т случайных причин, которые заранее не могут быть учтены, называют

а)

случайной

в)

непрерывной

б)

дискретной

г)

числовой

9.

Вычислить число сочетаний

а)

151200

в)

720

б)

210

г)

24

10.

Вычислить число размещений

а)

40

в)

3664

б)

210

г)

5040

11.

Вычислить число перестановок

а)

570

в)

720

б)

500

г)

750

12.

Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения четного числа?

а)

4/6

в)

1/6

б)

1/2

г)

2/3

13.

Три стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым — 0,9, а третьим— 0,75. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

а)

0,08

в)

0

б)

0,995

г)

1

14.

Три стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,6, а третьим— 0,8. Найти вероятность того, что двое из стрелков попали в мишень.

а)

1

в)

0

б)

0,366

г)

0,452

15.

На полке 10 учебников, из которых 6 в переплете. Наудачу взяли 4 учебника. Найти вероятность того, что 3 из них в переплете.

а)

0,38

в)

0

б)

0,83

г)

1

1.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком называются

а)

перестановками

в)

сочетаниями

б)

комбинаторикой

г)

размещениями

2.

Число всех возможных размещений вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

3.

Вероятность события А с общим числом всех возможных элементарных исходов n и числом благоприятствующих исходов k вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

4.

Вероятность достоверного события А равна

а)

2

в)

0

б)

1

г)

1/3

5.

Событие, состоящее в совместном появлении событий А и В, называется

а)

разностью событий А-В

в)

произведением событий А·В

б)

разностью событий В-А

г)

суммой событий А+В

6.

Если появление одного события не изменяет вероятности другого события, то такие события называются

а)

недостоверными

в)

несовместными

б)

зависимыми

г)

независимыми

7.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления двух независимых событий равна

а)

сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А·В)=Р(А)+Р(В)

в)

произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е. Р(А·В)=Р(А)·

б)

произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(А·В)=Р(А)·Р(В)

г)

разности вероятностей этих событий, т.е. Р(А·В)=Р(А)-Р(В)

8.

Интегральная теорема Лапласа: вероятность того, что в n испытаниях событие А появится от k1 до k2 раз приближенно вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

9.

Вычислить число сочетаний

а)

6720

в)

120

б)

56

г)

6

10.

Вычислить число размещений

а)

120

в)

336

б)

24

г)

5

11.

Вычислить число перестановок

а)

110

в)

100

б)

120

г)

150

12.

Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа?

а)

4/6

в)

1/6

б)

1/2

г)

2/3

13.

Три стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,6, а третьим— 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

а)

0,976

в)

0

б)

0,336

г)

1

14.

Три стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым — 0,9, а третьим— 0,7. Найти вероятность того, что двое из стрелков попали в мишень.

а)

0

в)

0,398

б)

0,995

г)

1

15.

На полке 10 учебников, из которых 6 в переплете. Наудачу взяли 4 учебника. Найти вероятность того, что 3 из них не в переплете.

а)

1

в)

0

б)

0,75

г)

0,57

1.

Упорядоченные комбинации, составленные из k различных элементов взятых из n элементов, называются

а)

сочетаниями

в)

перестановками

б)

размещениями

г)

комбинаторикой

2.

Число всех возможных перестановок вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

3.

Событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий, называется

а)

достоверным

в)

невозможным

б)

случайным

г)

несовместным

4.

Вероятность случайного события А есть число, удовлетворяющее неравенству

а)

в)

б)

г)

5.

Сумма вероятностей противоположных событий Р(А)+ равна

а)

1/2

в)

0

б)

2

г)

1

6.

Вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило , называют

а)

геометрической вероятностью

в)

условной вероятностью

б)

статистической вероятностью

г)

аналитической вероятностью

7.

Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна

а)

разности между единицей и суммой вероятностей противоположных событий , т.е.

в)

сумме вероятностей противоположных событий , т.е.

б)

разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , т.е.

г)

произведению вероятностей противоположных событий , т.е.

8.

Локальная теорема Лапласа: вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз (при больших значениях n) приближенно вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

9.

Вычислить число сочетаний

а)

120

в)

2

б)

42

г)

21

10.

Вычислить число размещений

а)

21

в)

2

б)

42

г)

120

11.

Вычислить число перестановок

а)

24

в)

20

б)

26

г)

19

12.

Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения числа, кратного 3?

а)

1/2

в)

2/6

б)

1/6

г)

2/3

13.

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором — 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем — 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная.

а)

0

в)

0,72

б)

0,28

г)

1

14.

Три стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,6, а третьим— 0,8. Найти вероятность того, что только один из стрелков попал в мишень.

а)

0,366

в)

0

б)

0,188

г)

1

15.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,8. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах стрелок поразит мишень 3 раза.

а)

1

в)

0,6

б)

0,8

г)

0,2

1.

Комбинации, составленные из k различных элементов взятых из n элементов, называются

а)

перестановками

в)

сочетаниями

б)

размещениями

г)

комбинаторикой

2.

Отношение числа благоприятствующих событию А исходов к общему числу всех возможных элементарных исходов называется

а)

вероятностью события А

в)

геометрической вероятностью события А

б)

условной вероятностью события А

г)

вероятностью противоположного события  

3.

Событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении определенной совокупности условий, называется

а)

невозможным

в)

достоверным

б)

несовместным

г)

случайным

4.

Два единственно возможных события А и , образующих полную группу, называют

а)

невозможными

в)

случайными

б)

достоверными

г)

противоположными

5.

Если появление одного события исключает появление другого события в одном и том же испытании, то такие события называются

а)

совместными

в)

случайными

б)

несовместными

г)

достоверными

6.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна

а)

сумме вероятностей противоположных событий, т.е. Р(А+В)=+

в)

сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

б)

произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)·Р(В)

г)

произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е. Р(А+В)=Р(А)·

7.

Теорема сложения вероятностей совместных событий: вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна

а)

разности вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)-Р(В)

в)

произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)·Р(В)

б)

сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

г)

сумме вероятностей противоположных событий , т.е.

8.

Формула Бернулли: вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз вычисляется по формуле

а)

в)

б)

г)

9.

Вычислить число сочетаний

а)

504

в)

720

б)

84

г)

6

10.

Вычислить число размещений

а)

60480

в)

50420

б)

54

г)

720

11.

Вычислить число перестановок

а)

5040

в)

4200

б)

5000

г)

2300

12.

Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения числа 5?

а)

2/6

в)

1/2

б)

1/6

г)

2/3

13.

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором — 10 деталей, из них 8 стандартных; в третьем — 12 деталей, из них 6 стандартных; в четвертом — 15 деталей, из них 12 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная.

а)

1

в)

0

б)

0,29

г)

0,71

14.

Три стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым — 0,9, а третьим— 0,75. Найти вероятность того, что только один из стрелков попал в мишень.

а)

0,08

в)

0

б)

0,995

г)

1

15.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,7. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах стрелок поразит мишень 4 раза.

а)

0,66

в)

0,32

б)

0,7

г)

1

1.

Случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями, называют

а)

числовой

в)

дискретной

б)

непрерывной

г)

переменной

2.

Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин M(X+Y) равно

а)

произведению их математических ожиданий M(X)·M(Y)

в)

разности их математических ожиданий M(X)-M(Y)

б)

сумме их математических ожиданий M(X)+M(Y)

г)

частному их математических ожиданий M(X)/M(Y)

3.

Числовая характеристика дискретной случайной величины, выражающая математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания М[Х-М(Х)]2, называется

а)

математическим ожиданием дискретной случайной величины

в)

дисперсией дискретной случайной величины

б)

биноминальным распределением

г)

отклонением

4.

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин D(X+Y) равна

а)

разности их дисперсий D(X)-D(Y)

в)

сумме их дисперсий D(X)+D(Y)

б)

произведению их дисперсий D(X)·D(Y)

г)

частному их дисперсий D(X)/D(Y)

5.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называют

а)

законом распределения дискретной случайной величины

в)

математическим ожиданием дискретной случайной величины

б)

биноминальным распределением

г)

дисперсией

6.

Числовая характеристика дискретной случайной величины, выражающая сумму произведений всех возможных значений дискретной случайной величины на их вероятности, называется

а)

математическим ожиданием дискретной случайной величины

в)

законом распределения дискретной случайной величины

б)

биноминальным распределением

г)

дисперсией

7.

Дисперсия D(X) случайной величины X равна

а)

М(Х2-М(Х))

в)

М(Х2)-[М(Х)]2

б)

D(Х2)-[D(Х)]2

г)

D(Х2)+D(Х2)

8.

Квадратный корень из дисперсии называют

а)

биноминальным распределением

в)

математическим ожиданием дискретной случайной величины

б)

средним квадратическим отклонением случайной величины

г)

отклонением

9.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

а)

-6

в)

0,6

б)

6

г)

1,2

10.

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

а)

28

в)

15

б)

40

г)

35

1.

Случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка, называют

а)

дискретной

в)

непрерывной

б)

переменной

г)

числовой

2.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин M(XY) равно

а)

сумме их математических ожиданий M(X)+M(Y)

в)

частному их математических ожиданий M(X)/M(Y)

б)

разности их математических ожиданий M(X)-M(Y)

г)

произведению их математических ожиданий M(X)·M(Y)

3.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называют

а)

биноминальным распределением

в)

математическим ожиданием

б)

дисперсией

г)

отклонением

4.

Дисперсия D(С) постоянной величины С равна

а)

0

в)

-1

б)

1

г)

∞

5.

Соответствие между возможными количествами повторения события А в n испытаниях и их вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, называют

а)

биноминальным распределением

в)

дисперсией

б)

законом распределения дискретной случайной величины

г)

математическим ожиданием дискретной случайной величины

6.

Математическое ожидание М(С) постоянной величины С равно

а)

+∞

в)

0

б)

1

г)

С

7.

Математическое ожидание отклонения равно

а)

0

в)

-1

б)

1

г)

+∞

8.

Квадратный корень из дисперсии называют

а)

средним квадратическим отклонением случайной величины

в)

математическим ожиданием дискретной случайной величины

б)

биноминальным распределением

г)

отклонением

9.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

а)

-3,2

в)

0,3

б)

3,2

г)

1,3

10,

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

а)

5,36

в)

56

б)

32

г)

41,5

xi

2

5

7

ni

1

3

6

xi

0,01

0,04

0,08

ni

5

3

2

xi

4

7

8

12

ni

5

2

3

10

xi

186

192

194

ni

2

5

3

… представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек

а)

ребро

в)

граф

б)

вершина

г)

ориентированный граф

Два графа называются равными, если

а)

множества вершин совпадают

в)

множества  ребер совпадают

б)

множества вершин и ребер совпадают

г)

множества вершин и ребер не совпадают

В полном графе с n вершинами каждая вершина принадлежит … ребру

а)

в)

б)

г)

Число ребер графа, которым принадлежит вершина А, называется

а)

списком ребер

в)

расстоянием до вершины А

б)

дополнением графа

г)

степенью вершины А

Вершина называется нечетной, если

а)

ее степень – число нечетное

в)

количество ребер в графе – число нечетное

б)

количество вершин в графе – число нечетное

г)

ее степень равна нулю

Число ребер пути от вершины А1 к вершине Аn называется

а)

длиной пути от А1 к Аn

в)

мостом от А1 к Аn

б)

циклом от А1 к Аn

г)

путем от А1 к Аn

Путь в графе, в котором совпадают его начальная и конечная вершины, называется

а)

эйлеровым

в)

циклом

б)

простым

г)

гамильтоновым

Число ребер в цикле называется

а)

путем

в)

направлением

б)

мостом

г)

длиной цикла

Если в графе не существует ни одного пути с концами А и В, то эти две вершины называются

а)

связными

в)

несмежными

б)

несвязными

г)

несимметричными

Граф называется несвязным, если

а)

связны каждые две его вершины

в)

несвязны хотя бы две его вершины

б)

несвязны все его вершины

г)

связны только две его вершины

Вершина дерева называется висячей, если ее степень равна

а)

1

в)

2

б)

0

г)

3

Дерево с n вершинами имеет … ребро

а)

n-1

в)

n+1

б)

2n-1

г)

2n+1

Путь, содержащий все ребра графа, называется

а)

эйлеровым циклом

в)

гамильтоновым циклом

б)

эйлеровым путем

г)

гамильтоновым путем

Эйлеровым графом называется граф, обладающий

а)

эйлеровым путем

в)

гамильтоновым циклом

б)

эйлеровым циклом

г)

гамильтоновым путем

Связный граф обладает эйлеровым путем, если

а)

все его вершины четные

в)

только две его вершины нечетные

б)

все его вершины нечетные

г)

одна его вершина нечетная

Путь в графе, проходящий через каждую вершину в точности по одному разу, называется

а)

эйлеровым циклом

в)

гамильтоновым циклом

б)

эйлеровым путем

г)

гамильтоновым путем

Гамильтоновым графом называется граф, обладающий

а)

гамильтоновым циклом

в)

эйлеровым путем

б)

гамильтоновым путем

г)

эйлеровым циклом

Граф называется ориентированным, если

а)

все его ребра неориентированы

в)

только одно его ребро ориентировано

б)

все его ребра ориентированы

г)

только одно его ребро неориентировано

Степенью входа вершины А ориентированного графа называется число ребер, для которых вершина А является

а)

началом и концом

в)

началом

б)

ни началом, ни концом

г)

концом

Вершина А ориентированного графа называется источником, если

а)

степ.вых.А<0, степ.вх.А<0

в)

степ.вых.А>0, степ.вх.А=0

б)

степ.вых.А=1, степ.вх.А=1

г)

степ.вых.А>0, степ.вх.А>0

Вершина графа, не принадлежащая ни одному ребру, называется

а)

стоком

в)

источником

б)

изолированной

г)

висячей

Если каждые две различные вершины графа соединены одним и только одним ребром, то такой граф называется

а)

гамильтоновым

в)

эйлеровым

б)

ориентированным

г)

полным

Граф  с теми же вершинами, что и граф Г, и с теми и только теми ребрами, которые необходимо добавить к графу Г, чтобы получился полный граф, называется

а)

матрицей инцидентности графа Г

в)

матрицей смежности графа Г

б)

плоским изображением графа Г

г)

дополнением графа Г

Вершина называется четной, если

а)

ее степень – число четное

в)

количество ребер в графе – число четное

б)

количество вершин в графе – число четное

г)

ее степень равна нулю

Последовательность ребер, ведущая от вершины А1 к вершине Аn, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза, называется

а)

путем от А1 к Аn

в)

циклом от А1 к Аn

б)

длиной пути от А1 к Аn

г)

мостом от А1 к Аn

Если путь от вершины А1 к вершине Аn не проходит ни через одну из вершин графа боле одного раза, то он называется

а)

циклом

в)

эйлеровым

б)

простым

г)

гамильтоновым

Если цикл в графе не проходит ни через одну из вершин графа боле одного раза, то он называется

а)

эйлеровым

в)

простым

б)

путем

г)

гамильтоновым

Если в графе существует путь с концами А и В, то эти две вершины называются

а)

симметричными

в)

смежными

б)

несвязными

г)

связными

Граф называется связным, если

а)

несвязны каждые две его вершины

в)

связны каждые две его вершины

б)

несвязны только две его вершины

г)

связны только две его вершины

Всякий связный граф, не имеющий циклов, называется

а)

лесом

в)

гранью

б)

деревом

г)

путем

Несвязный граф, представляющий собой объединение деревьев, называется

а)

лесом

в)

путем

б)

циклом

г)

гранью

Если граф можно нарисовать на плоскости так, чтобы никакие его ребра не имели других общих точек, кроме их общей вершины, то его называют

а)

деревом

в)

плоским

б)

связным

г)

эйлеровым

Цикл, содержащий все ребра графа, называется

а)

эйлеровым путем

в)

гамильтоновым циклом

б)

эйлеровым циклом

г)

гамильтоновым путем

Связный граф обладает эйлеровым циклом, если

а)

все его вершины четные

в)

одна его вершина нечетная

б)

все его вершины нечетные

г)

одна его вершина четная

Линия является уникурсальной, если представляет собой граф,

а)

обладающий гамильтоновым циклом

в)

у которого все вершины нечетные

б)

обладающий эйлеровым циклом или путем

г)

у которого одна вершина нечетная

Цикл в графе, проходящий через каждую вершину в точности по одному разу, называется

а)

эйлеровым циклом

в)

гамильтоновым путем

б)

эйлеровым путем

г)

гамильтоновым циклом

Если одну вершину ребра считают его началом, а другую – концом, то такое ребро называется

а)

петлей

в)

ориентированным

б)

изолированным

г)

гамильтоновым

Степенью выхода вершины А ориентированного графа называется число ребер, для которых вершина А является

а)