"Сравнение формул Бернулли, Лапласа, Пуассона".
методическая разработка по теме

Слайд 1

Санкт-Петербургское Государственное Профессиональное Бюджетное Образовательное Учреждение «Колледж Информационных Технологий» Сравнение формул Бернулли, Лапласа, Пуассона Составитель: Патреева Я.Т.

Слайд 2

Общая задача схемы. Пусть проводится n независимых опытов. В каждом из них событие А может наступить с вероятностью р . Требуется найти вероятность того, что ровно к опытов окажутся успешными. А А А А А А А А А А А А А

Слайд 3

Входные данные: n – число опытов, k – число успешных опытов, р – вероятность успеха в каждом опыте, q =1-р. P( n;k ) – искомая вероятность. В зависимости от n , k и p вычисление производится по трем разным формулам: Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона.

Слайд 4

Формула Бернулли:

Слайд 5

Приведем пример: Сессию сдают 12 студентов, вероятность сдачи каждого студента равна 0,9. Какова вероятность того, что сдадут 9 из них? Решим задачу, в которой n =12, k =9. Кроме того, p =0,9, q =0,1.

Слайд 6

Отметим, что при некоторых n и k вычисления могут быть затруднительными. Например, при n =40, k =30 в формуле (1) вычисляется не на каждом калькуляторе из-за большого числа множителей, а возведение в степень дает дробь, слишком близкую к нулю, поэтому появляется вторая формула: Формула Муавра-Лапласа (Пьер Лаплас, 1812 г., Франция):

Слайд 7

Где - функция Лапласа . , значения которой мы будем находить в таблице (Приложение 1). Отметим важные свойства : - четная, т.е. при x>4 значения в таблице отсутствуют ( практически равна нулю).

Слайд 8

4.1. Рассмотрим пример: Игральный кубик бросают 60 раз. Найти вероятность того, что «4» выпадет 13 раз. n = 60, k =13, p =1/6, q =5/6. Вычислим сначала Находим значение по таблице.

Слайд 9

Как мы уже отметили, формула (2) тоже имеет ограничения, при , т.е. очень больших n , маленьких k и p <0,1. В таком случае работает третья формула: Формула Пуассона ( Симеон Пуассон, нач.19 века, Франция): Пример. Вероятность повреждения товара равна 0,02. Найти вероятность того, что из ста единиц товара испортится ровно 3.

Слайд 10

Составим сравнительную таблицу для этих формул Имя Формула Рекомендуемые Границы применения Плюсы Минусы Результат при n = 11, k =3, p =0,08 Бернулли n< 20 k< 10 ( n,k малы) p>0,1 Точность, простота Узкие границы применения 0,043356 Лапласа n >20 k >10 ( n , k большие p >0,1 ) Наличие таблицы, универсальность Затруднения в вычислениях при x>4 0,027625 Пуассона n >20 k <5 p <0,1 ( n велико, k мало) Минимум затрат при неудобных параметрах Затруднения в вычислениях при np >10 0,047110

Слайд 11

Решить самостоятельно задачи, предварительно выбрав наилучшую формулу: Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий? Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества. На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три и ровно пять битых бутылок.

Слайд 12

Домашнее задание: Устройство состоит из шести независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,37. Найти вероятность того, что откажут три элемента. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено 3 изделия.

Слайд 13

Приложение (таблица Лапласа) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918 0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3698 0,4 0,3683 0,3668 0,3652 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352 0,6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920 0,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0,2685 0,9 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444 1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965 1,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736 1,3 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518 1,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 1,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127 1,6 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 1,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804 1,8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551 2,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449 2,1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0395 0,0387 0,0379 0,0371 0,0363 2,2 0,0353 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,0290 2,3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,0229 2,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,0180 2,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0139 2,6 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107 2,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0081 2,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0061 2,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046