Вопросы зачета по теории вероятностей и математической статистике
методическая разработка

Вопросы зачета по теории вероятностей и математической статистике

1. У Вовы на обед – салат, первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число всевозможных вариантов обеда.

2. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

3. 6 граней игрального кубика помечены цифрами 1,2,3,4,5,6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

        а) Найдите число всех возможных вариантов.

        б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно

        в) Составьте таблицу из 2 строк. В 1 строке запишите суммы выпавших очков, во 2 – количество результатов, в которых выпадает эта сумма.

        г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

4. Учитель приготовил для решения в классе 3 задачи. Сколькими способами он может предложить эти задачи трем учащимся, если в классе 30 человек?

5. Сколькими способами можно распределить 5 карандашей среди 30 учащихся, если каждому ученику давать не более одного карандаша?

а) карандаши одинаковые;

б) карандаши разные.

6. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

7. На полке лежат 15 учебников, из них 7 – по математике. Студент наудачу берёт 3 учебника. Какова вероятность того, что взятые учебники – учебники по математике?

8. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что второй шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

9. Спортивная команда состоит из 20 спортсменов, из которых 5 боксёров, 7 штангистов и 8 борцов. Для беседы с журналистом было выбрано случайным образом 3 спортсмена. Определить вероятность того, что выбранные спортсмены представляют различные дисциплины спорта

10. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.

11. В первой коробке находится 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята одна деталь и переложена в первую коробку.

Какова вероятность  того, что деталь, наудачу извлечённая после этого из первой коробки, окажется стандартной?

12. Два станка производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого станка в два раза больше производительности второго станка. Первый производит 60 % деталей высшего сорта, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась высшего сорта. Какова вероятность того, что эта деталь произведена на первом станке?

13. В ящике 20 белых и 10 чёрных шаров. Поочерёдно извлекают 4 шара, причём каждый извлечённый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что среди четырёх извлечённых шаров окажется два белых?

14. Имеется пять урн:

2 урны состава  - по 2 белых шара и 3 черных шара,

2 урны состава  - по 1 белому и 4 черных шара,

1 урна состава  - 4 белых и 1 черный шар.

Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие А). Чему равна после опыта вероятность события, что шар вынут из урны третьего состава.

15. Вероятность дождливого дня в городе равна 0,2. Известно, что вероятность выиграть футбольный матч команде этого города в дождливый день равна 0,4, а в сухой - 0,7. Известно, что команда выиграла матч. Определить, что в этот день шел дождь.

16. Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что выпало ровно 3 орла.

17. Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что

1) менее двух раз выпал орел, 2) не менее двух раз выпал орел.

18. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для этих стрелков соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Какова вероятность того, что третий стрелок промахнулся, если в мишени оказалось две пробоины?

19. При некоторых условиях стрельбы вероятность p попадания в цель при одном выстреле равна 1/3. Произведено 4 выстрела.

а). Каково наивероятнейшее число попаданий в цель?

б). Какова его вероятность?

в). Какова вероятность двух попаданий?

г). Какова вероятность хотя бы одного попадания?

20. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

21. Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во второй раз вытянут выигрышный билет?

22. Найти вероятность того, что взятое наугад число из чисел от 10 до 20 делится или на 2, или на 3.

23. Пусть на сборку поступают детали с двух автоматических станков. Первый станок дает в среднем 0.3 % брака, а второй - 0.15 % брака. Производительность второго станка в два раза выше, чем первого станка. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной.

24. Однотипные пластмассовые детали изготавливаются на 3 прессах. Первый пресс выпускает 50 % всех деталей, второй - 40 %, третий - 10 % . При этом с первого пресса сходит в среднем 0.025 нестандартных деталей, со второго - 0.02 и с третьего - 0.015. Все детали поступают на сборку. Взятая наудачу деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом прессе.

25. Монета подбрасывается 6 раз. Определить вероятность того, что герб выпадет а) 5 раз; б) от 2 до 4 раз.

26. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7.

Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов. Найти функцию распределения.

27. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

28. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

29. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

30. Дано распределение дискретной случайной величины

X . Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

31. Вероятность появления события в одном испытании постоянна и равна

P=0,1. Написать закон распределения случайной величины X – числа появления события в n = 3 испытаниях. Вычислить математическое ожидание,  дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

32. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7.

Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов. Найти функцию распределения.

33. Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из

которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Составить закон

распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. Найти

математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

34. Задача 6 рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

35. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров первого типа равна 0,9, второго типа – 0,7, третьего типа – 0,8. Случайная величина X – число телевизоров, проработавших гарантийный срок, среди трех телевизоров разных типов. Составить закон распределения, функцию распределения, найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

36. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга

по два выстрела. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Построить ряд распределения X и найти M (X ) , где X – общее число попаданий. Составить закон распределения, функцию распределения, найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение

37. Закон распределения дискретной случайной величиныXимеет вид:

38. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

39. Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,9. В контрольной партии 3 прибора. Случайная величина X – число приборов, удовлетворяющих требованиям качества.

40. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Случайная

величина X – число попаданий в цель при трех выстрелах. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(x).

41. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлено четыре

независимо работающих светофора. Каждый светофор с интервалом в 2 мин подает красный и зеленый сигналы. Случайная величина X – число остановок на этой улице.Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(x).

42.  90% панелей, изготавливаемых на железобетонном заводе – высшего

сорта. Случайная величина X – число панелей высшего сорта из четырех, взятых наугад. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(x).

43. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове

равна 0,004. Поступило 500 вызовов. Определить вероятность того, что было 9 сбоев.

44. Среди семян ржи 0,04% сорняков. Какова вероятность при случайном

отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

45. Дана функция распределения случайной величины X

46. Задана функция распределения случайной величины X :

Найти плотность распределения вероятностей f (x) , математическое ожидание M (X ), дисперсию D(X ) и вероятность попадания случайной величины X на отрезок [1;2]. Построить графики функций F(x) и f (x).

47. Случайная непрерывная величина X задана своей функцией

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей f (x);

б) схематично построить график функций F(x) и f (x);

в) вычислить математическое ожидание M (X ) и дисперсию D(X );

г) определить вероятность того,что X примет значение из интервала (1;3) .

48. Предприниматель может получить кредиты в трех независимо работающих друг от друга банках. В первом банке он может получить

35 млн. руб. с вероятностью 1/4, во втором банке – 15 млн. руб. с вероятностью 1/2, в третьем банке – 25 млн. руб. с вероятностью 1/3. Необходимо: а) найти закон распределения случайной величины X – возможной суммы кредитов и построить многоугольник распределения; б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X; в) найти функцию распределения дискретной случайной величины X, построить ее график и найти вероятность того, что предприниматель получит кредит в размере от 35 до 50 млн. руб.

49. Вероятность появления события A в каждом из 12 повторных испытаний P(A)=0,75 . Определить среднее значение и дисперсию случайной величины числа появления события A в 12 независимых повторных испытаниях.

50. При работе ЭВМ время от времени возникают сбои. Поток сбоев можно

считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятность того, что в течение суток произойдет хотя бы один сбой