Методическая разработка открытого занятия

по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики

для студентов II курса очной формы обучения

программы подготовки специалистов среднего звена

 по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование

Наименование профиля: технологический

Сургут 2023

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка        3

Технологическая карта занятия        5

Ход занятия        8

Список литературы        14

Приложение 1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса        15

Приложение 2. Карточки с заданиями для закрепления        16

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Занятие на тему «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса» по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики проводится в группе обучающихся по программе подготовки специалистов среднего звена по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование.

Материалы занятия соответствует рабочей программе дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики, разработанной в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование, утверждённым приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «09» декабря 2016 года № 1547.

По итогам занятия, обучающиеся должны закрепить знания основ линейной алгебры, умения выполнять операции над матрицами и освоить умение решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Вышеперечисленные знания и умения являются основой для формирования следующих общих компетенции (ОК):

ОК 01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.

ОК 05. Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста.

Структура занятия:

• этап 1. Организационный этап – 3 минуты;
• этап 2. Проверка домашнего задания– 7 минут;
• этап 3. Актуализация знаний по теме урока – 10 минут;
• этап 4. Постановка проблемы, поиск путей решения посредством знакомства с теоретическими основами нового универсального метода – 35 минут;
• этап 5. Применение знаний и умений – 20 минут;
• этап 6. Подведение итогов урока. Рефлексия – 5 минут.

Занятие начинается с организационного этапа, в рамках которого преподаватель присутствует обучающихся, отмечает присутствующих, проверяется их внешний вид, тем самым настраивает их на работу.

На втором этапе занятия студенты под руководством преподавателя вспоминают тему прошлого урока, и в форме взаимопроверки осуществляется проверка выполнения домашнего задания.

Далее, на третьем этапе, преподаватель организует повторение теоретических знаний обучающихся, необходимых для изучения новой темы. Повторение проводится в форме фронтального опроса.

Четвертый этап начинается с постановки проблемы, исходя из которой, формулируется тема занятия. Затем преподаватель совместно со студентами формулирует цель занятия.

В основной части занятия (этап – постановка проблемы, поиск путей решения посредством знакомства с теоретическими основами нового универсального метода) студенты, с помощью приготовленных памяток, разбирают алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью нового метода. Далее, совместно с преподавателем, выполняются задания у доски. В ходе их выполнения, обучающиеся осваивают приемы и действия, учатся применять знания при решении конкретных задач.

На пятом этапе студентам предлагается закрепить свои знания и выполнить самостоятельно разноуровневые задания с предложенных карточек.

В заключительной части подводятся итоги занятия. Далее преподаватель инструктирует студентов о порядке выполнения домашнего задания. В завершении проводится рефлексия.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ

ХОД ЗАНЯТИЯ

Этап 1. Организационный этап – 3 минуты

Здравствуйте, уважаемые студенты!

Я рада приветствовать вас на занятии. Давайте отметим, кто сегодня отсутствует. Прошу старосту группы сообщить данную информацию. Спасибо.

Замечательно, давайте приступим к занятию. Надеюсь на вашу эффективную и плодотворную работу.

Этап 2. Проверка домашнего задания – 7 минут

Перед тем как перейти к теме текущего занятия, давайте вспомним, что рассматривали на прошлом занятии и проверим домашнюю работу.

Что рассмотрели на прошлом уроке?

Предполагаемый ответ студентов: методы решения СЛАУ.

Какие методы решения систем линейных уравнений мы рассмотрели на прошлом уроке?

Предполагаемый ответ студентов: метод обратной матрицы (матричный метод), метод Крамера.

Обменяйтесь тетрадями. На доске выведены верные ответы, проверьте соседа по парте и оцените его работу по следующим критериям:

Оценка «5» − все системы решены верно и указанными методами.

Оценка «4» − все системы решены указанными методами, но в решении допущены вычислительные ошибки, вследствие чего, некоторые неизвестные (1 или 2) определены не верно.

Оценка «3» − верно решена только одна система или обе решены, верно, но использован только один метод решения или обе решены указанными методами, но некоторые неизвестные (более 2) определены не верно.

Теперь давайте проанализируем успешность выполнения домашнего задания (по очереди поднимают руки те, кто выполнил домашнее задание на 3, на 4, на 5).

Этап 3. Актуализация знаний по теме урока – 10 минут

Перед тем как перейти к теме текущего занятия, давайте вспомним основные понятия систем линейных уравнений, которые нам пригодятся при изучении новой темы.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Какая система называется ступенчатой (системой канонического вида, треугольной, трапециевидной)?

Как записать расширенную матрицу системы?

Какие две системы называются равносильными (эквивалентными)?

Какие преобразования можно выполнять над системами, чтобы получать системы равносильные исходной?

В форме фронтального опроса студенты отвечают на вопросы, выведенные на экране. Преподаватель резюмирует полученные ответы, при необходимости задает дополнительные вопросы. В завершении работы − преподаватель подводит итоги.

Этап 4. Постановка проблемы, поиск путей решения посредством знакомства с теоретическими основами нового универсального метода – 35 минут 

Сегодня мы продолжаем работать с системами линейных алгебраических уравнений. Каким методом из изученных нами, можно решить систему, которая представлена на доске? Какие особенности у этой системы?

Предполагаемый ответ студентов: число неизвестных больше числа уравнений, не можем решить изученными методами.

Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна (не имеет решений), либо имеет бесконечно много решений. Осталось это выяснить. Но как? Изученные ранее методы нам не помогут. Но… существует ещё один метод решения систем линейных уравнений – метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Записываем в тетрадь тему урока: Решение систем алгебраических линейных уравнений методом Гаусса.

Давайте вместе сформулируем цель занятия. Как вы думаете, какая может быть цель занятия исходя из темы?

Студенты дают ответы на поставленный вопрос. Преподаватель слушает все предложения студентов, обобщает ответы и выводит цель занятия на доску.

Таким образом, цель сегодняшнего занятия: научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. Данный метод назван в честь великого математика Карла Фридрих Гаусса (на слайде выводится краткая историческая справка об ученном).

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса). Пример такой системы приведён в анимации на экране.

Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами?

Предполагаемый ответ студентов: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z, подставляя ее значение во вторе уравнение можно найти y, а затем и x.

Совершенно верно, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Давайте рассмотрим подробно алгоритм решения систем линейный уравнений методом Гаусса, который лежит у вас на партах (Приложение 1).

Студенты изучают предложенный алгоритм, делая краткие записи в тетрадях. В завершении – общий ход алгоритма резюмируется на экране преподавателем вместе со студентами.

Понятна ли суть метода Гаусса? Сможете решить систему данным методам?

Предполагаемый ответ студентов: суть понятна, но решить не сможем.

Давайте рассмотрим работу метода на конкретных примерах.

Студенты вместе с преподавателем решают системы линейных уравнений на разные случаи (одно решение, множество решений, нет решений). Студенты решают в тетрадях, задают вопросы, преподаватель организует решение так, что бы студенты решали немного быстрей и сверяли с доской отдельные этапы решения.

Этап 5. Закрепление пройденного материала – 20 минут

Теперь давайте закрепим полученные знания. Предлагаю решить систему самостоятельно. Задания для самостоятельного решения разноуровневые, исходя из того, насколько хорошо разобрались в алгоритме решения,  можете сами выбрать уровень задания:

1 уровень (зеленые карточки) – более простые задания, содержащие только три переменных (оценка «удовлетворительно»);

2 уровень (желтые карточки) − более сложные задания, системы содержат 4 переменных (оценка «хорошо»);

3 уровень (красные карточки) – усложненные задания (оценка «отлично»).

При этом, на карточке есть основное и дополнительное задание: если вы выбрали более легкую карточку, но быстро справились с первым заданием, можете решить дополнительное. В случае верного решения оценка карточки повысится на балл. При выборе красной карточки и успешном выполнении основного и дополнительного заданий – ставится дополнительная оценка. Время выполнения работы − 20 минут.

Студенты выбирают себе карточку и выполняют задание в ней, в случае возникновения затруднений, обращаются к преподавателю с вопросами.

Этап 6. Подведение итогов урока. Рефлексия – 5 минут

Уважаемые студенты, время, отведенное на выполнение задания, закончилось. Прошу остановить работу, карточки в конце урока соберут дежурные.

Преподаватель организует опрос студентов по результатам самостоятельного решения систем по каждому уровню сложности.

На следующем занятии я озвучу результаты выполнения работ, и мы проанализируем допущенные ошибки.

Домашнее задание − решить системы методом Гаусса с красной или желтой карточки (какую не решали на уроке.). Попрошу записать в тетрадь или сфотографировать.

Давайте подведем итоги урока, ответьте на следующие вопросы:

В чем преимущества метода Гаусса над другими методами решения систем линейных алгебраических уравнений? Есть ли недостатки (сложности) у метода с вашей точки зрения?

Предполагаемый ответ студентов: преимущества в том, что можно решить любую систему. Сложность в выполнении элементарных преобразований с матрицей.

В завершении занятия я попрошу вас, поднять карточку, в зависимости от Ваших ощущений после урока:

Зеленая карточка − я все понял и могу объяснить другим!

Желтая карточка − я все понял, но не уверен, что смогу объяснить другому.

Красная карточка − у меня остались некоторые вопросы.

Преподаватель анализирует полученные результаты опроса и подводит итоги занятия.

Уважаемые студенты, наше занятие окончено, спасибо за продуктивную работу. Дежурных попрошу собрать карточки и сдать на проверку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богомолов, Н. В. Математика : учебник для СПО / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., пер. и доп. — Москва : Юрайт, 2020. — 401 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт : [сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/449006 (дата обращения: 13.09.2023).
   Богомолов, Н. В. Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для СПО / Богомолов Н. В. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2018. — 285 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт : [сайт]. - URL: https://biblio-online.ru. (дата обращения: 13.09.2023).
2. Богомолов, Н. В. Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для СПО / Богомолов Н. В. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2018. — 364 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт : [сайт]. - URL: https://biblio-online.ru. (дата обращения: 13.09.2023).
3. Григорьев, В.П. Элементы высшей математики : учебник для СПО / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский, Т. Н. Сабурова. - 3-е издание, стереотипное - Москва : Академия, 2020. - 399, [1] с.
4. Гончаренко, В.М. Элементы высшей математики : учебник / В.М. Гончаренко, Л.В. Липагина, А.А. Рылов.  — Москва : КноРус, 2021. — 363 с. — ISBN 978-5-406-08264-5. — URL: https://book.ru/book/939287 (дата обращения: 13.09.2023).
5. Элементы высшей математики : учебное пособие для СПО / В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, М. М. Михалева [и др.] ; под редакцией Б. М. Веретенникова. — 2-е изд. — Саратов, Екатеринбург : Профобразование, Уральский федеральный университет, 2019. — 296 c. — ISBN 978-5-4488-0395-6, 978-5-7996-2795-9. — Текст : электронный // Электронный ресурс цифровой образовательной среды СПО PROFобразование : [сайт]. — URL: https://profspo.ru/books/87794 (дата обращения: 13.09.2023).

Приложение 1
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Приложение 2
КАРТОЧКИ С ЗАДАНИЯМИ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ

Задание для закрепления        Уровень 1

Фамилия Имя____________________________

Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Дополнительное задание

Верные ответы: (3;5;4),  нет решений

Задание для закрепления        Уровень 2

Фамилия Имя_____________________________

Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Дополнительное задание

Верные ответы: (1;1;1;1),  (-37/15; -23/15; -11/5;-2)

Задание для закрепления        Уровень 3

Фамилия Имя___________________________

Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Дополнительное задание

Верные ответы: (-17x3+29x4+5;10x3-17x4-2;x3;x4),