Зачёт по математике для обучающихся 1 курса СПО по специальности 090905 "Технология защиты информации"
учебно-методический материал по теме
Перечень вопросов и практических заданий для проведения промежуточной аттестации по дисциплине ЕН 01. Математика по специальности 090905 Технология защиты информации (базовая подготовка) в форме зачёта (2 семестр).
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 zachyot_po_matematike_1tzi-13s.docx | 36.5 КБ |
 Презентация "Комплексные числа" | 312 КБ |
| Презентация "Множества" | 880.5 КБ |
| Презентация "Теория вероятностей" | 570.15 КБ |
| Презентация "Математическая логика" | 1.47 МБ |
| Презентация "Вычеты. Сравнения по модулю m". | 335.5 КБ |
Предварительный просмотр:
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА мОСКВЫ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования города Москвы
Колледж городской инфраструктуры и строительства № 1
(ГБОУ КГИС № 1)
СОГЛАСОВАНО Председатель цикловой методической комиссии естественно-научного цикла __________________ /Е.А.Пархоменко/ «___»____________________ 2013г. | УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по УПР _________________/Е.В.Павлова/ «____» _________________2013г. |
Перечень вопросов
для проведения промежуточной аттестации по дисциплине
ЕН 01. Математика по специальности 090905 Технология защиты информации (базовая подготовка)
в форме зачета
2 семестр
Разделы:
Раздел 3. Математический анализ.
Раздел 4. Основы теории чисел.
Раздел 5. Основы дискретной математики.
Раздел 6. Комплексные числа.
Раздел 7. Основные численные методы.
Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Темы:
Тема 3.5. Дифференциальные уравнения.
Тема 3.6. Ряды.
Тема 4.1.Основы алгебры вычетов.
Тема 5.1. Множества и отношения.
Тема 6.1. Понятие о мнимых и комплексных числах.
Тема 7.1. Численное интегрирование и дифференцирование.
Тема 7.2.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 8.1. Основные понятия теории вероятностей.
Тема 8.2. Вероятность событий.
Тема 8.3. Основные понятия математической статистики.
Вопросы:
1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения.
3.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
4.Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
5.Дифференциальные уравнения в частных производных.
6.Дифференциальные уравнения линейные относительно частных производных.
7.Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.
8.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
9. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена.
10.Определение сходимости рядов по признаку Даламбера.
11.Числовые сравнения: сравнения и их основные свойства.
12.Полная система и приведенная система вычетов. Вычеты и классы вычетов по модулю m.
13. Понятие множества. Способы задания множеств, операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.
14.Основные тождества алгебры множеств. Отношения, свойства отношений.
15.Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация. Взаимно сопряжённые и противоположные комплексные числа.
16.Сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел, возведение в степень, заданных в алгебраической форме.
17.Численное интегрирование. Формулы прямоугольников. Формула трапеций.
18.Формула Симпсона. Оценка погрешности.
19.Формулы приближённого дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.
20.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Построение интегральной кривой.
21.Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.
22.Испытание и событие. Виды событий. Виды случайных событий. Операции над событиями.
23.Классическое определение вероятности события. Частота и вероятность события.
24. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.
Сумма и произведение событий.
25. Основные понятия математической статистики: понятие генеральной совокупности и выборки.
26.Эмпирическая функция распределения.
27.Статистическая обработка результатов опыта. Полигон, гистограмма относительных частот.
Преподаватель Е.А. Пархоменко
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА мОСКВЫ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования города Москвы
Колледж городской инфраструктуры и строительства № 1
(ГБОУ КГИС № 1)
СОГЛАСОВАНО Председатель цикловой методической комиссии естественно-научного цикла __________________ /Е.А.Пархоменко/ «___»____________________ 2013г. | УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по УПР _________________/Е.В.Павлова/ «____» _________________2013г. |
Перечень практических заданий
для проведения промежуточной аттестации по дисциплине
ЕН 01. Математика по специальности 090905 Технология защиты информации (базовая подготовка)
в форме зачета
2 семестр
1.Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
1); 2)
3); 4)
;
5).
2. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
1); 2)
; 3)
;
4); 5)
; 6)
.
3.Используя признак Даламбера, исследовать ряд на сходимость:
4. Найти формулу общего члена ряда:
1) 2+4+8+16+…; 2) 3)
4) 5+25+125+…; 5) 6)
5. Даны комплексные числа: ,
,
.
Вычислите: 1); 2)
; 3)
; 4)
; 5)
;
6); 7)
; 8)
; 9)
; 10)
.
6.Вычислите: а) (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7; б).
7.Выполните сложение и умножение комплексных чисел:
и
8.Построить комплексные числа:
1) -3; 2) -i; 3) 4)
;
5) -4; 6) i; 7) 8)
.
9.Решите уравнение в комплексных числах:
1) ; 2)
.
11. Разложить в ряд Маклорена функцию:
1) ; 2)
; 3)
12.Даны множества А=(1,2,3), В=(3,4). Найти
13.Изобразить на координатной плоскости множество М :
M = N R, где N — множество натуральных чисел, R— множество действительных чисел.
14. Изобразите геометрически множества D= {10, 11, 12 …98, 99} – множество двузначных натуральных чисел, F= {10, 20… 90} — множество чисел, оканчивающихся нулем.
15. Выписать все подмножества трехэлементного множества S={a,b,c}.
16. Установить последнюю цифру степени y=.
17. Доказать: (АВ)\А=
.
18.Доказать: А\(ВС) = (А\В)
(А\С).
19.Доказать: В (А\В) = А
В.
20. В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд. Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?
21. Произведено три выстрела по мишени. Рассматриваются такие элементарные события: А – попадание в мишень при i-том выстреле; – промах по мишени при i-том выстреле. Выразить через А и следующие события: А – все три попадания; В – ровно два попадания; С – все три промаха; D – хотя бы одно попадание; Е – больше одного попадания; F – не больше одного попадания.
22. В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из вазы наугад вынимают 2 цветка. Какова вероятность того, что эти цветки: а) оба белые;
б) оба красные; в) разного цвета; г) одного цвета.
23. Из шести карточек с буквами I, С, К, Ь, Н, М наугад одну за другой вынимают и раскладывают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что появится слово а) «НIС»; б) «CIM»?
24. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет поломка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не возникнет ни одной поломки за три смены?
25. Студент пришел на зачёт, зная только 30 вопросов из 50. Какова вероятность сдачи зачета, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один?
26. Из слова математика выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква а) гласной, б) буквой у?
27. Выбирается наугад одно из чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
а) Какова вероятность того, что это число будет четным?
б) Какова вероятность того, что оно будет четным и будет делиться на 3?
28. Лотерея состоит из 10000 билетов, среди них 1250 выигрышных. Какова вероятность, что наудачу купленный билет окажется выигрышным?
29. Из колоды в 36 карт выбирается наугад одна карта, какова вероятность, что это будет карта: а) черновой масти , б) картинка,
в) картинка червонной масти?
30. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу:
Количество проданных холодильников | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Число дней, в которые было продано столько холодильников | 3 | 7 | 8 | 9 | 2 | 1 |
Подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца.
31. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения
| 1 | 0 |
Р | p | q |
32. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения
X | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
p | 0,05 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,05 |
33.Случайная величина задана следующим рядом распределения
X | -1 | 0 | 1 | 2 |
p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.
34. Вычислить определенный интеграл dx численным методом прямоугольников.
35. Вычислить определенный интеграл dx численным методом трапеций.
Преподаватель Пархоменко Е.А.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.
Понятие комплексного числа Х+А=В - недостаточно положительных чисел А · Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на множестве рац.чисел Х ² =2 или Х ³ =5 - корни - иррациональные числа Х+5=2
Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа
Решение квадратных уравнений А · Х ² + В · Х+ С =0 При D<0 действительных корней нет Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + ?
Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + ? Комплексные числа
Вид комплексного числа Х ² =-1 Х = i -корень уравнения i - комплексное число, такое , что i ²=-1 А + В · i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ
А и В – действительные числа i - некоторый символ , такой, что i ²= -1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица А + В · i
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Модуль комплексного числа Z= А - В · i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В · i (Z) = Z Комплексно сопряженные числа . Z = A + B i =
Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ - аргумент аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ + i sin φ ) Для Z =0 аргумент не определяется
Т.к Z =r = Z= А + В · i= cos φ +i sin φ
Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение (A+iB) · (C+iD)= ( AC-BD)+(AD+BC)i
Если Z 1 = Z 2 , то получим Z²=[r (cos φ + i sin φ )]²= r² (cos2 φ + i sin 2 φ ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ + i sin φ )]²·r (cos φ + i sin φ )= r³ (cos3 φ + i sin 3 φ ) Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ + i sin φ )≠0 и любого натурального числа n
Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ω . Z= r (cos φ + i sin φ ) ω = ρ (cos ψ + i sin ψ ) Вторая формула Муавра
Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Теорема Гаусса : каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень
Пример: Решить уравнение:
Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Z 1 + Z 2 = Z 1 + Z 2 Z 1 · Z 2 = Z 1 · Z 2 Z 1 · (Z 2 + Z 3 )= Z 1 · Z 2 + Z 1 · Z 3 (Z 1 + Z 2 )+Z 3 = Z 1 +( Z 2 +Z 3 ) (Z 1 · Z 2 ) · Z 3 = Z 1 ·( Z 2 · Z 3 )
Геометрическое изображение суммы комплексных чисел
Вычитание и деление комплексных чисел Z + Z 2 = Z 1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z + Z 2 +(- Z 2 ) = Z 1 +(- Z 2 ) Z = Z 1 - Z 2 –разность Деление – операция, обратная умножению: Z · Z 2 = Z 1 Разделив обе части на Z 2 получим:
Геометрическое изображение разности комплексных чисел
Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел Решение:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие множества и элемента множества Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики и служит для описания совокупности предметов или объектов. Эти объекты, или элементы множества, считаются отличными друг от друга и от объектов не входящих в данное множество
Круги Эйлера Кто такой Леонард Эйлер? Что за таинственный круги Эйлера?
Леонард Эйлер Швейцарский математик. Член Петербургской Академии наук. В 1727 году по приглашению Петербургской академии наук приехал в Россию, где вырос в крупнейшего математика. Огромное научное наследие Эйлера, в списке его трудов более 800 названий. 1723 – окончание Швейцарского университета; 1727 – член Санкт-Петербургской Академии наук; 1733 – унаследование кафедры математики от Бернулли-Даниэля ; 1741 – вошёл в состав Берлинской академии наук; 1745 – Создание теоремы гомогенных функциях и формулировка теории конвергенции; 1748 - публикация труда «Элементы алгебры»; 1766 – переезд в Россию; 1768 и 1772 – создал «Письма германской принцессе»; 1783 – формулировка закона обратной связи (1707 – 1783) ДАЛЕЕ
Круги Эйлера Наглядное отношение между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругам Эйлера. Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют при помощи кругов. Например, отношение включения между множествами А=( a, b, c, d, e ) и В=( c, d, e ) можно представить при помощи кругов Эйлера так: А В ДАЛЕЕ вопросы
Способы задания множеств Задать множество, это значит указать способ с помощью которого можно сказать о любом объекте принадлежит он данному множеству или нет. Выделяют два способа задания множеств: 1. Перечисление всех элементов множества 2. С помощью характеристического свойства Характеристическое свойство – это свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. ПРИМЕР : А – множество натуральных нечетных однозначных чисел А = (1,3,5,7,9) В – множество натуральных чисел не меньших 5 В = (5,6,7,8…)
Отношения между множествами МНОЖЕСТВА не пересекаются пересекаются А А А В A={a,b,c,d} B={a,e,f,k} А В А= {a, d, c, d} B={1, 2, 3} A={2,4,6,8} B={8,6,4,2} В В A={1,2,3} B={1,2,3,4}
Примеры отношения между множествами 1. А – множество чётных чисел; В – множество чисел кратных 3. А = (2, 4, 6 , 8, 10, 12 …) В = (3, 6 , 9, 12 …) А В А – множество квадратов; В – множество прямоугольников. Всякий квадрат является прямоугольником, обратное не справедливо А В
Действия над множествами Пересечение множеств Объединение множеств Пересечение множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. Даны два множества: А=(2,4,6,8) и В=(5,6,7,8,9)ю Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С=(6,8). Так, полученное множество С называют пересечение множеств А и В. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В . Найдём объединение множеств А и В, если А=(26,39,5,58,17,81), В=(17,26,58)
Законы пересечения и объединения множеств Переместительный закон объединения множеств Переместительный закон пересечения множеств Сочетательный закон объединения множеств Сочетательный закон пересечения множеств Распределительный закон пересечения относительно объединения Распределительный закон объединения относительно пересечения
Переместительный закон объединения множеств А U В = В U А для любых А и В
Переместительный закон пересечения множеств А U В = В U А
Сочетательный закон объединения множеств А, В, С (А U В) U С = А U (В U С)
Сочетательный закон пересечения множеств А, В, С (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)
Распределительный закон пересечения относительно объединения (А U В) ∩ С = (А ∩ С) U (В ∩ С)
Распределительный закон объединения относительно пересечения (А ∩ В) U С = (А U С) ∩ (В U С)
Дополнение подмножества Пусть В содержится в А . Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А , которые на принадлежат множеству В . Обозначается: А / В х Є А/В ↔ х Є А и х Є В
Пример Если А= { 1,2,3,5 } ; В= { 1,5 } , то А/В= { 2,3 } А – множество четных натуральных чисел; В – множество натуральных чисел, кратных 4 Так как , В с А , то А/В – множество натуральных чисел, не кратных 4
Декартово умножение множеств Кто такой Рене Декарт? Что такое декартово произведение множеств?
Рене Декарт (1596-1650) Знаменитый философ и математик. Он стремился и в философии и в науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Декарт хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому, овладевшему им, решать любую задачу. 1596 – родился во французском городке Лаэ; 1616 – способ установления связи между точками и числами; 1637 – 1637 – водит в математику метод координат, который позволяет сводить геометрические задачи к алгебраическим; 1650 – умер в связи тяжелой болезни
Декартово умножение множеств Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А , а вторая компонента принадлежит множеству В . Обозначается: А х В ПРИМЕР : Если А= { 1,3,5 } , В= { 2,4 } то А х В = { (1,2)(1,4)(3,2)(3,4)(5,2)(5,4) }
Свойства А х В ≠ В х А – не подчиняется переместительному закону; (А х В) х С ≠ А х (В х С) – не подчиняется сочетательному закону; (А U В) х С = (А х С) U (В х С).
Графическое изображение декартова произведения двух множеств на координатной плоскости А= { 2,4,6 } ; В= { 1,3 } А х В= { (2,1)(2,3)(4,1)(4,3)(6,1)(6,3) } 1 1 1 2. А= [ 1,5 ] , В= { 3,5,7 }
3. А= { 1,2,3 } В= [ -1,3 ] 4. А= [ -1,3 ] В= [ 2,5 ] 6. А= { -2,3 } В= R 5. А= R В= [ -2,3 ]
ТЕСТИРОВАНИЕ НА УСВОЕНИЕ МАТЕРИАЛА
Вопрос №1 Понятие множества является одним из основных неопределённых понятий математики и служит для описания… Совокупности предметов или объектов Математических действий Совокупности явлений природы
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 2 Знаменитые круги… Ньютона Эйлера Ломоносова
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 3 Годы жизни швейцарского математика Леонарда Эйлера… 1658 – 1698 1707 – 1756 1707 – 1783
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 4 Наглядное отношение между множествами изображают при помощи… квадратов кругов треугольников
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз !
Вопрос № 5 В отношении между собой множества … не пересекаются и пересекаются сочетаются и не сочетаются пересекаются и сочетаются
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 6 Действия над множествами… сложение и вычитание множеств пересечение и объединение множеств умножение и деление множеств
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 7 (А U В) ∩ С = (А ∩ С) U (В ∩ С) Сочетательный закон пересечения множеств Распределительный закон пересечения относительно объединения Распределительный закон объединения относительно пересечения
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 8 переместительный закон пересечения множеств Сочетательный закон объединения множеств Переместительный закон объединения А U В = В U А
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз !
Вопрос № 9 Распределительный закон пересечения относительного объединения Распределительный закон объединения относительного пересечения Переместительный закон объединения множеств (А ∩ В) U С = (А U С) ∩ (В U С)
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 10 Сочетательный закон пересечения множеств Сочетательный закон объединения множеств Переместительный закон пересечения множеств (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
Вопрос № 11 Какое множество является дополнением С до D , если С= { 43,44 } ; D = { 41,42,43,44,45 } D /С = { 41,42,45 } ; D /С = { 43,44 } ; D /С = { 41,42,43,44,45 } ;
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 12 А = { а, в } ; В = { с, d } Является ли С декартовым произведением множеств А и В, если С = { (а, с), (а, d ), (в, с), (в, d ) } ; С = { (а, d ), (в, d ), (а, с) } ; С = { (а, d ), (в, d ), (с, d ), (а, с) } ;
МОЛОДЕЦ! СЛЕДУЙ ДАЛЬШЕ
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Вопрос № 13 Какая фигура является графическим изображением А х В, если А = { 2,5,6 } ; В = { -2,5 } Прямоугольник; Три параллельных отрезка; Полоса.
БУДЬ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ! Попробуй ещё раз!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Немного о теории вероятностей История возникновения теории вероятностей Парадокс Монти Холла Знаменитая задача Паччиоли
Немного о теории вероятностей С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными явлениями нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны.
"Теория вероятностей изучает случайные события. Каждому случайному событию приписывается число, которое называется его вероятностью. Это число характеризует шансы, что событие произойдет. Если неограниченно увеличивать число повторений опыта, то относительная частота появления события будет устойчиво к некоторой фиксированной величине и отклоняться от нее тем меньше и реже, чем больше количество опытов. Эта величина и является вероятностью события."
История возникновения теории вероятностей Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.
Блез Паскаль (1623 — 1662) Пьер Ферма (1601 — 1665)
Парадокс Монти Холла Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу. Монти Холл
Задача Паччиоли Двое играют в некоторую игру, где шансы на победу у каждого игрока одинаковы. Игроки договорились играть до 6 побед, но игра остановилась, когда у одного было 5 побед, а у другого 3. Как следует разделить приз ? Паччиоли считал, что приз надо делить пропорционально количеству выигранных партий. Однако правильный ответ не так прост.
Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).
Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов.
Якоб Бернулли Пьер-Симон Лаплас
Симеон Дени Пуассон Пафнутий Львович Чебышев
Андрей Андреевич Марков Александр Михайлович Ляпунов
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Предисловие Что такое логика? - История изучения - Высказывания Алгебра логики - Действия над высказываниями - Приоритет выполнения операций - Законы алгебры логики Примеры решения задач Предикаты Заключение
Предисловие В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда не знаем, как прийти к выводу из предпосылок и получить истинное знание о предмете размышления. Логика служит одним из инструментов почти любой науки. Пример тому школьный курс математики.
Предмет логики Логика ( др.-греч . « λογική » — «искусство рассуждения») — наука, изучающая законы и формы мышления.
История Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г.г до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой. Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением. Реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Высказывания Высказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Обычно высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами, а само предложение заключается в фигурные скобки. Понятие высказывания является исходным понятием математической логики.
Алгебра высказываний Дизъюнкция Импликация Эквиваленция Строгая дизъюнкция Конъюнкция Действия над высказываниями Отрицание
Приоритет выполнения операций Аν (В ~С) ∧ А → ( ВνС ) 1. Действия в скобках 1 1 2 3 4 5 5. Импликация, эквиваленция, строгая дизъюнкция 4. Дизъюнкция 3. Конъюнкция 2. Отрицание
Законы математической логики Коммутативность А В ν Ассоциативность А ν В ν С ( ) А ∧ В ∧ С ( ) Дистрибутивность А В ∧ А ν В ∧ С ( ) А ν ( ) А ∧ В ν С ( ) А ∧ ( ) Законы де Моргана А В ν ∧ А В ν ∧
Законы алгебры логики 1. А = А 2. А ν А = А 3. А ∧ А = А 4. А ν А = I 5. A ν (A ν A) = I 6. A ∧ (A ∧ A) = A 7. L = I 8. A ν L = A 9. A ∧ L = A 10. A ∧ A = L I – тождественно-истинное высказывание L – тождественно-ложное высказывание
Отрицание А А И Л Л И Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А истинно и В истинно, когда А ложно.
Дизъюнкция Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ , ложное лишь в том случае, если оба высказывания А и В ложные. А В А ν В и и и и л и л и и л л л АνВ ≡ { Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли } A ≡ { Луна - спутник Земли } В ≡ { Солнце- спутник Земли }
импликация Импликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь в том случае, когда высказывание А – истинное и В – ложное. А В А → В и и и и л л л и и л л и A ≡ { Лето жаркое }, B ≡ { Зима будет холодной } А→В ≡ {E сли лето жаркое, то зима будет холодной. }
конъюнкция Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное лишь в том случае, если оба высказывания А и В истинные. А В А ∧ В и и и и л л л и л л л л A ≡ { Наталья учится в 11 а классе } В ≡ { Людмила учится в 11 а классе } 11 а класс А∧В ≡ { Наталья и Людмила учатся вместе в 11 а классе }
эквиваленция Эквиваленцией высказываний А и В называется такое высказывание А~В, истинное когда А и В – оба истинные или оба ложные высказывания. A ≡ { Убийство раскрыто }, B ≡ { Есть свидетели } Для того чтобы раскрыть убийство необходимо и достаточно найти свидетелей. А В А ~ В и и и и л л л и л л л и
Строгая дизъюнкция Строгой дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А ⊕ В, истинное лишь в случаях, когда А – истинное и В – ложное высказывание или А – ложное и В – истинное высказывание. А В А ⊕ В и и л и л и л и и л л л А ≡ { Сейчас Ксюша в Москве } В ≡ { Сейчас Ксюша в Лондоне } А ⊕ В ≡ { Сейчас Ксюша в Москве или Лондоне }
Тогда, слушайте загадку! Да, капитан! Так точно, капитан! Я не слышу!! Согласно инструкции я должен находиться на судне всегда, за исключением случаев, когда с судна выгружают груз, если же груз не выгружают, то рулевой никогда не отсутствует, если не отсутствую и я. В каких случаях рулевой обязан присутствовать на судне? Вы готовы дети?
Разгадали? Давайте проверим Пусть А≡{Капитан присутствует на судне}, В≡{С судна выгружают груз}, С≡{Рулевой присутствует на судне}, тогда (В → А) и ( B→ (A→C) ) – истинные высказывания. Конъюнкция истинных высказываний истинна, т.е. (B→A) ∧( B→ (A→C))=( BvA )(B→(Av С ))= ( BvA )( Bv (Av С ))= BvA (Av С )= BvLvAC = BvAC = B→AC. Проанализировав полученное, выяснили, что рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз. Ответ: рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз.
Предикаты Утверждение, зависящее от переменной, заданной на определенном множестве и обращающееся в верное высказывание при конкретном значении переменной, называется неопределенным высказыванием или предикатом. A ( х ) ≡ {d=x+34} d
Множеством истинности предиката Р( х ), заданного на множестве М, называют множество таких значений х , при которых высказывание Р( х ) истинно. -города Российской Федерации. A ≡ { Город Х находится в Российской Федерации }
Для предикатов характерны те же действия, что и для высказываний, а именно: Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция и др. ПРЕДИКАТЫ К примеру, система уравнений есть конъюнкция предикатов: х-1=5; х 2 =36; х=6; х=-6; х=6; х=6 Р1( х )=х-1=5; Р2( х )=х 2 =36; Р1( х ) ∧Р2( х )=6; (х-1=5)∧ (х 2 =36); (х=6) ∧((х=-6 ) ν (х=6)); х=6 Ответ: {6}
Кванторы Одним из способов получения высказываний из предикатов является навешивание кванторов. Для этого перед предикатом пишут кванторы – слова, описывающие его множество истинности. А Е Квантор существования Квантор всеобщности
квантор существования « ∃» Квантор существования — это символ, обозначающий единственное существование и читается как «существует» или «для некоторого». Из предиката {Ученик X Лицея №1 сдал ЕГЭ по математике на 100 баллов } получаются высказывание: {Найдется такой ученик Лицея №1, который сдаст ЕГЭ по математике на 100 баллов}
квантор всеобщности «∀» Квантор всеобщности — это символ, обозначающий всеобщность и читается как «для любого» или «для всех». Из предиката {Ученик X Лицея №1 сдал ЕГЭ по математике на 100 баллов } получаются высказывание : {Все ученики Лицея №1 сдали ЕГЭ по математике на 100 баллов}
Заключение Таким образом, мы познакомились с основными понятиями алгебры логики, научились выполнять операции с высказываниями, определенными и неопределёнными .
Использованная литература Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала анализа. http://ru.wikipedia.org
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН по дисциплине ЕН.01. Математика Специальность 090905 Организация и технология защиты информации на базе 11 классов.
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАНпо дисциплине ЕН.01. МатематикаСпециальность/профессия ...
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.01 МАТЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 090905 ОРГАНИЗАЦИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ на базе 11 классов
РАБОЧАЯ ПРОГРАММАУЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.01 МАТЕМАТИКАСПЕЦИАЛЬНОСТЬ 090905 ОРГАНИЗАЦИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ СОДЕРЖАНИЕ...
презентация для открытого урока по дисциплины "документоведение" для специальности "организация и технология защиты информации"
Приложение к открытому уроку по дисциплины "документоведение" для специальности "организация и технология защиты информации"...
Контрольно-измерительные материалы для проведения зачета по дисциплине «Математика» по специальности 090905 «Организация и технология защиты информации» (на базе 11 классов) для обучающихся 1 курса
Контрольно-измерительные материалыдля проведения зачетапо дисциплине «Математика»по специальности 090905 «Организация и технология защиты информации»(на базе 11 классов)для обучающихся 1 курса Пояснит...
Методические указания по организации выполнения и защиты выпускной квалификационной работы специальность 090905 Организация и технология защиты информации
Методические указания предназначены для студентов и преподавателей, учавствующих в организации выполнения и защиты выпускной квалификационной работы....
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по подготовке ВКР для обучающихся специальности 10.02.01 (090905) «Организация и технология защиты информации»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по подготовке, выполнению, оформлению и защите выпускной квалификационной работы (дипломной работы) для обучающихся специальности 10.02.01 (090905) «Организация и техно...
Рабочая программа по профессиональному модулюПМ.02 Защита информации в автоматизированных системах программными и программно-аппаратными средствами МДК.02.01 Программные и программно-аппаратные средства защиты информации
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА профессионального модуля ПМ.02 Защита информации в автоматизированных системах программными и программно-аппаратными средствами МДК.02.01 Программные и программно-аппаратные средства...