Построение графиков функций при помощи геометрических преобразований
презентация к уроку

Слайд 1

Построение графиков функций при помощи геометрических преобразований

Слайд 2

Цель занятия: Научиться строить графики сложных функций путем геометрических преобразований графиков элементарных функций Задачи: Рассмотреть возможные направления преобразований графиков функций. Изучить, к каким изменениям в графиках функций приводит появление числовых слагаемых, коэффициентов, знаков модуля в записи формулы функции. Научиться использовать теоретические сведения об изменениях формы графиков для решения практических задач. Исследовать нетипичные способы геометрических преобразований для построения графиков функций. Выработать критерии выбора способа построения графика функции.

Слайд 3

Направления преобразований графиков Преобразования вдоль оси ординат Преобразования вдоль оси абсцисс x y x y

Слайд 4

y=f(x) Преобразования графика функции f(x) +b параллельный перенос на | b | единиц: - вверх , если b >0 - вниз , если b <0 x y y=f(x)+5 y=f(x) y=f(x)-5 -5 5 Преобразования вдоль оси ординат

Слайд 5

преобразования вдоль оси ординат y= f(x) преобразования графика функции f(x) k - растяжение вдоль oY у k раз, если k >1 x y y=2f(x) y=f(x) 4 8

Слайд 6

преобразования вдоль оси ординат y= f(x) преобразования графика функции f(x) k x y y=f(x) y= 1/2 f(x) 2 4 - сжатие вдоль oY в k раз, если 0< k <1

Слайд 7

преобразования вдоль оси ординат y= f(x) преобразования графика функции f(x) k - симметричное отображение относительно оси абсцисс , если k =-1 x y y=f(x) -4 4 y= - f(x)

Слайд 8

преобразования вдоль оси ординат y= f(x) преобразования графика функции f(x) | | 1) сохранение частей , которые лежат над осью oX x y y=|f(x)| y=f(x) 2) симетричное отображение частей , которые лежат ниже оси oX

Слайд 9

преобразования вдоль оси абсцис y=f(x ) преобразования графика функции f(x) + a паралельный перенос на | a | единиц: - влево , если a >0 - вправо , если a <0 x y y=f(x +3 ) y=f(x) y=f(x -3 )

Слайд 10

преобразования вдоль оси абсцис y=f( x) преобразования графика функции f(x) k - сжатие вдоль oX в k раз, если k >1 x y y=f(2x) y=f(x)

Слайд 11

преобразования вдоль оси абсцис y=f( x) преобразования графика функции f(x) k - растяжение вдоль oX в k раз, если 0< k <1 x y y = f ( 1 / 2 x ) y=f(x)

Слайд 12

преобразования графика функции f(x) - симметричное отображение относительно оси ординат , если k =-1 x y y=f(x) y= f( - x) y=f( x) k преобразования вдоль оси абсцис

Слайд 13

y=f ( x ) преобразования графика функции f(x) | | 1) отбрасывание части , которая лежит левее oY x y y=f(|x|) y=f(x) 2) сохранение и симметричное отображение части , которая лежит правее oY преобразования вдоль оси абсцис

Слайд 14

Примеры построения графиков функций при помощи геометрических преобразований

Слайд 15

Пример 1 При помощи геометрических преобразований графика функции y=x 2 постройте график функции y=-2(x-3) 2 +7 1 шаг параллельный перенос на 3 единицы вправо 2 шаг симметричное отображение относительно oX 3 шаг растяжение в 2 раза вдоль oY 4 шаг параллельный перенос на 7 единиц вверх - 2 +7 -3

Слайд 16

Пример 1 Построение графика y=x 2 1 шаг: y= ( x -3 ) 2 2 шаг: y= - ( x -3) 2 3 шаг: y= - 2 ( x -3) 2 4 шаг: y= -2( x -3) 2 +7 параллельный перенос вправо на 3 единицы симметричное отображение относительно oX растяжение в 2 раза вдоль oY параллельный перенос вверх на 7 единиц x y y= -2( x -3) 2 +7 y=-2(x-3) 2 +7

Слайд 17

Пример 2 При помощи геометрических преобразований графика функции y=x 2 постройте график функции y=|x 2 -6x+4| Выделим полний квадрат из квадратного трехчлена: |x 2 -6x+4| = |(x 2 -2 . x . 3+3 2 )-3 2 +4|=|(x-3) 2 -5| Следовательно необходимо построить график функции y=| (x-3) 2 -5 |

Слайд 18

Пример 2 Построение графика y=x 2 1 шаг: y= (x -3 ) 2 2 шаг: y= (x-3) 2 -5 3 шаг: y= | (x-3) 2 -5 | параллельный перенос вправо на 3 единицы параллельный перенос вниз на 5 единиц сохранение частей, которые лежат над осью oX ; симметричное отображение частей, которые лежат ниже оси oX x y y=| ( x -3) 2 -5| y=| (x-3) 2 -5 |

Слайд 19

Пример 3 При помощи геометрических преобразований графика функции y=√x постройте график функции 1 шаг параллельный перенос на 1 единицу влево 2 шаг растяжение в 3 раза вдоль oY 3 шаг параллельный перенос на 4 единицы вниз 4 шаг отбрасывание части, которая лежит левее oY сохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oY.

Слайд 20

Пример 3 Построение графика 1 шаг: 2 шаг: 3 шаг: 4 шаг: параллельный перенос влево на 1 единицу растяжение в 3 раза вдоль oY параллельный перенос вниз на 4 единицы отбрасывание части, которая лежит левее oY сохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oY x y

Слайд 21

Отдельные случаи построения графиков при помощи геометрических преобразований

Слайд 22

Сложение графиков Постройте график функции y=|x+1|+|x-1| 1 шаг: построим график функции y=|x+1| 2 шаг: построим график функции y=|x-1| 3 шаг: y =|x+1|+|x-1| Ординату искомого графика получаем сложением ординат двух построенных графиков в той самой точке x y y =|x+1|+|x-1|

Слайд 23

Деление графиков Постройте схематически график функции y=1/f(x) , если известен график функции y=f(x) 1 шаг: Предположим, график функции y=f(x) имеет такой вид 2 шаг: Построим вертикальные асимптоты для графика y=1/f(x) . Они будут проходить через точки пересечения графика y=f(x) и оси oX . 3 шаг: Точки графика y=f(x) с ординатами y=1 и y=-1 будут общими для обоих графиков. y = 1/ f(x) 4 шаг: Для точек графика y=f(x) с положительными ординатами соответствующие точки графика y=1/f(x) будут иметь также положительные ординаты, а для отрицательных – отрицательные. Чим больше по модулю ордината точки графика y=f(x) , тем в большей мере график y=1/f(x) приближается к оси oX и наоборот. x y

Слайд 24

Сравнение методов сложения и деления графиков построим методом сложения и методом деления график функции и сравним результаты Выполним преобразования выражения для сложения графиков для деления графиков y = y 1 + y 2 y = 1/ y 3

Слайд 25

Сложение графиков построим график функции 1 шаг: построим график функции y=x 2 шаг: построим график функции y=1/x 3 шаг: Ординату искомого графика получим сложением ординат построенных графиков в той самой точке x y Построенный график имеет две асимптоты: - вертикальную x=0 ; - наклонную y=x .

Слайд 26

Деление графиков построим график функции 1 шаг: Предположим, нам известен график функции 2 шаг: построим вертикальную асимптоту для графика y=1/y 3 . Она будет проходить через точку пересечения графика y 3 =f(x) с осью oX . 3 шаг: график y 3 =f(x) не имеет точек с ординатами y=1 и y=-1 . Следовательно, общие точки графиков функций y 3 =f(x) и y=1/y 3 отсутствуют. 4 шаг: Для точек графика y 3 =f(x) с положительными ординатами соответствующие точки графика y=1/y 3 будут иметь также положительные ординаты, а для отрицательных – отрицательные. Чем больше по модулю ордината точки графика y 3 =f(x) , тем больше график y=1/y 3 приближается к оси oX и наоборот x y y - 1 / 2 -2 1 / 2 2

Слайд 27

Сложение графиков x y Сравнение результатов Деление графиков x y - 1 / 2 -2 1 / 2 2 1)Графики идентичны, но график, который построен сложением, точно определяет еще и наклонную асимптоту. 2)Суммировать ординаты легче, чем оценивать пропорции их изменения. Вывод : Для построения графика выбираем тот способ, который обеспечивает более информативный результат и является более удобным в применении.

Слайд 28

Успехов в изучении математики!

Слайд 29

Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы ) 7-е изд., стереотипное.—М.: МЦНМО, 2006. - 120 с. Гурский И. П.Функции и построение графиков. Пособие для учителей. Изд. 3-е, испр . и доп. М., «Просвещение», 1968. - 215 с . Дороднов А. М., Острецов И. Н., Петросов В. А., Приходов В. Ю., Сафонов И. Б.. Графики функций. Учеб. пособие для поступающих в вузы. М., « Высш . школа», 1972, - 104 с . Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций: Кн. для учителя М.: Просвещение, 1984, - 80 с . Список использованных информационных ресурсов