Открытый урок «Применение интеграла к решению физических задач»
план-конспект урока
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 162.7 КБ |
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ | |
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Кстовский нефтяной техникум имени Бориса Ивановича Корнилова» | |
2017 | Система качества образовательного учреждения |
Открытый урок |
Тема урока: «Применение интеграла к решению физических задач»
Выполнила преподаватель информатики
Н.В. Бирюкова
Кстово
2017
Девиз урока: «Математика – язык, на котором говорят все точные науки» Н.И. Лобачевский
Цель урока:
- обобщить знания обучающихся по теме «Интеграл», «Применение интеграла»;
- расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использования интеграла для решения прикладных задач;
- прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи.
Цели педагогической деятельности.
Личностные:
- умение определять границу усвоенных знаний, ясно и чётко ставить перед собой новые задачи;
- умение излагать свои мысли в устной речи, выстраивать аргументацию;
- навык работы как в группе, так и самостоятельно;
- ценностно-эмоциональное отношение к изучаемому математическому содержанию с общекультурных позиций.
Метапредметные:
- умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогии,
- способность к выдвижению гипотез при решении учебных задач;
- развитие способности к интерпретации;
- представление о математике как средстве моделирования явлений окружающего мира.
Предметные:
- уметь решать прикладные задачи с помощью интегрирования;
- навык использования терминов «первообразная», «интеграл»,
- навык построения речевых высказываний с использованием специальной терминологии;
- навык вычисления интегралов;
- умение распознавать первообразные функции в примерах из реальной жизни.
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Вид урока: урок – защита проекта «Применение интеграла».
Оборудование:
технические: интерактивная доска, проектор;
дидактические: карточки для самостоятельной работы, учебная презентация.
Структура урока:
- Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Защита проекта«Применение интеграла»:
- из истории интегрального исчисления;
- свойства интеграла;
- применение интеграла в математике;
- применение интеграла в физике.
4. Закрепление нового материала.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Приветствие. Объявление темы урока. Постановка целей и задач урока.
2.Актуализация опорных знаний.
Преподаватель: Выполним устное упражнение. Я буду говорить утверждение или правило, а вы должны сделать вывод: верно или неверно оно (если верное – руки не поднимают, если неверное – поднимают руки и объясняют, почему).
- Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу. (верно)
- Если f непрерывная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна первообразной на этом отрезке. (неверно,
f – непрерывная и неотрицательная)
- Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. (верно)
- Интеграл от положительной функции есть площадь ее подграфика. (верно)
Преподаватель: Выполните задания, представленные в презентации: ответьте на вопросы теста и вычислите первообразную.
Преподаватель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
3.Защита проекта «Применение интеграла».
Преподаватель: Студенты группы провели большую работу, они подобрали задачи, в которых применяется определенный интеграл.
1 студент: Из истории интегрального исчисления
2 студент: Свойства интеграла
3 студент: Применение интеграла
Интеграл Sn | |
Математика
| Физика
|
4 студент: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а х b, f(х) 0 вычисляется по формуле
рис.1
При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи:
а) фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (рис.1). Площадь этой фигуры находится по формуле 1;
б) фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b. Площадь находится по формуле:
.
рис.2
в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.
рис.3
г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у =(х).
рис.4
5 студент:
Вычисление площадей плоских фигур
Задача 1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
х-2у+4=0 и х+у-5=0 и у=0
SAMN= иSNMC=
6 студент: Просмотр видеоролика.
Задача 2
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: у=, х=1,х=2, у=0(у>0)
7 студент: Интеграл, широко применяющийся в физике.
1. Задача о нахождении пути по заданной скорости.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .
Задача 3
Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
8 студент
Задача 4
Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v = (39,2—9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
S=
9 студент
2. Задача о вычислении работы переменной силы.
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формулеА=При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон
Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.
Задача 5
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
А=
10 студент
3. Задача о вычислении количества электричества
Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени [t1:t2] при известной силе тока I=I(t) вычисляется по формуле q =
Задача 6
Вычислите количество электричества,
протекшего по проводу за промежуток времени [3:4], если сила тока задается формулой I(t)=3-2t
Решение:q = =
кл
4.Закрепление нового материала.
Преподаватель: У вас на столах находятся таблица и задачи. Используя данную таблицу, найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности (1 вариант); в) работу за промежуток времени; г) работу по переносу единичной массы (2 вариант).
Физические приложения интеграла
Величины | Вычисление производной | Вычисление интеграла |
А – работа; F – сила; N - мощность. | F(x)=A' (x); N(t)=A' (t). | A=; A= |
m –масса тонкого стержня p – линейная плотность | P(x)=m' (x). | m= |
Q –электрический заряд; I – сила тока. | I(t)=q' (t) | Q= |
S –перемещение; v –скорость. | V(t)=S' (t) | S= |
Q –количество теплоты; с – теплоёмкость. | C(t)=Q' (t) | Q= |
Самостоятельная работа
Вариант 1 | Вариант 2 |
|
|
|
на участке [ -1;2]. |
5.Подведение итогов.
Сегодня мы завершили тему «Интеграл», рассмотрели всё многообразие прикладных задач, которые решаются с помощью интеграла, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, объемы фигур, рассмотрели применение интеграла на практике. Задачи, которые мы решили, могут встретиться вам на занятиях по специальным дисциплинам или в вашей будущей профессиональной деятельности. Думаю, выс ними успешно справитесь.
6.Домашнее задание.
1) Скорость движения тела задана уравнением V=(6t2+4)м/с. Найдите путь, пройденный за 5с от начала движения.
2) Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее 0,01м нужна сила 10 Н.
Методическая литература:
- Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.
- Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» М.И. Башмаков. Дидактические материалы/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь и др..
- Интернет-ресурсы: Википедия.
приложение
Физические приложения интеграла
Величины | Вычисление производной | Вычисление интеграла |
А – работа; F – сила; N - мощность. | F(x)=A' (x); N(t)=A' (t). | A=; A= |
m –масса тонкого стержня p – линейная плотность | P(x)=m' (x). | m= |
Q –электрический заряд; I – сила тока. | I(t)=q' (t) | Q= |
S –перемещение; v –скорость. | V(t)=S' (t) | S= |
Q –количество теплоты; с – теплоёмкость. | C(t)=Q' (t) | Q= |
Самостоятельная работа
Вариант 1 | Вариант 2 |
|
|
|
на участке[-1;2]. |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Применение производной при решении физических задач.
Чем же отличается интегрированное занятие от обычного? Сравнительный анализ показывает, что отличие, прежде всего, состоит в специфике учебного материала, на нём рассматриваемого или изу...
![](/sites/default/files/pictures/2019/04/14/picture-374924-1555263151.jpg)
Учебно – методическое пособие по физике Рабочая тетрадь дидактических материалов для самостоятельного решения физических задач по теме «Основы молекулярно-кинетической теории» для всех специальностей 1 курса
Пособие состоит из заданий для самостоятельной работы студентов по физике по теме « Основы молекулярно-кинетической теории» для всех специальностей.Задания содержат перечень вопросов...
![](/sites/default/files/pictures/2019/09/19/picture-1164958-1568884196.jpg)
Методическая разработка открытого урока «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»
Методическая разработкаоткрытого урокапо дисциплине «Математика» Тема: «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»...
Открытый урок. Фитбол – как средство оздоровительной физической культуры.
Повысить мышечный тонус, улучшить их взаимную координацию, развитиеглубинных мышц, формирование мышечного корсета, тренировка вестибулярногоаппарата, развитие координации движений – исключая наг...
![](/sites/default/files/pictures/2019/12/08/picture-1197307-1575829616.jpg)
Урок 9 класс ТЕМА: « Применение элементов векторной геометрии в решении физических задач» ( интегрированный урок физики и математики)
Цель:1. Повторение основных определений темы. 2.Формирование умений практического применения действий над...
![](/sites/default/files/pictures/2017/09/10/picture-740759-1505027018.jpg)
Элективный курс «Практикум по решению физических задач» предназначен для учащихся 10-11 классов.
Программа элективного курса отличается от общеобразовательной программы по физике тем, что дает возможность учащимся, обучающимся в образовательных классах хорошо овладеть навыками решения задач...
![](/sites/default/files/pictures/2017/09/10/picture-740759-1505027018.jpg)
Дополнительная образовательная программа по физике «Методы решения физических задач»
Решение же задач позволит учащемуся включиться в познавательную деятельность, найти для решения задачу по силам. Предлагаемый элективный курс предназначен для изучения в 8-9 классах в рамках пре...