Методические рекомендации для студентов 2 курса по выполнению практической работы по дисциплине "Математика" по теме "Арифметические действия с матрицами и вычисление определителей второго и третьего порядков "
методическая разработка

Практическая работа №1

Тема: арифметические действия с  матрицами и вычисление определителей второго и третьего порядков

Цель: научиться выполнять арифметические действия с матрицами и вычислять определители второго и третьего порядков разными способами

Материалы:

1. Теоретические сведения и примеры решения задач к практической работе.

2. Рекомендуемая литература:

Основные источники

1. Афанасьев О.Н. Математика для техникумов. – М., Издательский центр «Академия», 2003.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Лань, 2009

4. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач  по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

5. Дадаян А.В. Математика:Учебник 2-е изд. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2014

6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. пособие для техникумов. – М.:  Высш.шк., 1991. – 480 с.: ил.

Дополнительная литература

1. Богомолов В.С. Основы высшей математики. – М., Издательский центр «Академия»,  2007.

2.Веретенников В.Н. Высшая математика. Множества. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра. Учебные пособия. – СПб.: РГГМУ, 2004.

3. Виноградов И. М.Элементы высшей математики. -  М: Высш. шк., 2007.

4. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф.  

    учреждений /   С.Г. Григорьев, С.В. Задулина;  под ред. В.А. Гусева. –

    2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.

5.Электронные библиотеки России /pdf учебники студентам [Электронный ресурс].— Режим   доступа: http://www.gaudeamus.omskcity.com/my_PDF_library.html, свободный.— Загл. с экрана.

3.Задания для самостоятельного решения практической работы.

Теоретические сведения и примеры решения задач

к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и  n столбцов:

 .

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются  прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i - номер строки,  j - номер столбца. Цифры m и  n  указывают размерность матрицы.

Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2x3. Далее, bij  - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и  j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной т.е. m = n. Например,

 - квадратная матрица размерности 3.

Элементы a11 , a22 ,…,  ann  квадратной матрицы A (размера n x n) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали) равны 1, называется единичной. Например,

   
B – диагональная матрица, E – единичная матрица.

Арифметические действия с матрицами

1) Чтобы найти сумму матриц А, В одной размерности, необходимо сложить   элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах).

Пример 1. Найдите сумму матриц

Решение:         

Пример 2. Найдите 2A-B, если , .

Решение: Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

2) Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример 3.  Умножьте матрицу А на число 3.

Решение:

3) Матрицу А можно умножить на матрицу В, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй ( произведением матриц будет называться матрица, каждый элемент, которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В).

Пример.  вычислить произведение матриц  А∙ В, где

Решение:

Вычисление определителей

Для квадратных матриц вводится понятие определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу А. Определитель матрицы А обозначается |A| или .

Определителем первого порядка, называется элемент a11:

  Например. А=(3), тогда |A|=3.

Определитель  квадратной матрицы A (размера 2x2)   второго порядка называется  число, которое можно найти по правилу:

     △ =   .                 (1)          

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Пример 4. Вычислите  определитель матрицы            

 Решение: По формуле (1) находим:

=

1 способ: определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

  (2)

Пример 5. Вычислите определитель третьего порядка:  

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала правилом (2)  

  А  =       = 1 - (-1)  + 1  , а затем

(для вычисления определителей 2-го порядка) правилом  (1)

△=   А  = 4 - 3 + 8 + 6 + 2 + 2 = 19

2 способ: определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по правилу треугольника (рис. 1):

                                    а11 а12 а13

                                     а 21 а22 а23        (3)

                                     а31 а32 а33

           +                           рис. 1                                      -

Пример 6. Вычислите определитель  третьего порядка по правилу треугольника

Решение: применяя формулу (3), получим:

=1.1. 4 + 2.1.1 + (-1)∙3∙(-2) - 1.1∙(-2) - 1.3.1 – 2 ∙ (-1) ∙4=

= 4 + 2 + 6 + 2 – 3 + 8 = 19.

Порядок выполнения работы:

1. Внимательно прочитайте теоретические сведения и примеры решения задач по изучаемой теме. В случае необходимости воспользуйтесь справочными материалами.
2. Выполните предложенное преподавателем задание, используя теоретические сведения и примеры решения задач.

Рекомендации по выполнению расчетных заданий:

а) выпишите формулы по изучаемой теме;

б)обратите внимание, как использовались данные формулы при выполнении заданий на учебном занятии;

       в) проанализируйте условия задания и определите алгоритм его решения;

                        г) решите предложенное задание, используя выписанные формулы;

                   д) оформите решение;

  е)проанализируйте полученный результат (проверьте правильность подстановки в формулы численных значений, правильность расчетов, правильность вывода неизвестной величины из формулы и т.п.).

3. Соответствующим образом оформите работу.

Задания  для самостоятельного решения:

Вариант  1

1.  Найти:  3

2.  Найти А+2В, если А= , В =.

3.  Вычислить определители второго порядка:

а)  =

б)  =

в)  =

4. Вычислить определители третьего порядка двумя способами: по правилу «раскрытие определителя по первой строке» и по правилу треугольника (рис. 1):

г)  =    

д)  =    

е) =

Вариант  2

1. Найти:  2

2. Найти 3А + В, если А = , В =

3. Вычислить определители второго порядка:

а)  =

б)  =

в)  =

4. Вычислить определители третьего порядка двумя способами: по правилу «раскрытие определителя по первой строке» и по правилу треугольника (рис. 1):

г)  =      

д)  =    

е)  =

Вывод:

Контрольные вопросы:

1. Что называется матрицей?
2. Назовите арифметические действия с матрицами?
3. Напишите правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка.
4. Напишите правило, по которому вычисляется определитель матрицы третьего порядка.