Муниципальное автономное образовательное учреждение лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина

 «Геометрические методы решения алгебраических задач»

Автор работы:

Неверовская Светлана Владимировна

Учитель математики МАОУ лицей №14

Тамбов

2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ        

1.        ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ        

2.        ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМ ГЕОМЕТРИИ        

3.        ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРА        

1.        Применение векторов для доказательства неравенств        

2.        Применение векторов для решения уравнений        

3.        Применение векторов к решению неравенств        

4.        Применение векторов к решению систем        

5.        Применение векторов  к нахождению наибольших и наименьших значений        

4.        ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТРИГОНОМЕТРИИ        

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ        

ВВЕДЕНИЕ

Многие математические задачи допускают нескoлькo вaриaнтoв рeшeния. Нaхoждeниe нaибoлее прoстых путeй рeшeния нeрeдкo являются рeзультaтoм длитeльнoй и крoпoтливoй рaбoты. Часто первый избранный способ решения бывает крайне неудачным. Умение подбирать наиболее подходящее решение является одним из признаков хорошей математической подготовки. Существуют способы решения алгебраических задач методами, основанными на наглядно-геометрических интерпретациях.

Актуальность этой темы состоит в необходимости связи геометрии и алгебры, которые составляют единую науку математику. Также необходимо знать и уметь применять методы решения задач, которые помогут сэкономить время. Нередко различные олимпиады проверяют способность учеников применять различные нестандартные методы решения тех или иных задач. Для получения высоких баллов ЕГЭ необходимо уметь решать именно такие задания.

Объектом исследования является процесс решения алгебраических задач.

Предмет исследования – возможность применения геометрического метода в решении алгебраических задач.

Цель исследования – рассмотреть и овладеть различными геометрическими методами решения алгебраических задач.

В процессе работы я поставила перед собой следующие задачи:

• Показать, что преимуществом геометрического метода является наглядность;
• Классифицировать методы решения задач;
• Собрать методические материалы, включающие в себя задачи, решаемые различными методами.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рассмотрим примеры задач, в которых удобно изобразить кривые или области в системе координат, которые соответствуют уравнениям или неизвестным, и рассмотреть их взаимное расположение:

• Уравнение окружности  имеет вид, где  и  – координаты центра  окружности .
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где  – угловой коэффициент.
• Если прямая проходит через две точки  и , такие что  и  то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу: .
• Расстояние между двумя точками на плоскости: , где  – координаты одной точки, а  – координаты другой точки.

Взаимное расположение окружностей:

• Одна окружность лежит внутри другой: расстояние между центрами окружностей меньше их радиусов().
• Одна окружностей касается другой изнутри: расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов().
• Окружности пересекаются: расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы().
• Одна окружность касается другой снаружи: Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов().
• Одна окружность лежит вне другой: расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов().

Взаимное расположение окружности и прямой:

• Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки (пересекаются в двух точках).
• Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку (касаются). В этом случае прямая называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
• Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек (не пересекаются).

Пример 1 (Химический факультет МГУ, 1996 г.):

Решить систему:

Решение:

После замены  система имеет вид:

Так как переменные  и  связаны друг с другом с помощью величины , они не меняются независимо. Тогда, будем считать, что  и  – независимые переменные, и изобразим на координатной плоскости  геометрическое место точек , координаты которых удовлетворяют системе:

Рисунок 1

Рисунок 2

Заштрихованное на рисунке 1 множество точек соответствует неравенству  .

Заштрихованное на рисунке 2 множество точек соответствует неравенству .

Множество точек, удовлетворяющих системе (!) – это пересечение множеств заштрихованных на рисунке 1 и на рисунке 2 и первого координатного угла. Найдем это множество:

Рисунок 3

Понятно, что пересечение множеств - точка K(1,1).

Система (!) имеет единственное решение

  или   

Ответ: .

Пример 2 (Географический факультет МГУ, 1994 г.):

Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение

 имеет ровно одно решение.

Решение:

Преобразуем уравнение следующим образом:

Изобразим на координатной плоскости OXY графики функций  и , далее мы должны будем отобрать все значения , при которых эти графики пересекаются только в одной точке.

Равенство  равносильно системе:

         (1)

Геометрически системе (1) соответствует нижняя полуокружность , которая отделяется от окружности с центром  радиуса 1 прямой .

Аналогично, равенству  соответствует нижняя полуокружность ,которая отделяется от окружности с центром  радиуса 1 прямой .

Изобразим эти полуокружности на рисунке 4:

Рисунок 4

С изменением параметра , центр  перемещается по прямой . При перемещении центра  подвижной окружности , мы видим, что

• при  и  полуокружности вообще не пересекаются,
• при  и  полуокружности пересекаются ровно в одной точке,
• при  они совпадают.

Рисунок 5

На рисунке 5 изображены два крайних случая: , который соответствует , и , который соотвествует .

Ответ: .

Пример 3:

 Найти все значения, которые может принимать функция  при условии

Решение:

Отобразив все это неравенства в системе координат, мы получили треугольник с вершинами  Рассмотрим функцию , которая является квадратом расстояния от некоторой точки, которая находится где-то на этом треугольнике, до начала координат. Наименьшее значение наша функция принимает на прямой . Функция  принимает наибольшее значение  при (точка, которая соответствует нашему условию, - основание перпендикуляра, который был опущен из , а значение – это квадрат длины перпендикуляра). Отсюда мы получаем, что наибольшее значение, а именно – 17, функция принимает в точке .

Ответ: .

Пример 4:

Найти все значения параметра , при которых система

 имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Стоит заметить, что в (1) неравенстве   нам даны либо в квадрате, либо по модулю. Тогда можно сделать следующий вывод: если  - решение неравенства, то и   также являются решениями неравенства. Итак, множество точек, которые удовлетворяют этому неравенству, симметрично относительно обеих осей координат.

Рисунок 6

Рассмотрим случай, когда . Тогда проведем преобразования и получим следующее: . Мы получили круг единичного радиуса с центром в точке (3;3). Конечное множество точек изображено на рисунке.

Равенство (2) можно переписать в следующем виде: . Оно является уравнением окружности с центром в точке  и радиусом .

Расстояние  от точки  до точек ближнего к ней круга (например, возьмем круг, находящийся в первой четверти) принимает значения из промежутка , а расстояние  от точки  до точек дальнего от нее круга изменятся в пределах .

Тогда у системы существуют решения только тогда, когда (1) и (2) имеют пересечение друг с другом. Таким образом, так как , необходимым и достаточным условием является требование .

Ответ: .

Пример 4: 

Решить систему:

Прежде чем приступать к решению, вспомним кое-что из теории. Вспомним, чему равно расстояние между двумя точками  и .

Решение:

1. Рассмотрим первое уравнение. Возьмем точки  и . Тогда  – искомая. Найдем расстояния между этими точками: , , .

По первому уравнению мы видим, что . Пусть эти точки не лежат на одной прямой, тогда они образуют треугольник. А это значит, что мы можем использовать неравенство треугольника, т.е. . Получается, что единственный возможный вариант – , а это значит, что точки лежат на одной прямой(. Используем уравнение прямой , подставив численные значения, получим следующее: .

2. Рассмотрим второе уравнение. Возьмем точки  и D(6;4),  точка  – по-прежнему искомая. Найдем расстояния между точками: , , . Аналогично (. Используем уравнение прямой и получим . Используем то, что мы получили из первого уравнения. .

Ответ: (3;6).

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМ ГЕОМЕТРИИ

Рассмотрим примеры задач, в которых можно истолковать уравнение или неравенство как алгебраическое соотношение между длинами сторон и углами в каких-либо геометрических фигурах (треугольник, параллелограмм и т. п.), пользуясь теоремами геометрии ( теорема синусов, теорема косинусов и т.п.).

• Теорема синусов: .
• Теорема косинусов: .
• Теорема Пифагора: .

Пример 1: 

Найти наименьшее значение выражения , если .

Решение:

Это выражение можно интерпретировать как сумму гипотенуз прямоугольных треугольников с катетами 1 и , 2 и , 3 и  соответственно. По условию сумма длин катетов  равна 8. Однако в геометрической интерпретации данные в условии задачи числа рассматриваются как длины отрезков, а длина всегда является числом положительным, а в задаче числа   могут быть как положительными, так и отрицательными. Именно поэтому возникают различные варианты :

Рисунок 7

• Числа  - одного знака, то есть либо все положительные, либо все отрицательные (см. рисунок 6а).
• Два любых числа (пусть будут  одного знака, а третье – другого. В геометрической интерпретации будут браться модули этих чисел (см. рисунок 6б).

Решения для этих случаев будут отличаться всего лишь чертежом.

В чертеже эти треугольники удобнее расположить так, чтобы их катеты были соответственно параллельны. Тогда получается, что , , .

Соединим точки и . Длина отрезка, соединяющего концы ломанной, не может превышать длину самой ломанной. Отсюда получаем, что . Равенство будет достигаться при условии, что. Мы получим треугольник  с прямыми углом  и катетами , тогда гипотенуза . И следовательно и наименьшее значение – 10.

Ответ: 10.

Пример 2:

 Дана система уравнений , и  .

Найти: .

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

Мы получили теорему косинусов для треугольника со сторонами .

2. Преобразуем второе уравнение:

Мы получили теорему Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами

3. Преобразуем третье уравнение:

Мы получили теорему косинусов для треугольника с углом в  и со сторонами

Собрав полученное во едино, мы получили рисунок 8:

Мы получили прямоугольный треугольник, площадь которого равна .

Однако площадь данного треугольника можно найти, просуммировав площади малых треугольников. . Отсюда следует, что искомое выражение .

Ответ: .

Пример 3:

Решить уравнение:

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник   с катетами .

Далее разделим прямой угол на три равные между собой части и отложим на полученный лучах отрезки  (рассматриваем случай, когда эти величины положительны, а иначе их нужно отложить в противоположную сторону).

Используя теорему косинусов, получим, что слагаемые, которые располагаются в левой части, соответственно равны .  Тогда мы имеем .Из этого следует, что точки находятся на гипотенузе , при этом  – биссектриса треугольника , а  - биссектриса треугольника . Использовуя формулу биссектрисы, мы получим следующее: .

Преобразовав систему, находим .

Ответ: .

3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРА

Использование понятия вектора для решения алгебраических задач.

• Вектор  в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами  и его модуль (длина) вычисляется по формуле .
• При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число , т.е.  и .
• Два отличных от нуля вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны.
• Для векторов  и  справедливо неравенство  . Эту формулу называют неравенством треугольника. Заметим, что равенство достигается, когда векторы коллинеарные.
• Скалярным произведением векторов  и  называют число , где  - угол между векторами . В координатной форме .

Рассмотрим примеры задач, в решении которых удобно применить векторный подход.

1. Применение векторов для доказательства неравенств

Пример 1: 

Доказать, что если , то .

Доказательство:

Рассмотрим на плоскости векторы:

Тогда .

Пусть , тогда  и .

Если в последнее неравенство подставить выражения для длин векторов , то получим неравенство, которое требуется доказать.

Пример 2:

Для  доказать неравенство: .

Доказательство:

Рассмотрим  в пространстве векторы:   , ,  и так как , то

Так как  , то подставив в это неравенство ранее полученные выражения получим:

 и возведя обе части в квадрат, получим неравенство, которое необходимо доказать.

2. Применение векторов для решения уравнений

Пример 3:

Решить уравнение .

Решение: 

Рассмотрим на плоскости векторы:  тогда  и . Подставив полученные выражения в исходное уравнение, получим , что говорит о том, что векторы  коллинеарные и имеет место равенство  .

Уравнение определено для . Возведя обе части в квадрат, получим уравнение , которое имеет корни . Учитывая, что . Получаем корни уравнения .

Ответ: .

Пример 4:

Решить уравнение :

.

Решение:

Рассмотрим в пространстве векторы: , тогда   и . Пусть , тогда  и .

В таком случае исходное уравнение принимает вид: . Следовательно, что векторы  коллинеарные и имеет место равенство . Отсюда получаем систему уравненийили

Решениями системы являются .

Ответ: .

3. Применение векторов к решению неравенств

Пример 5: 

Решить неравенство .

Решение: 

Рассмотрим на плоскости векторы: .

Тогда . Пусть , тогда , .

Поскольку , то имеет место неравенство треугольника:  или.

Если в это неравенство подставить ранее полученные выражения, то получим:  и сравнивая с данным неравенством, получим, , что будет означать и что векторы  коллинеарные и имеет место равенство .Откуда .

Ответ:.

Пример 6: 

Решить неравенство .

Решение:

Областью допустимых значений переменной в неравенстве являются .

Рассмотрим в трехмерном пространстве два вектора  

Так как ,  и , то исходное неравенство принимает вид: . что является тождеством,  и мы делаем вывод, что исходное неравенство верно для всех допустимых х из области определения.

Следовательно, решением неравенства являются .

Ответ:.

4. Применение векторов к решению систем

Пример 7: 

Решить систему уравнений:.

Решение:

Рассмотрим на плоскости векторы: ,

тогда .

Пусть , тогда , , . Тогда первое уравнение системы принимает вид , а это означает, что векторы  коллинеарные и имеет место равенство .Если , то уравнение  не имеет решений.

Пусть . Подставив в исходную систему,  получим: . Откуда.

Поскольку , то векторы  противоположно направлены, следовательно, для  должно выполняться неравенство  (выполняется).

Ответ: .

Пример 8:

Решить систему уравнений:.

Решение:

Рассмотрим на плоскости векторы:

тогда .

Пусть . Тогда из исходной системы следует, что  и тогда.

Так как , то . Имеем , то есть неравенство превращается в равенство. А это означает, что векторы являются коллинеарными, а значит, имеет место равенство  .

Решениями полученного равенства являются .

Ответ: .

Пример 9:

Среди всех решений  системы найти такие, при каждом из которых выражение принимает наибольшее значение.

Решение:

Рассмотрим на плоскости векторы: если координаты этих векторов удовлетворяют всем условиям системы, то из первого уравнения следует, что .

Левая часть последнего неравенства системы это скалярное произведение в координатах, тогда .

С другой стороны .  Учитывая оба условия, получаем, что , значит, и векторы сонаправлены, то есть, где . Число .Значит, .

Выражение принимает вид: , где .

Так как , где  - угол между векторами , то наибольшее значение выражение  достигается, если  и векторы сонаправлены, то есть, где . Число .

Итак, выражение принимает наибольшее значение при .

Ответ:.

5. Применение векторов к нахождению наибольших и наименьших значений

Пример 10:

Найти наибольшее значение выражения .

Решение:

Рассмотрим на плоскости векторы: , тогда .

Имеем , где  - угол между векторами . Так как , то . Если положить ( при этом векторы становятся сонаправленными), то .

Ответ: .

Пример 11:

Найти наименьшее значение функции .

Решение:

Перепишем функцию в виде

Рассмотрим на плоскости векторы: тогда  и .

Пусть , тогда .

Поскольку , то  и .

Теперь необходимо показать, что существуют значения переменных при которых .

Если , то , то есть и векторы коллинеарные и  или . Пусть , тогда  и . Следовательно, наименьшее значение функции равно .

Ответ: наименьшее значение функции равно .

4. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТРИГОНОМЕТРИИ

Применение геометрии в тригонометрии.

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего  катета к гипотенузе.
• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Пример 1:

Вычислить arctg2+arctg3+arctg1.

Решение:

Использования геометрического метода порой упрощает задания до неузнаваемости.

Рисунок 9

Преобразуем данное выражение.

(),  ( Так как . Получим, что и значение выражения равно .

Ответ:.

Пример 2:

Найти значение выражения:

Решение:

Рисунок 10

Пусть . Построим прямоугольный треугольник со сторонами . Тогда по теореме Пифагора . Из этого треугольника найдем . Тогда значение выражения .

Ответ:10.

Пример 3:

Докажите неравенство:.

Решение:

Рисунок 11

Рассмотрим равнобедренный треугольник с углом при вершине  и высотой ВВ1=1.  Из треугольников ABB1, BDB1, BCB1 мы находим AB=AC=, BD=AD=, BC=. Заметим, что AC=AD+CD. Откуда мы и получим данное неравенство.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой работе я показала, что практически в каждом разделе алгебры существуют задания, геометрическое решение которых намного рациональнее, чем традиционное. Мне удалось достичь цели моего исследования: я овладела способами решения алгебраических задач геометрическими методами и теперь смогу применять полученные знания на экзаменах и олимпиадах. Я рассмотрела много алгебраических заданий, решаемых с помощью геометрии, классифицировала их. Изучила геометрические способы решения систем, задач, содержащих иррациональность. Применила геометрический метод решения к тригонометрическим заданиям. Познакомилась с векторным методом решения уравнений и доказательства неравенств.

В результате проделанной работы я пришла к следующим выводам:

• При решении некоторых задач геометрическими методами наблюдается явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени;
• Чертеж помогает расширить  задачу – поставить и решить общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий;
• Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи, что, на мой взгляд, и является самым сложным в данном методе;
• Во многих разделах  алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами;
• Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении используются: метод площадей, векторная геометрия, свойства геометрических фигур, геометрические неравенства и т.п.

Работая с различными сборниками задач и статьями в математических журналах, считаю нужным отметить отрывочность рассмотрения этой темы. Негеометрические задачи, решаемые геометрическими методами, встречаются в них или в разделе нестандартных методов решения задач, где приводится решение одного - двух примеров или вообще не выделяются в отдельный класс. Именно этим объясняется достаточно большой список информационных источников. Во многих сборниках задания приводились лишь с указаниями к решению и ответом, поэтому мне приходилось самостоятельно доводить решение до логического конца. Но именно эта работа позволила более глубоко понять предложенный метод решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Задачи вступительных экзаменов по математике (В.К. Власов, В.П. Воронин, Е.А Григорьев, Д.В. Денисов, В.С. Панферов, М.М. Потапов, А.В. Разгулин, В.И. Родин, В.С. Серов, В.В. Тихомиров, В.В. Ульянов, В.Г. Ушаков, М.В. Федотов, Е.Н. Хайлов, Е.А. Григорьева – под общей редакцией Е.А. Григорьева). М.: факультет ВМиК МГУ, 2002 г.
2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991.
3. Сергеев И.Н. МАТЕМАТИКА. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в вузы. – М: КДУ, 2004. – 2-е изд.
4. Супрун В.П. математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
5. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. – М.: МЦНМО, 2002.