ВКР "Решение текстовых задач алгебраическим методом"
материал по теме

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образовательного образования

Ростовской области

«Шахтинский педагогический колледж»

Допущена к защите                               Защищена с отметкой___________

«___»___________2012г                        Протокол ИГА №_______________

                                                                  ______________________________

Зам. директора по

учебной работе

_____________________

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Решение текстовых задач алгебраическим методом

050201 Математика

Студентка:                                                                     Руководитель:

Дудниченко Я.В.                                                             Рудь Е.В.

Шахты

2012 г.

Содержание:

Введение..............................................................................................................3

Глава I. Теоретические сведения о текстовой задаче и методах ее решения

1. Исторические сведения............................................................................6
2. Понятие текстовой задачи, ее структура и методы решения..............10
3. Пропедевтика алгебраического метода решения текстовых задач....13
4. Этапы решения задач на составление уравнений……………………18
5. Общие замечания к решению задач алгебраическим методом..........26
6. Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач…………………………..34

Глава II. Решение задач алгебраическим методом

2.1. Решение задач методом составления уравнений

2.1.1. Задачи на движение………………….…………………………………38

2.1.2. Задачи на работу………………………………………………………..43

2.1.3. Задачи на смеси и проценты…………………………………………...44

2.1.4. Задачи с целочисленными неизвестными…………………………….45

2.2. Решение задач методом составления систем уравнений

2.2.1. Задачи на движение…………………………………………………….47

2.2.2. Задачи на работу………………………………………………………..47

2.2.3. Задачи на смеси и проценты…………………………………………...48

2.2.4. Задачи с целочисленными неизвестными…………………………….49

Заключение…………………………………………………………………….51

Введение

Всякая хорошо решенная задача

доставляет умственное наслаждение

Г.Гессе

Проблемы обычного школьного урока привлекают к себе в последнее время особенно пристальное внимание. От школы и от учителя требуют не только дать знания, сформировать программные умения и навыки у всех учащихся, а главное, научить школьников творчески распоряжаться ими. Но в большинстве случаев, учащиеся ориентируются на указания учителя, а самостоятельно организовывать свои действия не умеют. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи — традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи — показатель обученности и развития учащихся. Научиться решать математические задачи очень важно, т.к., зная подходы к решению математических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и в жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности.

Актуальность выбранной нами темы определяется тем, что далеко не все ученики основной школы осваивают алгебраический метод решения текстовых задач даже на базовом уровне. Причин тому великое множество. Одни из них носят общий характер: устоявшийся страх перед задачей, отсутствие общих представлений о рассматриваемых в задачах процессах, неумение устанавливать, что дано в задаче, что надо найти, выявлять по тексту взаимосвязи рассматриваемых в задаче величин и т.п. Другие свидетельствуют о несформированности определенных умений и навыков: незнание этапов решения задачи, непонимание содержания и цели собственной деятельности на каждом из них, неумение решать уравнения или неравенства (или их системы) определенного вида, неумение производить отбор корней уравнения или решений неравенства в соответствии с текстом задачи и т.д. Недостатки в овладении необходимыми приемами рассуждений, незнание общих методов решения задач не дают возможности многим школьникам успешно работать над конкретной задачей.

Функции, цели обучения самой математики: воспитание, развитие, обучение молодого поколения. Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор, воздействовать на познавательные возможности, может нести эстетическую нагрузку. А в целом воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся и учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности.

Цель работы: проанализировать методику обучения решению текстовых задач алгебраическим методом.

Объект работы: текстовые задачи в курсе математики основной школы.

Предмет работы: методика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

•   изучить научно-методическую литературу по данной проблеме;
•   рассмотреть суть алгебраического метода решения текстовых задач;
•   изучить типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами;
•   проанализировать решение текстовых задач алгебраическим методом;
•   рассмотреть анализ и решение текстовых задач;
•   проанализировать практическое применение методики обучения решению текстовых задач алгебраическим способом;

Гипотеза: решение текстовых задач способствует развитию аналитического, логического, наглядно-образного мышления, соединению теории с жизненной практикой учеников.

Сравнительный анализ, подтверждающий это положение, проведен в нашем исследовании.

При проведении исследования были применены следующие методы:   метод наблюдения; метод сравнения; метод анализа; метод синтеза;    метод индукции; метод дедукции; метод аналогии; метод обобщения; моделирование.

Глава I. Теоретические сведения о текстовой задаче и методах ее решения

1. Исторические сведения

Математика – широкое поприще идей, ее история знакомит нас с некоторыми из благороднейших помыслов неисчислимых поколений.

Мы должны всегда помнить, что математические понятия – не произвольные творения ума, а отражение реального, объективного мира, пусть часто в весьма абстрактном виде. Это объясняет, почему математики различных эпох могли понимать друг друга.

На математику оказывали влияние земледелие, торговля и промышленность, военное дело, инженерное дело и философия, физика и астрономия.

Без элементарных навыков счета и правил измерения нельзя было ни говорить, ни даже обмениваться продуктами. Сохранились летописные сведения о создании школ, которые утверждались появлением  князей Владимира Святослава и Ярослава Мудрого.

В 1-м тысячелетии у славян появилось первая денежная единица – рубль, название которого сохранилось до сих пор. Наверное, первые рубли были просто кусочками метала, отрубленными от полосы серебра или меди. Но ведь для того чтобы разрубить такую металлическую полосу на равные части, нужно знать простейшие дроби: 1/2, 1/3, ¼, а также уметь складывать и вычитать числа. А это уже задачи.

При Иване Грозном, в XVI веке, на Руси были написаны первые учебники по математике, они были рукописными. Позднее появились печатные книги о применении математики для разных практических нужд: «Книга сошного письма» об изменении земельных участков, «Устав ратных, пушечных и иных дел, касающихся до воинской науки» и др.

В 1134 г. новгородский монах Кирик написал труд «о том, как узнать человеку числа всех лет», которые являются самым древним из дошедших до нас письменных памятников, содержащих сведения о математике у древних славян.

Рукопись Кирика свидетельствует о том, что славяне в то время отлично владели четырьмя действиями арифметики, а также свободно обращались с очень большими целыми числами и очень маленькими дробями.

В 1682 г. вышла в Москве первая не рукописная, а напечатанная в типографии книга по математике «Считание удобное, которым всякий человек, купующий и продающий, зело удобно изыскати может число всякия вещи». В этой книге, кроме руководств по решению различных практических задач, содержалась таблица умножения.

При Петре I, в 1703 г., была издана «Арифметика Л.Ф.Магницкого, которая долгое время была настольной книгой всех образованных русских людей и сыграла важную роль в развитии русской науки. М.В.Ломоносов, великий русский ученый, знал эту книгу наизусть и называл ее вместе с учебником грамматики «вратами своей учености».

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой – пристальное внимание обучающих к текстовым задачам — почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал, бывало, наставник своего питомца и рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу.

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенного набора вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К середине ХХ в. в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также. что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учат способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Например, из программы 5 – 6 классов исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»! «Убийственный» аргумент критиков утрированно можно сформулировать в виде вопроса: «Где вы видели трактористов, которые не знают площади вспаханного ими поля и должны решать задачу, чтобы определить время окончания работы?»

Здесь очень уместен вопрос: так ли были глупы китайцы, решавшие во II в следующую задачу?

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Методистов-математиков почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п.» 

Такое упрощенное понимаете роли и места задач в школьной математике преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников — у нас в России а за рубежом.

Завершая разговор об использовании текстовых задач при обучении математике в России, о разных подходах к обучению решению задач и прошлых реформах математического образования в России (тогда СССР), сошлемся на академика В.И. Арнольда, который, сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач.»

1.2. Понятие текстовой задачи, ее структура и методы решения

Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает

П. Чебышев

Умение решать задачи – один из основных показателей уровня математического развития и глубины усвоения математического материала. Действующая программа обучения математике требует развития самостоятельности у детей в решении текстовых задач. Еще в начальной школе каждый ученик должен научиться кратко записывать условие задачи, иллюстрируя его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и в ее решении, проверять правильность найденного решения.

Задача – понятие неопределяемое и в самом широком смысле означает то, что требует исполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.д.

Математические задачи принято называть текстовыми. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить  вид этого отношения.

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи – это указание того, что нужно найти.

Кроме того, каждая задача содержит в неявной форме некоторую систему зависимостей, которые дают возможность искать ответ на вопрос задачи, путь выполнения ее требования – решать задачу.

Термином «решение задачи» обозначают связанные между собой понятия:

• решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи;
• решением задачи называется процесс нахождения этого результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу;
• решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

 Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи.

Существуют  различные  методы  решения  задач:  арифметический,  алгебраический,  геометрический,  логический,  практический  и др.  В  основе  каждого  метода  лежат  различные  виды  математических  моделей.  Например, при арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами; при  алгебраическом  методе  решения  задач  составляются  уравнения, неравенства, системы уравнений; при  геометрическом – строятся  диаграммы  или  графики; решение  задачи  логическим  методом  начинается  с  составления  алгоритма. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения, при практическом – находится ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями.

Каким бы из основных методов, арифметическим или алгебраическим, ни решалась текстовая задача, приходится выполнять ряд действий, общих для всех методов.

На этапе анализа текста задачи необходимо уметь выделить объекты, о которых идет речь в задаче, а также ее условие и вопрос, установить известные, неизвестные и искомые величины, выделить ситуации, описанные в задаче.

На этапе поиска плана решения понадобятся умения записывать функциональную зависимость между величинами и выражать величины из формул, составлять из заданной задачи подзадачи, выделять из условия из заданной задачи подзадачи, выражающие зависимость между величинами, и преобразовывать их.

На этапе реализации плана важнейшим оказывается умение переводить зависимости между величинами на математический язык.

На этапе исследования приходится интерпретировать результат на языке данной задачи, выполнять проверку решения, оценивать его с точки зрения оптимальности.

1.3.  Пропедевтика алгебраического метода решения текстовых задач

Решение текстовых задач способствует развитию мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости, повышает вычислительную культуру. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений.

В курсе математики V — IХ классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ, основав на использовании уравнений и систем уравнений, составляемых при решении задач.

Остановимся на некоторых основных вопросах пропедевтической работы по составлению уравнений при решении текстовых задач.

Такая работа в основном осуществляется в V — VI классах, хотя простейшие задачи уже решались этим методом в I — I V классах.

Здесь можно выделить два основных этапа. На первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык. Остановимся на каждом этапе подробнее.

Первый этап пропедевтики. К наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся на этом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие: умение внимательно читать текст задачи; умение проводить первичный анализ текста задачи  (выделять условие и вопрос задачи); умение оформлять краткую запись текста задачи; умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

В методике обучения математике разработаны соответствующие приемы работы, учителя по формированию выделенных умений (3. П. Матушкина).

Приемы, формирующие умение читать текст задачи:

• показ образцов правильного чтения задачи;
• проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению ее содержания. Здесь имеются в виду различные формы предъявления задачи: текстом, краткой записью текста, рисунком. Сюда включаются также приемы работы над усвоением содержания задачи: изменение числовых данных задачи; изменение сюжета задачи; изменение сюжета и числовых данных задачи.

Приемы, формирующие умение выделить условие и вопрос задачи;

• выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи; обращение внимании на точность, ясность формулировки вопроса задачи; переформулировка вопроса задачи. Этот прием направлен на воспитание у учащихся потребности выделять условие и вопрос задачи;
• формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи;
• нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;
• составление задачи по вопросу; формулирование одной или нескольких задач по данному вопросу.

Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи:

• оформление краткой записи в виде таблицы, схемы;
• оформление краткой записи в строку (столбец);
• чтение краткой записи задачи;
• составление задачи по ее краткой записи.

Приемы обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи. Основные из них следующие:

• предъявление заданий, требующих только выполнения соответствующего рисунка;
• чтение рисунка, выполненного по тексту задачи;
• составление задачи по рисунку или чертежу.

Сделаем некоторые пояснения к приемам оформления чертежей по тексту задачи. Выполненный чертеж (рисунок) по тексту задачи позволяет фиксировать ход рассуждений при ее решении, способствует формированию общих подходов к решению задач. Поэтому к выполнению чертежей предъявляются требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи, на них должны быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепринятым обозначениям.

Формирование умений выполнять чертеж задачи будет успешным, если учащиеся будут уметь читать соответствующий чертеж. В связи с этим важным моментом является составление текста задачи по чертежу, рисунку. В результате выполнения таких упражнений формируются навыки перевода графических данных на словесный текст.

Второй этап пропедевтики. Важным моментом здесь является обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменения величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений. Достигается это с помощью соответствующих упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел в IV классе учащиеся рассматривают одно из применений умножения — увеличение числа в несколько раз. Здесь для достижении указанной цели возможны следующие упражнения:

1) Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну m лет? (4 m.)

2) На первых двух полках стоит по n книг на каждой, ,а на третьей — т книг. Сколько книг на трех полках? (2n + m.)

3) Сравните a  и с, если a = 5с. (a больше с в 5 раз или с меньше a в 5 раз.)

4) Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в n раз. (x = ny.)

5) Составьте задачу по уравнению 2х=28. (Например: «В корзине было несколько грибов. После того как в нее добавили столько же, в ней стало         28 грибов. Сколько грибов было в корзине?)

Аналогичные упражнения могут быть предложены учащимся также при изучении других арифметических действий.

Сложность подобных упражнений должна быть посильной для учащихся, а число их — достаточным для формирования соответствующих умений  и навыков.

В методике обучения решению задач предлагаются также другие системы упражнений для достижения поставленной цели, Например, рассматриваются конкретные текстовые задачи и после прочтения их текстов учащимся предлагается ответить на ряд вопросов. Раскроем содержание этого приема на нескольких задачах.

Задача 1. Теплоход «Метеор» за час проходит расстояние в 5 раз большее, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?

Задания.

1) Назовите величины, которые связаны зависимостями: а) одна больше другой в 5 раз; б) одна меньше другой в 5 раз.

2)Если катер проходит х км/ч, то как можно истолковать выражение : 5х; 5х+х? Значение какой из представленных здесь величин известно по условию задачи?

Задача 2. Футбольная команда школьников выиграла на ... состязаний..., чем проиграла, Число проигранных состязаний в ... числа состязаний, проведенных вничью. Сколько проведено состязаний, если ничьих было на ..., чем проигрышей?

Задание. Используя справочный материал, заполните пропуски в тексте задачи. Справочный материал: команда школьников выиграла 16 состязаний, проиграла 6 и свела вничью 2.

Задача 3. На школьной математической олимпиаде было предложено 8 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за каждую переменную задачу списывалось 3 очка. Сколько задач правильно решил ученик, если он получил 24 очка?

Задание. Установите, к решению каких из приведенных ниже уравнений сводится решение предложенной задачи:

а) 5х - 3·(8 - х)=24; б) 5·(8 - х) - 3x=24; в) Зу=24:,

г) 5х=24; д) 5х - 3·(8+x)=24; е) 5х+3·(8 - х)=24.

Задача 4. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м/с, а другой 6 м/с?

Задание. Дополните приведенные ниже выражения до уравнения, к которому сводится решение задачи:   а) 9х+...=180,  б) 180 ... = 6х;              в) …9х = ...  .

Заметим, что задания к задачам не требуют решения исходных задач. Причем четко выделяются две группы заданий: первая группа (задачи 1 и 2) направлена на формирование умения видеть всевозможные зависимости между величинами, входящими в задачу; вторая группа (задачи 3 и 4) формируют умение видеть в математическом выражении или формуле определенное содержание, т. е, математическую модель.

Изложенная система пропедевтической работы учителя по обучению решению текстовых задач показывает, что эти задачи выступают не только как цель и средство, но и как предмет изучения. Это соответствует той важной роли, которая отводится им в курсе математики.

В V — VI классах учащиеся решают также текстовые задачи на все действия с натуральными и дробными числами, на зависимость между компонентами и результатами действий. Эти задачи и методы нх решения имеют важное методическое значение. Прочное усвоение методов решения «чисто арифметических» задач позволяет подготовить учащихся к осознанному решению задач методом составления уравнений. Тем самым, этот вид задач можно рассмотреть в связи с прикладной направленностью курса школьной математики (пропедевтика представления о математическом моделирования).

1.4. Этапы решения задач на составление уравнений

В методике математики общепринято следующее деление процесса решения задач: 1) анализ текста задачи; 2) поиск способа решения задачи и составление плана решения; 3) осуществление найденного плана; 4) изучение (анализ) найденного решения.

Выделенные этапы представляют норму деятельности человека по решению задач. Однако в реальном процессе решения необязательно явным образом проходить через все указанные этапы. Это зависит от того, насколько решающему известен способ решения задачи. Все же следует иметь в виду, что выделенные этапы процесса решения задачи служат той ориентировочной основой, опираясь на которую учитель управляет действиями учащихся по формированию способов решения задач. Каждый этап имеет свои признаки (ориентиры), руководствуясь которыми учитель формирует у учащихся компоненты общего умения решать задачи.

На первом этапе (анализ текста задачи) учитель должен добиться того, чтобы учащиеся «приняли» задачу, т. е. поняли ее смысл, сделав целью своей деятельности. В этом случае задача становится объектом мышления.

Поэтому усвоение текста задачи учащимися будет первой важной целью учителя. Исходным здесь является выделение в задаче условия, т. е. данных и отношений между ними, и требования задачи, т. е. искомого (искомых) и отношений между ними. Дальнейшее соотнесение условия и требования позволяет выявить в задаче основное отношение, направляющее процесс поиска ее решения. Как правило, это отношение имеет вид функциональной зависимости. Важное значение имеют краткая запись текста задачи, составление схем, рисунков.

Схемы и рисунки выступают в роли наглядного представления содержания задачи и зависимостей величин, входящих в нее. Еще большее значение приобретает схема в роли модели, выявляющей скрытые зависимости между величинами. Поэтому составлению кратких записей и схем по тексту задачи необходимо специально обучать.

Сопоставление условия, и требования задачи позволяет выяснить, достаточно ли данных для ответа на вопрос задачи, нет ли среди них противоречивых или лишних данных.

На первом этапе решения необходимо также актуализировать «базис» решения задачи, т. е. теоретическую и практическую основу, необходимую для обоснования решения. Здесь выясняется также, не принадлежит ли задача к известному типу задач.

На втором этапе процесса решения задачи важным моментом является выяснение стратегии решения задачи:

1) устанавливается, будет ли неизвестным, относительно которого составляется уравнение, искомая величина или же промежуточная величина. Если принято решение найти сначала промежуточную величину, то искомая величина выражается через нее;

2) по какому компоненту основного отношения будет составлено уравнение или оно будет составлено с использованием всех его компонентов (другими словами, для каких величин соответствующие выражения будут приравниваться).

Далее осуществляется поиск способа решения задачи на основе построения модели поиска. Аналитико-синтетический поиск решения заканчивается получением уравнения. Соответствующий план решения обсуждается с учащимися, при этом используется табличная запись поиска решении задачи. В случае необходимости план как способ решения задачи оформляется письменно. В этом он выполняет роль ориентировочной основы деятельности учащегося.

На третьем этапе процесса решения задачи осуществляется найденный план решения, выполняется проверка решения и записывается полученный ответ.

1. Прикидка. Суть приема заключается в прогнозировании с некоторой степенью точности правильности результата решения. Применение прикидки дает точный ответ на вопрос «Правильно ли решена задача?» лишь в том случае, если полученный при решении результат не соответствует прогнозируемому.
2. Соотнесение полученного результата и условия задачи. Суть данного приема заключается в том, что найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.
3. Решение задачи различными способами. Пусть при решении задачи каким-либо способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача решена была верно.
4. Преобразование задачи – составление обратной задачи и ее решение.

  Четвертый этап — изучение (анализ) найденного решения задачи. Здесь анализ имеет своей целью выделение главной идеи решения, существенных его моментов, обобщение решения задач данного типа. Выясняются недостатки решения и производится поиск другого, более рационального решения, выявляются и закрепляются в памяти учащихся приемы, которые были использованы в процессе решения задачи.

В психолого-дидактических исследованиях высказывается мнение, что осуществление этого этапа будет способствовать переносу знаний и служить средством более эффективного обучения решению задачи.

Раскроем методику обучения решению текстовых задач на конкретном примере. 

Задача. По плану бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Но фактически она перевыполняла норму на 27 деталей в день и за 7 дней работы не только выполнила предусмотренное планом задание, но и изготовила сверх плана 54 детали. Сколько деталей в день должна была изготовить бригада по плану? 

Анализ текста задачи. После прочтения текста задачи анализ может быть проведен посредством рассмотрения следующих вопросов (самими учащимися или с помощью учители):

• За сколько дней бригада должна выполнить заказ по плану?
• За сколько дней бригада фактически выполнила заказ?
• Почему бригада выполнила заказ раньше намеченного срока?
• Сколько деталей изготовила бригада сверх плана?
• Какие величины содержатся в задаче?
• Как связаны между собой производительность труда, время и объем выполненной работы? (Учитель может конкретизировать этот вопрос, исходя из возможностей учащихся.)
• Сколько различных ситуаций можно выделить в задаче?
• Какие величины, входящие в условие и вопрос задачи, неизвестны?
• Какая величина в задаче является искомой?
• Решалась ли раньше задача, похожая на эту?

В итоге первого этапа работы над, задачей с учетом основного отношения выполняется запись текста задачи. Табличная форма записи на первых этапах обучения решению текстовых задач наиболее эффективна, потому что умение учащегося оформить соответствующую таблицу говорит о том, принял он задачу или нет. Заметим, что существуют и другие формы записи. С ними можно ознакомиться. ( Таблица 1)

Для выяснения связи между значениями одной и той же величины перед учащимися ставятся соответствующие вопросы, например: в каком случае производительность труда бригады была выше? На сколько деталей в день бригада перевыполняла норму?

Правильный ответ на первый вопрос позволяет поставить в таблице соответствующий, знак неравенства между неизвестными значениями одноименной величины. Ответ на второй вопрос позволяет записать: «На 27» (в указанном месте в таблице 2). Полученная запись позволяет учащимся актуализировать часть условия задачи: производительность бригады предусмотренная планом, на 27 деталей в день меньше фактической. Аналогично поступают при выяснении, связи между неизвестными значениями другой величины. В данном случае сравнивается плановый и фактический объем выполненной работы.

Поиск способа решения задачи, На этом этапе обсуждается стратегия решения задачи. Затем вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии. Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и основным отношением, реализованным в задаче (т. е. зависимостью между величинами), на основе табличной записи текста задачи заполняется таблица поиска решения задачи. ( Таблица 2)

Исходя из модели поиска, решения, выписывается неравенство      10х < (х+27)·7 на 54, с помощью которого составляется уравнение            10x + 54 = (x + 27)·7 или уравнение 10х = (х+27)·7 - 54.

Осуществление плана решения задачи. Отсюда естественно вытекает план решения задачи, который включает в себя поиск решения (способ получения уравнения) и решение полученного уравнения. Заметим, что табличная форма записи деятельности учащихся по составлению уравнения не требует повторного ее описания. Поэтому на третьем этапе процесса решения текстовой задачи остается решить полученное уравнение, выполнить проверку решения и записать ответ.

Имеем уравнение: 10х + 54 = (х + 27)·7. Решим его:

10х + 54 = 7х + 189,

 3х = 135,

 х = 45.

Данное уравнение имеет один корень — число 45.

Однако решение задачи не может заканчиваться решением уравнения; необходимо проверить, удовлетворяет ли полученный корень уравнения условию и требованию задачи. В связи с этим необходимо сделать проверку корня уравнения по смыслу задачи. Здесь возможны два способа письменного оформления проверки корней уравнения.

Первый способ состоит в том, что по найденному значению х по порядку вычисляются значения входящих в задачу величин. При этом проверяется, удовлетворяют ли эти величины смысловым ограничениям. Если все найденные значения величин им удовлетворяют, то корень уравнения дает решение задачи.

С этой целью воспользуемся моделью поиска решения задачи. По смыслу данной задачи все входящие в нее величины должны принимать положительные значения. Проверим, выполняется ли это для найденного значения х=45:

х = 45                                Положительное число.

х+27 = 45+27 = 72           Положительное число.

(х+27)·7 = 72·7 = 504      Положительное число.

10х = 10·45 = 450            Положительное число.

504 - 450 = 54                   Положительное число, являющееся данным.

Следовательно, значение х = 45 удовлетворяет условию задачи, т. е. является ее решением,

Ответ: бригада должна изготовить в день по плану 45 деталей.

Второй способ письменного оформления проверки корней уравнения по смыслу задачи возможен после изучения темы «Неравенства с одной переменной». Сущность проверки остается при этом прежней, а способ оформления состоит в следующем. Совместно с уравнением, составленным по тексту задачи, рассматриваются смысловые ограничения для значений величин, входящих в задачу.

                 или    

Видим, что значение х = 45 удовлетворяет двойному неравенству и, следовательно, является решением задачи. Множество целочисленных значений х, удовлетворяющих двойному неравенству, является областью допустимых по смыслу задачи значений искомой величины. Следует иметь в виду, что даже нахождение области определения не снимает вопроса о том, удовлетворяет ли найденное значение корня полученного уравнения условиях и требованию задачи. Дело в том, что количество ограничений, определяющее эту область, может оказаться большим и некоторые ограничения могут быть незамечены (например, малочисленность корня в данной задаче). Поэтому проверку задачи вторым способом целесообразно делать только в некоторых случаях, но необходимо развивать у учащихся умение выявлять смысловые ограничения значений величин, входящих в задачи.

Изучение (анализ) найденного решения. Перед учащимися в соответствии с содержанием этого этапа процесса решения задачи ставятся вопросы следующего типа:

Какова главная идея решения данной задачи?

Нельзя ли указать другие способы решения данной задачи? Почему рассмотренный способ решения является рациональным? Заметим, что для данной задачи все возможные пути поиска ее решения не выявляют другого способа, т. е. эта задача имеет постоянную структуру.

Если учащиеся решили ряд задач рассматриваемого в этой главе типа (на процессы), то возможна постановка вопроса о том, какова сущность общего способа решения таких задач.

В заключение отметим, что предложенная методика обучения решению текстовых задач на процессы эффективна также и в случае решения задач, приводящих к решению уравнений более сложного вида, чем линейные, например квадратных. Естественно, что при последовательном формировании умений решать текстовые задачи методика обучения претерпевает определенные изменения: отпадет необходимость применять табличную форму записи текста задачи и поиска ее решения, сократится число выявленных этапов процесса ее решения, сам этот процесс станет более свернутым.

1.5. Общие замечания к решению задач алгебраическим методом

При решении задач алгебраическим методом искомые величины или другие величины, зная которые, можно определить искомые, обозначают буквами (обычно х, у, z). Все независимые между собой соотношения между данными и неизвестными величинами, которые либо непосредственно сформулированы в условии (в словесной форме), либо вытекают из смысла задачи (например, физические законы, которым подчиняются рассматриваемые величины), либо следуют из условия и некоторых рассуждений, записываются в виде равенств и неравенств. В общем случае эти соотношения образуют некоторую смешанную систему. В частных случаях эта система может не содержать неравенств либо уравнений, или она может состоять лишь из одного уравнения или неравенства.

Решение задач алгебраическим методом не подчиняется какой-либо единой, достаточно универсальной схеме. Поэтому всякое указание, относящееся ко всем задачам, носит самый общий характер. Задачи, которые возникают при решении практических и теоретических вопросов, имеют свои индивидуальные особенности. Поэтому их исследование и решение носят самый разнообразный характер.

Остановимся на решении задач, математическая модель которых задается уравнением с одним неизвестным.

Работа на первом этапе (анализ содержания задачи) не зависит от выбранного метода решения и не имеет принципиальных отличий. На втором этапе (при поиске пути решения задачи и составлении плана ее решения) в случае применения алгебраического метода решения осуществляются: выбор основного соотношения для составления уравнения; выбор неизвестного и введение обозначения для него; выражение величин, входящих в основное соотношение, через неизвестное и данные. Третий этап (осуществление плана решения задачи) предполагает составление уравнения и его решение. Четвертый этап (проверка решения задачи) осуществляется стандартно.

Обычно при составлении уравнений с одним неизвестным х придерживаются следующих двух правил.

I. Одна из данных величин выражается через неизвестное х и другие данные (т. е. составляется уравнение, в котором одна часть содержит данную величину, а другая — ту же величину, выраженную посредством х и других данных величин).

         II. Для одной и той же величины составляются два алгебраических выражения, которые затем приравниваются друг к  другу.

Внешне кажется, что первое правило проще второго. В первом случае всегда требуется составить одно алгебраическое выражение, а во втором — два. Однако часто встречаются задачи, в которых удобнее составить два алгебраических выражения для одной и той же величины, чем выбрать уже известную и составить для нее одно выражение.

Пример 1. Из двух слитков металлов плотностью 7,2 кг/дм³ и 8,4 кг/дм³ составлено 19 кг сплава плотностью 7,6 кг/дм³. Сколько взято каждого металла?

Решение. Составим уравнение, исходя из правила II. Пусть х кг масса первого слитка, тогда масса второго будет (19-x) кг. Считая х величиной известной, рассуждаем следующим образом. Известны масса и плотность первого слитка, масса и плотность второго, масса и плотность сплава. Следовательно, можно легко определить объем каждого из слитков и сплава (табл.1).

Так как сумма объемов слитков должна быть равна объему сплава, то, пользуясь данными таблицы, получаем следующее уравнение:

x/7,2 + (19-x)/8,4=19/7,6

          Составим уравнение, исходя из правила 1. Оставляя обозначения масс первого и второго сплавов как х и 19 — х, исключим какое-либо одно из данных. Затем, используя остальные соотношения, найдем выражение для этой исключенной величины. В зависимости от того, какую величину мы исключаем, получим путем довольно сложных рассуждений одно из следующих уравнений (табл.2).

Видим, что ни одно из уравнений таблицы (1) ни по своему виду, ни по ходу составления не идет ни в какое сравнение с полученным по второму правилу. Этот же пример показывает, что решение одной и той же задачи может быть более простым или более сложным не только в зависимости от выбора величин, принятых за неизвестные, но и от выбора независимых соотношений, на основе которых составляется соответствующее уравнение (или система уравнений и неравенств). Если условие задачи содержит только одно соотношение, то составление уравнения затруднений не вызывает.

Пример 2. При продаже товара за 299 р., выручено 15% прибыли. Чему равна стоимость товара без прибыли?

Решение. Пусть товар стоит х р., тогда 15% прибыли составляет
(15/100)x p. Зная, что товар продан за 299 р., составим уравнение
x + (15/100)x = 299;  115х = 29900;  х = 260.

Ответ: товар без прибыли стоит 260 р.

При решении задач, содержащих не меньше двух соотношений между данными числами и искомыми, как мы видели, любое из соотношений можно положить в основу для составления уравнения. Все оставшиеся соотношения должны быть использованы для выражения через х и через данные числа всех остальных неизвестных. Произвольность выбора основного соотношения дает возможность составлять одно уравнение с одним неизвестным по тексту задачи несколькими отличными друг от друга способами.

Если задача содержит больше двух соотношений, то за основу для составления уравнения удобно принять соотношение, связывающее все ее искомые величины, если в задаче такое соотношение дано.

Пример 3. Сумма трех чисел равна 100. Если разделить первое число на второе, то в частном получится 4, а в остатке 3; если же второе число разделить на третье, то в частном получится 2 и в остатке 4. Найдите эти три числа.

Решение. По условию задачи имеем три соотношения:

1) сумма трех чисел равна 100;

2) первое число равно учетверенному второму плюс 3;

3) второе число равно удвоенному третьему плюс 4.

Примем за основу для составления уравнения первое соотношение. Вводим обозначение х для третьего числа и выражаем через х второе и первое неизвестные. Второе неизвестное на основании третьего соотношения будет иметь вид 2x+4, а первое неизвестное на основании второго соотношения запишется как 4·(2х+ 4) + 3. На основании первого соотношения составим уравнение  4·(2х + 4) + 3 + (2х + 4) + х = 100.

Решив полученное уравнение, найдем x = 7, т.е. третье число 7. Следовательно, второе число 2x + 4 = 18, а первое — 4·(2x+ 4) + 3 = 75. Проверка показывает, что найденные значения искомых величин удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа — 75, 18 и 7.

Из трех соотношений, данных в задаче, только первое содержит все три искомых числа. Второе и третье только устанавливают связь между двумя неизвестными. Поэтому для составления уравнения принимать за основу второе или третье соотношения нецелесообразно.

Разобранные примеры позволяют сделать некоторые выводы о тех операциях, которые производятся при составлении уравнения с одним неизвестным по условию задачи.

1. Сначала выбирают соотношение, на основании которого будет составлено уравнение. Если задача содержит более двух соотношений, то за основу для составления уравнения надо взять то соотношение, которое устанавливает некоторую связь между всеми неизвестными.

2. Затем выбирают неизвестное, которое обозначают                                                                                                               соответствующей буквой.

3. Все неизвестные величины, входящие в выбранное для составления уравнения соотношение, необходимо выразить через выбранное неизвестное, опираясь на остальные соотношения, входящие в задачу кроме основного.

Итак, за основное неизвестное выбирают искомое или одно из искомых, если их несколько. Такой выбор желателен, но не обязателен, так как в некоторых случаях, как мы убедились, целесообразнее выбрать не неизвестное искомое число, а другое. В основу выбора неизвестных может быть положен следующий принцип: неизвестные следует вводить так, чтобы запись с помощью уравнений имеющихся в задаче условий получилась наиболее простой. При этом вовсе необязательно, чтобы величина, которую требуется найти, содержалась среди выбранных неизвестных. Как правило, при таком выборе неизвестных искомая величина будет представлять собой некую комбинацию введенных неизвестных, для нахождения которой нет необходимости определять по отдельности все входящие в эту комбинацию неизвестные.

Заключительным этапом работы над задачей является проверка ее решения. Решив уравнение (или систему уравнений), составленное по условиям задачи, необходимо убедиться, удовлетворяет ли найденный корень условиям задачи. Это необходимо по следующим соображениям. Решая уравнение, отыскивают корни в определенной области допустимых значений. Может оказаться, что по смыслу задачи искомое число должно принадлежать другой области, более ограниченной по сравнению с областью значений, допустимых для корней уравнения. В этом случае необходимо отобрать из корней уравнения те, которые удовлетворяют условиям задачи. Корни, удовлетворяющие уравнению, но не удовлетворяющие условиям задачи, следует отбросить. Может оказаться, что уравнение имеет решение, а задача решения не имеет.

Пример 4. На лугу пасется 60 коров и овец. Число овец равно 3/5 числа коров. Сколько коров и сколько овец пасется на лугу?

Решение. Обозначив число коров через х, а число овец через у, получим первое уравнение x + у = 60. Учитывая, что число овец равно 3/5 числа коров, имеем второе уравнение у = 3х/5. Итак, имеем систему:

Решив полученную систему уравнений, найдем х = 37,5. Но, так     как 37,5 — это число коров, а число коров не может быть дробным,          то число 37,5, являющееся корнем уравнения, не удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: задача решения не имеет.

Таким образом, даже в тех случаях, когда решение уравнения не вызывает сомнений, надо проверить, является ли его решение решением задачи.

Алгебраический метод решения задач имеет огромное практическое значение. С его помощью решают самые разнообразные задачи из области техники, сельского хозяйства, быта. Уже в средней школе уравнения применяются учащимися при изучении физики, химии, астрономии. Там, где арифметика оказывается бессильной или, в лучшем случае, требует крайне громоздких рассуждений, там алгебраический метод легко и быстро приводит к ответу. И даже в так называемых «типовых» арифметических задачах, сравнительно легко решаемых арифметическим путем, алгебраическое решение, как правило, является и более коротким, и более естественным.

Приведем несколько примеров.

Пример 5. Брат старше сестры на 5 лет. Сколько лет каждому, если обоим вместе 17 лет?

Это задача на нахождение двух чисел по данной их сумме и разности. При арифметическом решении приходится прибегать к искусственному построению — к так называемому «предположению». Первый вопрос формулируется так: «Сколько лет было бы обоим, если бы сестре было столько же лет, сколько и брату?» И затем уже узнается, сколько лет брату. Между тем алгебраический метод дает совершенно естественное решение. Пусть х лет — возраст брата, тогда сестре               (х - 5) лет, а обоим вместе x + (х - 5) лет, что составляет 17 лет. Таким образом, имеем уравнение x + (х - 5) = 17, решив которое найдем х = 11. Никаких «предположений» делать здесь не приходится.

Пример 6. В трех аквариумах находится 114 рыбок, причем во втором аквариуме находится вдвое, а в третьем — втрое больше, чем в первом. Сколько рыбок в каждом аквариуме?

Это задача на пропорциональное деление. В этом случае, решая задачу арифметическим методом, также приходится прибегать к делению целого на части. Начинаем рассуждать, например, так: «Предположим, что в первом аквариуме была 1 часть (или: примем число рыбок в первом аквариуме за 1 часть); тогда во втором находится 2, а в третьем — 3 такие части». Затем находим ответ на первый вопрос: «Сколько было всего частей?». Искусственность такого решения очевидна. Гораздо проще и естественнее, обозначив число рыбок в первом аквариуме через х, получить решение при помощи одного выражения: x + 2х + Зx = 114.

Пример 7. В одном резервуаре — 48 ведер воды, а в другом — 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого резервуара?

В ходе решения алгебраическим методом имеем уравнение              48 - 2x = 3·(22 - х). Арифметический путь решения данной задачи, как и задач, математические модели которых задаются уравнениями вида                       а + bx = m(c - x), очень трудоемок и практически не применяется. Вместе с тем решение большого числа задач приводит к уравнениям, содержащим неизвестное в обеих частях.

Алгебраический метод решения задач позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличающиеся друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того же математического рассуждения, одних и тех же соотношений, т. е. имеют одну и ту же математическую модель.

1.6. Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач

Среди распространенных методов решения текстовых задач важное значение имеет арифметический метод. Он способствует развитию логического мышления, его гибкости и оригинальности, формированию таких умственных действий, как анализ и синтез. Однако в некоторых случаях бывает непросто сразу найти арифметическое решение задачи. Реальную помощь в такой ситуации может оказать алгебраический метод, с помощью которого, получив ответ на требование задачи, можно попытаться отыскать и ее арифметическое решение.

Предварительно сделаем несколько замечаний.

1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметически. Как правило, задачи, в ходе решения которых получаются квадратные уравнения или уравнения высших степеней, арифметическим методом решить нельзя.

2. Если при решении задачи алгебраическим методом ее модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнений, то можно построить и ее арифметическую модель, т.е. можно решить задачу, применяя арифметический метод.

3. Вид линейного уравнения, вообще говоря, не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. При этом, составив уравнение и решая его, в некоторых случаях можно арифметические действия между данными только намечать, но не выполнять. Тогда найденное для неизвестного числовое выражение будет фактически арифметической моделью данной задачи. Затем необходимо лишь сформулировать вопросы, чтобы записать решение задачи по действиям. Однако как раз именно это сделать бывает нелегко. Нужен определенный опыт установления такой связи между данными методами решения.

Решение системы линейных уравнений практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим методом.

Пример 1. В 8 ч утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью  60 км/ч. В 11 ч из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью   70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами   440 км.

Алгебраический метод приводит к следующему уравнению:                    (60 + 70) · x + 60 · 3 = 440, или 130 x + 180 = 440, где х ч — время движения второго поезда до встречи. Тогда 130х = 440 — 180; 130х = 260; х = 2 (ч). Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130); время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11 - 8 = 3); расстояние, пройденное первым поездом за 3ч (60 · 3 = 180); расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 - 180 = 260); время движения второго поезда до встречи (260 : 130 = 2).

Этапы решения задач алгебраическим и арифметическим методами будем параллельно записывать в таблице. Эта таблица позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, помогают найти ее арифметическое решение.

Оформим решение задачи арифметическим методом:

1) 11 - 8 = 3 (ч) — был в пути первый поезд до начала движения второго;

2) 60 · 3 = 180 (км) — прошел первый поезд за 3 ч;

3) 440 - 180 = 260 (км) — расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;

4) 60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость сближения поездов;

5) 260 : 130 = 2 (ч) — время движения второго поезда;

6) 11 + 2 = 13 (ч) — в такое время поезда встретятся.

Ответ: поезда встретятся в 13 ч.

Пример 2. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 чел, больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом показаны в таблице.

Используя данные таблицы, получаем арифметическое решение задачи:

1) 5 · 18 = 90 (чел.) — на столько человек больше, чем мест, было в 18 вагонах;

2) 90 + 6 = 96 (м.) — столько мест в трех вагонах;

3) 96 : 3 = 32 (м.) — столько мест в одном вагоне;

4) 32 + 5 = 37(чел.) — было в каждом из 18 вагонов;

5) 37 · 18 = 666 (чел.) – зрителей уехало на трамваях;

6) 666 + 174 = 840 (чел.) – всего зрителей было в театре.

Ответ: в театре было 840 человек.

       Глава II. Решение задач алгебраическим методом

2.1. Решение задач методом составления уравнений

2.1.1. Задачи на движение

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути (s), скорости (v) и времени (t). Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении, когда скорость постоянна по модулю и направлению. В этом случае все три величины связаны следующим соотношением: s = vt. Например, если скорость велосипедиста 12 км/ч, то за 1,5 ч он проедет 12 · 1,5  =  18 (км). Встречаются задачи, в которых рассматривается равноускоренное прямолинейное движение, т.е. движение с постоянным ускорением (а). Пройденный путь s в этом случае вычисляется по формуле: s = v₀ · t + at², где v₀ — начальная скорость движения. Так, за 10 с падения с начальной скоростью 5 м/с и ускорением свободного падения 9,8 м²/с тело пролетит расстояние, равное                     5 · 10  + 9,8 · 10² : 2  = 50  + 490  = 540 (м).

Как уже отмечалось, в ходе решения текстовых задач и в первую очередь в задачах, связанных с движением, весьма полезно сделать иллюстративный чертеж (построить вспомогательную графическую модель задачи). Чертеж следует выполнить так, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми встречами, остановками и поворотами. Грамотно составленный чертеж позволяет не только глубже понять содержание задачи, но и облегчает составление уравнений и неравенств. Примеры таких чертежей будут приведены ниже.

Обычно в задачах на движение принимаются следующие соглашения.

1. Если специально не оговорено в задаче, то движение на отдельных участках считается равномерным (будь то движение по прямой или по окружности).

2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т.е. происходят без затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно.

Данную группу задач, в свою очередь, можно разбить на задачи,       в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу;              2) в одном направлении («вдогонку»); 3) в противоположны направлениях;  4) по замкнутой траектории; 5) по течению реки.

1. Если расстояние между телами равно s, а скорости тел равны         v  и v , то при движении тел навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно s : (v₁  – v₂ ).

2. Если расстояние между телами равно s, а скорости тел равны         v и v , то при движении тел в одну сторону (v₁  > v₂ ) время, через которое первое тело догонит второе, равно s : (v₁ –v₂ ).

3. Если расстояние между телами равно s, а скорости тел равны         v  и v , то, отправившись одновременно в противоположных направлениях, тела будут через время t находиться на расстоянии s₁ = s + (v₁ + v₂ )·t.

4. Если тела движутся в одном направлении по замкнутой траектории длиной s со скоростями v₁  и v₂ , то время, через которое тела опять встретятся (одно тело догонит другое), отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = s : (v₁ – v₂ ) при условии,           что v₁  > v₂.

Это следует из того, что при одновременном старте по замкнутой траектории в одном направлении тело, скорость которого больше, начинает догонять тело, скорость которого меньше. В первый раз оно догоняет его, пройдя расстояние, на s большее, чем другое тело. Если же оно обгоняет его во второй, в третий раз и т.д., это означает, что оно проходит расстояние на 2s, на 3s и т. д. большее, чем другое тело.

Если тела движутся в разных направлениях по замкнутой траектории длиной s со скоростями v₁  и v₂ , то время, через которое они встретятся, отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле             t = s : (v  + v ). В этом случае сразу после начала движения возникает ситуация, когда тела начинают двигаться навстречу друг другу.

5. Если тело движется по течению реки, то его скорость относительно берега и слагается из скорости тела в стоячей воде v и скорости течения реки w : и = v + w. Если тело движется против течения реки, то его скорость и = v - w. Например, если скорость катера                   v = 12 км/ч, а скорость течения реки w = 3 км/ч, то за 3 ч по течению реки катер проплывет (12 км/ч + 3 км/ч) 3 ч = 45 км, а против течения —          (12 км/ч - 3 км/ч) 3 ч = 27 км. Считают, что скорость предметов, имеющих нулевую скорость движения в стоячей воде (плот, бревно и т.п.), равна скорости течения реки.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Из одного пункта в одном направлении через каждые 20 мин выезжают автомобили. Второй автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, а скорость первого на 50% больше скорости второго. Найдите скорость движения третьего автомобиля, если известно, что он обогнал первый автомобиль на 5,5 ч позже, чем второй.

Решение. Пусть х км/ч  - скорость третьего автомобиля. Скорость первого автомобиля на 50% больше скорости второго, значит, она равна

 50% = 0,5

60 + 0,5 · 60 = 60 +30 =90 (км/ч)

При движении в одном направлении время встречи находится как отношение расстояния между объектами к разности их скоростей. Первый автомобиль за 40 мин (2/3 ч) проедет 90·(2/3) = 60 (км). Следовательно, третий его догонит (они встретятся) через 60/(х — 90) часов. Второй за 20 мин (1/3 ч) проедет 60 (1/3) = 20 км. Значит, третий его догонит (они встретятся) через 20/(х — 60) ч.

По условию задачи   

v₁  – 60 км/ч;

v₂  – на 50% больше, чем v₁;

v₃  – х км/ч

После нескольких преобразование получим квадратное уравнение

11х² - 1730х + 63000 = 0, решив которое найдем х₁  =100, х₂  = 57  .

Проверка показывает, что второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае третий автомобиль не догонит другие автомобили.

Ответ: скорость движения третьего автомобиля 100 км/ч.

Пример 2. Теплоход прошел по течению реки 96 км, вернулся обратно и некоторое время простоял под погрузкой, затратив на все 32 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Определите скорость теплохода в стоячей воде, если время погрузки составляет 37,5% от времени, затраченное на весь путь туда и обратно.

Решение. Пусть х км/ч — скорость теплохода в стоячей воде. Тогда (x + 2) км/ч — его скорость по течению; (x - 2) км/ч — против течения; 96 : (х+ 2) ч — время движения по течению; 96 : (x - 2) ч — время движения против течения. Так как 37,5% от общего количества времени теплоход стоит под погрузкой, то чистое время движения равно            62,5% · 32 : 100% = 20 (ч), следовательно, по условию задачи имеем уравнение

   или  

Преобразовав его, получим:

24·(х – 2 + х + 2) = 5·(х + 2)·(х — 2) : 5x² - 4х - 20 = 0. Решив квадратное уравнение, находим: x = 10; х = - 0,4. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10 км/ч — скорость движения теплохода в стоячей воде.

Пример 3. Автомобиль проехал путь из города А в город С через город В без остановок. Расстояние АВ, равное 120 км, он проехал с постоянной скоростью на 1 ч быстрее, чем расстояние ВС, равное 90 км. Определите среднюю скорость движения автомобиля от города А до города С, если известно, что скорость на участке АВ на 30 км/ч больше скорости на участке ВС.

Решение. Пусть х км/ч — скорость автомобиля на участке ВС. Тогда (х + 30) км/ч — скорость на участке АВ, 120/(х+ 30) ч, 90/х ч — время, за которое автомобиль проезжает пути АВ и ВС соответственно. Следовательно, по условию задачи имеем уравнение

Преобразуем его: 120x + 1(х + 30) x = 90 (x + 30); х² + 60x — 2700 = 0. Решив квадратное уравнение, находим: х = 30, х = -90. Второй корень не удовлетворяет условию задачи. Значит, скорость на участке ВС равна 30 км/ч, на участке АВ — 60 км/ч. Отсюда следует, что расстояние АВ автомобиль проехал за 2 ч (120 : 60 = 2 (ч)), а расстояние ВС — за 3 ч      (90 : 30 = 3 (ч)), поэтому все расстояние АС он проехал за 5ч (3 + 2 = 5 (ч)). Тогда средняя скорость движения на участке АС, протяженность которого 210 км, равна 210 : 5 = 42 (км/ч).

Ответ: 42 км/ч — средняя скорость движения автомобиля на участке АС.

2.1.2 Задачи на работу

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе А, времени t, в течение которого производится работа, производительности P — работе, произведенной в единицу времени. Эти три величины связаны уравнением А = Pt. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров (сосудов, баков, бассейнов и т.п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу, вообще говоря, можно отнести к группе задач на движение, так как в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом различаются, причем часть задач на работу имеют свои специфические приемы решения. Так, в тех задачах, в которых объем выполняемой работы не задан, вся работа принимается за единицу.

Пример. Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Решение. Найдем 35% от 240 га: 35% = 0,35; 240 · 0,35 = 84(га). Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 + 84 га = 324(га). Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х + 3)га; 240/х — время работы первой бригады; 324 : (х + 3) — время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение

После преобразований его можно записать так:

324х - 240х - 720 = 2х² + 6х; 2х² - 78х + 720 = 0; х² - 39х + 360 = 0.

Решив квадратное уравнение, находим х₁ = 24, x₂ = 15. Это норма первой бригады. Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га — вторая или 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га — вторая.

2.1.3. Задачи на смеси и проценты

К этой группе задач относятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты.

Пример. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 80% и 30% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 60% меди?

Решение. Пусть первого сплава взято х кг, а второго — у кг. По условию концентрация меди в первом сплаве равна 80/100 = 0,8, во втором - 30/100 = 0,3 (ясно, что речь идет о весовых концентрациях), значит, в первом сплаве 0,8х кг меди и (1 - 0,8)х = 0,2х кг цинка, во втором — 0,3y кг меди и (1 - 0,3) y = 0,7у кг цинка. Количество меди в получившемся сплаве равно (0,8 х + 0,3 у) кг, а масса этого сплава составит (х + у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, равна

 0,8х + 0,3у .

      х + у

По условию задачи эта концентрация должна равняться 0,6. Следовательно, получаем уравнение

            или    

Данное уравнение содержит два неизвестных х и у. Однако по условию задачи требуется определить не сами величины х и у, а только их отношение. После несложных преобразований получаем

Ответ: сплавы надо взять в отношении 3 : 2.

2.1.4. Задачи с целочисленными неизвестными

К этой группе задач относятся задачи, в которых неизвестные величины могут принимать только целые значения. Как правило, эти задачи составлены так, что их однозначное решение находится только при условии существенного использования этого обстоятельства, т.е. малочисленность искомого является дополнительным условием, позволяющим выбрать его однозначно из некоторого множества значений, удовлетворяющих остальным условиям задачи.

Пример. В автогонках принимают участие команды, имеющие одинаковое число автомобилей марки «Волга» и марки «Москвич», причем в каждой команде число всех автомобилей меньше 7. Если в каждой команде число автомобилей марки «Волга» оставить без изменения, а число автомобилей марки «Москвич» увеличить в 3 раза, то общее число «Москвичей», участвующих в гонках, будет на 50 больше общего числа «Волг», а число автомобилей в каждой команде превысит 12. Определите число команд, участвующих в гонках, и число «Волг» и «Москвичей» в каждой команде.

Решение. Пусть N — число команд, участвующих в гонках,  m и n число «Волг» и «Москвичей» в каждой команде соответственно. Тогда условия задачи приводят к следующей системе уравнений и неравенств, которую запишем в виде таблицы.

Запишем последнее неравенство системы в виде

         (m + n) + 2n > 12     или     n > 6 – m + n : 2

Из условия задачи, первого и последнего неравенств следует, что 2 < m + n < 6; а n < 6. Используя эти ограничения, получаем, что 4 < n < 6. Значит, возможны следующие варианты:

1) n = 4, m = 1;

2) n = 4, m = 2;

3) n = 4, m = 1.

Соответственно этому, единственное имеющееся в системе уравнение примет вид: 1) 11N = 50; 2) 10N = 50; 3) 14N = 50. Поскольку N - целое число, то решение получается только во втором случае. Итак, N = 5.

Ответ: участвовало 5 команд, в каждой из которых было по две «Волги» и по четыре «Москвича».

2.2. Решение задач методом составления систем уравнений

2.2.1. Задачи на движение

Пример. Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 64 м с постоянными скоростями, встречаются каждые 4 с. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 32 с. Найдите линейные скорости этих тел.

Решение. Обозначим скорости первого и второго тела через х м/с и   у м/с соответственно. Тогда по условию задачи получаем следующую систему уравнений:

Решив последнюю систему, получаем х = 9 м/с – скорость первого тела, значит, скорость второго тела равна 7 м/с.

Ответ: 9 м/с, 7 м/с – линейные скорости тел.

После разбора задач, в которых рассматриваются стандартные ситуации, приведем несколько примеров задач на движение, отличающихся некоторыми своими специфическими особенностями.

2.2.2. Задачи на работу

Пример. Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней.
После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней.
За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно.

Решение. Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада — за у дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х — производительность первой бригады, а 1/у — второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение

          12·(1/x + 1/у) = 1.

Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а
первая — только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид

         8/х + 15/y = 1.

Таким образом, имеем систему:

                 или   

Вычтем из второго уравнения первое, получим: 21/у = 1; у = 21. Тогда 12 x + 12/21 = 1; 12/x = 3/7; х = 28.

Ответ: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день — вторая.

2.2.3. Задачи на смеси и проценты

Пример. Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40%-ный, второй — 60%-ный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получили бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?

Решение. Пусть х кг — масса первого раствора, у кг — второго. Тогда масса 20%-ного раствора (х + у + 5) кг. Так как в х кг 40%-ного раствора содержится 0,4х кг кислоты, в у кг 60%-ного раствора содержится 0,6у кг кислоты, а в (х + у + 5) кг 20%-ного раствора содержится               0,2·(х + у + 5) кг кислоты, то по условию имеем первое уравнение

0,4х + 0,6у  =  0,2·(х + у + 5).

Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг 80%-ного раствора, то получится раствор массой (х+у+5) кг, в котором будет                                  (0,4х + 0,6у + 0,8·5) кг кислоты, что составит 70% от (х + у + 5) кг.

Значит, второе уравнение запишется в виде

0,4х+ 0,6у + 4 = 0,7·(х + у + 5).

Таким образом, получили следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

решив которую найдем: х = 1, у = 2.

Ответ: первый раствор весит 1 кг, второй — 2 кг.

2.2.4. Задачи с целочисленными неизвестными

Пример. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение. Пусть в альбоме m листов, а у школьника — N марок. Используя условие задачи, приходим к системе уравнений, представленной в таблице.

Таким образом, в этой задаче имеется одно уравнение и два неравенства. Выразим N из уравнения этой системы и подставим его в каждое из неравенств:

Учитывая, что m — целое число, из первого неравенства этой системы находим, что m < 12, а из второго неравенства — что m > 12. Сравнивая между собой эти результаты, получаем m = 12.

Ответ: в альбоме 12 листов.

Заключение

Жизнь лишь постольку прекрасна, поскольку ее можно посвятить изучению математики и ее преподаванию

С.Пуассон

Тема выпускной квалификационной работы является одной из актуальных в современной методике преподавания математики, так как в большинстве случаев решение текстовых задач вызывает трудности у учащихся. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала. С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи – традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Следует как можно чаще решать текстовые задачи алгебраическим способом, так как это является одним из основных показателей уровня математического развития школьников, глубины усвоения ими учебного материала.

В конечном итоге это приведёт к качественно новому уровню подхода учащихся к изучению математики, суть которого сводится не к механическому, шаблонному решению поставленных задач, а их всестороннему анализу. При учёте этих факторов учащиеся достигают более высоких результатов обучения.

Решение задачи алгебраическим методом - чуть ли не единственный путь для объяснения ученикам того, чем вообще занимается математика, - объяснения метода математического моделирования. Собственная деятельность школьника в этой области протекает только при решении текстовых задач алгебраическим методом. Ученик читает условия, характеризующие некоторую бытовую ситуацию, переводит эту ситуацию на математический язык (составляет уравнения) и затем решает уравнения, уже не думая о данной бытовой ситуации. Он работает с математической моделью. Наконец, он получает результат на языке этой модели и переводит его на естественный язык (осмысление и запись ответа) - получает решение бытовой задачи.

У учащихся наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Также были рассмотрены текстовые задачи в учебниках различных авторов в 5- 9 классах.

В процессе исследования были достигнуты следующие задачи:

•  изучена необходимая литература по данной теме;
•  рассмотрены современные подходы к решению задач алгебраическим способом;
•  выяснено, какие трудности возникают в ходе решения задач алгебраическим способом, указаны способы преодоления;
•  подобраны практические упражнения, которые способствуют формированию навыков решения задач алгебраическим способом;

           Подтверждена гипотеза, что решение текстовых задач способствует развитию аналитического, логического, наглядно-образного мышления, соединению теории с жизненной практикой учеников.

Список литературы:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра 9 кл. – М.: Просвещение, 2003. – с. 32 – 35.
2. Балаян Э. Н.  Устные упражнения  по математике для 5 – 11 классов. – М.: Феникс, - 2008.
3. Белошистая А. В.  Обучение решению задач по математике. – М.: Экзамен, -  2010.
4. Васильченко З. Н.  Внеклассная работа по математике. – Шахты: ГОУСПОРО-ШПК, - 2006.
5. Васильченко З. Н.  Нестандартные уроки математики. – Шахты: ГОУСПОРО-ШПК, - 2006.
6. Васильченко З. Н.  Подготовка учителя к уроку. – Шахты: ГОУСПОРО-ШПК, - 2007.
7. Вафеева А.М.  Арифметические задачи для формирования познавательного интереса учащихся // Математика в школе. – 2011. - №3 – с. 56 – 62.
8. Виноградова Л. В. Методика преподавания математики в средней школе. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.
9. Виноградова Л. П. Обучение решению задач // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. - 540 с.
10.  Волович М. Б. и др.  Справочник школьника. – М.: Пресс книга, - 2004.
11.  Выговская В. В.  Поурочные разработки по математике 6 кл. к учебному комплекту Виленкина Н. Я. – М.: ВАКО, - 2011.
12.  Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.
13.  Демидова Т. Е., Топких А.П.  Теория и практика решения текстовых задач. – М.: ACADEMiA, -2002.
14.  Дорофеева А. В.  История Математики и ее преподавания // Математика в школе. – 2009. - №2. – с. 91 – 93.
15.  Земрах Т. В.  Курсовая работа: методические рекомендации для самостоятельной работы студентов. – Шахты, - 2008.
16.  Керова Г. В.  Нестандартные задачи по математике. – М.: ВАКО, - 2010.
17.  Клименченко Д. В.  Задачи по математике для любознательных. – М.: Просвещение, - 2002.
18.  Крутецкая В. А.  Математика: доклады, рефераты, сообщения. – Санкт-Петербург: Литература, - 2007.
19.  Лахова Н.В.  Решение текстовых задач в средних классах // Математика в школе. – 2009. - №3. – с. 17 – 23.
20.  Минаева С. С.  Вычисляем без ошибок: работы с самопроверкой 5 – 6 кл. – М.: Экзамен, - 2010.
21.  Перельман Я. И.  Занимательная арифметика. – М.: Астрель, - 2007.
22.  Перельман Я. И.  Живая математика. – М.: Астрель, - 2003.
23.  Полякова Т. С.  История отечественного школьного математического образования. – Ростовский педагогический университет, - 1997.
24.  Попова Л. П.  Поурочные разработки по математике 5 кл. : к учебному комплекту Виленкина Н. Я. – М.: ВАКО, - 2011.
25.  Присяжнюк И. В., Хамулина Е. И. Организация исследовательской деятельности студентов: для ШПК. – Шахты, - 2003.
26.  Роганин А. Н., Лысикова И. В.  Математика. – М.: Эксмо, - 2011.
27.  Савинов Е.С. Государственный стандарт основного общего образования по математике. – М.: Просвещение, - 2011.
28.  Сафонова Л. А. О действиях, составляющих умение решать текстовые задачи // Методический семинар. – 2008. - №4. – с. 34 – 36.
29.  Стойлова Л. П. Математика. – М.: Академия, 2005.
30.  Стойлова Л. П., Пышкалова А. М.  Основы начального курса математики. – М.: Просвещение, - 1988.
31. Харьковская В.Ф. Методика преподавания алгебры в основной школе. – Ростов-на-Дону, 1996.