Презентация "Математика в таблицах. Тригонометрия"
презентация к уроку по теме

Слайд 1

тригонометрия Математика в таблицах Разработала Андрюхина М. И. ГАПОУ КК КГТК КРАСНОДАР 2012 Г.

Слайд 2

Таблица 1. Радианная мера угла α R l = R α = 1 рад α l = R = α l = 2R α = 2 рад R l = 2R R 1° = рад. 1 рад. = 1° 0, 017 рад 1рад. 57°

Слайд 3

Таблица 2. Определение тригонометрических величин Рассмотр им единичную окружность R = 1 с центром в т. О(0;0). OA – начальный радиус. α – угол поворота: ОА → ОМ, А → М. t – длина дуги А͝В: t = A ͝ B . t – криволинейная координата точки М: М( t ) = М(х 0 ; у 0 ) = x 0 , – 1 ≤ ≤ 1; = у 0 , – 1 ≤ ≤ 1; = , ≠ 0; = , ≠ 0. x 0 O X У М (t) y 0 • t α – + A 1 • • •

Слайд 4

Таблица 3. Числовая окружность x 0 0 y 1 π 2π – – – – – – – – - π – – – – – – • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Слайд 5

Таблица 4. Знаки тригонометрических функций по четвертям х у + + − − 0 0 0 х у + + − − х + + − − у ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Слайд 6

Таблица 5. Свойства тригонометрических величин Для любого значения t справедливы равенства: = ; = − ; = − ; = − . Х • • - t t α -α • • • У

Слайд 7

Таблица 6. Свойства тригонометрических величин у Х t α 0 • Для любого значения t справедливы равенства: = ; = ; = ; = ;

Слайд 8

Таблица 7. Основные тригонометрические тождества Уравнение окружности: + = ; = x 0 , = у 0 ; R = 1; c о s 2 t + sin 2 t = 1 = ; = ; • = 1 1 + t g 2 t = ; 1 + ct g 2 t = . х у 1 0 у 0 М R = 1 ● ● ● х 0

Слайд 9

Таблица 8. Формулы приведения t ( π + t ) π х у + t ( π – t) - t 0 0 • • • • • • • • • • • • sin( π − t) = sin t со s (π − t ) = − со s t sin (π + t ) = − sin t cos (π + t ) = − cos t

Слайд 10

Таблица 9. Формулы приведения sin( − t) = со s t со s( − t) = sin t sin( + t) = со s t со s( + t) = − sin t sin(2 π − t) = − sin t со s(2 π − t) = со s t sin(2 π + t) = sin t со s(2 π + t) = со s t t ( - t ) ( + t ) + t (2 π - t ) + t - t - t 0 у 2π π х • • • • • • • • • • • • • • •

Слайд 11

• - t ( - t ) 0 Х У + t ( - t ) • 0 π • • • • • • • • • • t • Таблица 10. Формулы приведения sin( − t) = − со s t со s( − t) = − sin t sin ( + t ) = − со s t со s( + t) = sin t

Слайд 12

Таблица 11. Функция у = cos x у х • • π 1 • • - • • • • • • • • у = • • • • • -π • • • • • • • -1 - • • • • • • 0 -

Слайд 13

1. Область определения: D ( f ) = ( ; + ). 2. Четная: = . 3. Периодичная, с периодом: Т = 2π. 4. Нули функции: х = + π k , k ϵ Z. 5. Промежутки знакопостоянства: ˃ 0 на промежутках ( − + 2π k ; + 2π k ) , k ϵ Z ˂ 0 на промежутках ( + 2π k ; + 2π k ) , k ϵ Z Таблица 12. Свойства функции у = cos x 2 π 0 − + + − х у 0 − π π

Слайд 14

Таблица 13. Свойства функции у = cos x 6. Возрастает на промежутках: ( − π + 2π k ; 2π k ), k ϵ Z убывает на промежутках: ( 2π k ; π + 2π k ), k ϵ Z 7. Точки максимума: х = 2π k , k ϵ Z точки минимума: х = π + 2π k , k ϵ Z 8. Наименьшее значение функции: у наим . = − 1, наибольшее значение функции: у наиб . = 1. 9. Область значений: Е( f ) = [− 1; 1]. 2 π X У 0 0 π − π

Слайд 15

Таблица 14. Функция у = У 0 Х − 1 • • • • • • 1 y = − π π • • • • • •

Слайд 16

Таблица 15. Свойства Функции у = Область определения: D ( f ) = ( ; + ). 2. Нечетная: = − . 3. Периодичная, с периодом: Т = 2π. 4. Нули функции: х = π k , k ϵ Z . 5. Промежутки знакопостоянства: ˃ 0 на промежутках (2π k ; π + 2π k ) , k ϵ Z ˂ 0 на промежутках ( − π + 2π k ; 2π k ) , k ϵ Z. − + + − 2 π Х У 0 − π π

Слайд 17

Таблица 16. Свойства Функции у = Х У 0 2 π 0 π − π 6. Возрастает на промежутках: (− + 2π k ; +2π k ), k ϵ Z убывает на промежутках ( + 2π k ; + 2π k ), k ϵ Z . 7. Точки максимума функции: х = + 2π k , k ϵ Z , точки минимумы функции х = − + 2π k , k ϵ Z 8. Наименьшее значение функции у наим . = − 1, наибольшее значение функции у наиб . = 1. 9. Область значений Е( f ) = [− 1; 1].

Слайд 18

Таблица 17. Преобразование графиков функций у = и у = cos x π 0 Х 1 У у = − у = − π • • • • • -1 • График функции у = − f ( x ) можно получить из графика функции у = f ( x ) с помощью преобразования симметрии относительно оси Ох

Слайд 19

Таблица 18. Преобразование графиков функций у = и у = cos x График функции у = mf ( x ), где m ˃ 1, можно получить путем растяжения графика функции у = f ( x ) от оси Ох с коэффициентом m . График функции у = mf ( x ), где 0 ˂ m ˂ 1, можно получить путем сжатия графика функции у = f ( x ) к оси Ох с коэффициентом . • 0 У Х π -1 • • • − π у = у = у = 1

Слайд 20

Таблица 19. Преобразование графиков функций у = и у = cos x 0 Х -1 У у = у = π − π • • 1 График функции у = f ( kx ), где k ˃ 1, можно получить путем сжатия графика функции у = f ( x ) к оси О y с коэффициентом k

Слайд 21

Таблица 20. Преобразование графиков функций у = и у = cos x 0 У Х π 1 -1 • • − π у = у = График функции у = f ( kx ), где 0 ˂ k ˂ 1, можно получить путем растяжения графика функции у = f ( x ) от оси О y с коэффициентом

Слайд 22

Таблица 21. Функция у = • х у • • • • • • • y = tg x 1 -1 0 • - π • • • T = π π

Слайд 23

Таблица 22. Свойства Функции у = Х π 0 + + − − У 0 1. D ( f ) = ( − + π k ; + π k ), k ϵ Z . 2. Нечетная: tg (− x ) = − tg x . 3. Периодичная с периодом Т = π 4 . Нули функции х = π k , k ϵ Z . 5. tg x ˃ 0 на промежутках : (π k ; + π k ), k ϵ Z tg x ˂ 0 на промежутках : ( − + π k ; π k ), k ϵ Z . 6. Возрастает на промежутках : ( − + π k ; + π k ), k ϵ Z . 7. Функция у = tg x не ограниченная. 8. Е( f ) = (− ; + ).

Слайд 24

Таблица 23. Функция у = с • х у • • • • • • • y = с tg x π 1 -1 - π 0 Т = π • • • • • • • •

Слайд 25

1. D ( f ) = (π k ; π + π k ), k ϵ Z . 2. Нечетная: с tg (− x ) = − с tg x . 3. Периодичная с периодом Т = π . 4. Нули функции х = + π k , k ϵ Z . 5. tg x ˃ 0 на промежутках : (π k ; + π k ), k ϵ Z, tg x ˂ 0 на промежутках : (− + π k ; π k ), k ϵ Z . 6. Убывает на промежутках : (π k ; π + π k ), k ϵ Z . 7. Функция у = с tg x не ограниченная. 8. Е( f ) = (− ; + ). Таблица 24. Свойства Функции у = Х π 0 + + − − У 0

Слайд 26

Таблица 25. Решение уравнения = а = π − Задача. Решить уравнение = , | | ≤ 1 Решение. х π 0 y 0 - • • • • •

Слайд 27

Таблица 26. Частные случаи Решения уравнения = а • 0 0 0 • π • π π • • • • • • • • • , t = + π k, k ϵ Z. , t = π k, k ϵ Z. , t = π + π k, k ϵ Z.

Слайд 28

Таблица 27. Решение уравнения = а = − Задача . Решить уравнение Решение. π х 0 0 - • arc sin ( - a ) arc sin a У • • • •

Слайд 29

Таблица 28. Частные случаи Решения уравнения = а • • • • • • • • π 0 0 0 π π • • • • , t = π n, n ϵ Z. , t = + 2 π n, n ϵ Z. , t = + 2 π n, n ϵ Z.

Слайд 30

Таблица 29. Решение уравнения = а ⇔ = . Задача. Решить уравнение . Решение. х = , k ϵ . у х - - • a • • -a • • • • y = tg x x 2 x 1 •

Слайд 31

Таблица 30. Решение уравнения = а ⇔ = . Задача. Решить уравнение . Решение. х = , k ϵ . у х 0 a π 2 π - π y = ctg x -a x 2 • • • • • • • • • • • x 1 •

Слайд 32

, | | < 1, , | | < 1, Таблица 31. Решение неравенств > а и < а у х 0 а arccos a - arccos a 0 • • 0 а х у • • arccos a 2 π - arccos a 2 π 0

Слайд 33

Таблица 32. Решение неравенств > а и < а х у а 0 • • arcsin a π - arcsin a 0 , | | < 1 , . х у а 0 • • arcsin a -π - arcsin a - π 0 , | | < 1 , .

Слайд 34

Таблица 33. Тригонометрические формулы Основные тригонометрические тождества + = 1, = = , = , = , Формулы двойного аргумента = 2 = = 2 = 1 = = =

Слайд 35

Таблица 34. Тригонометрические формулы Тригонометрические функции суммы и разности аргументов = , = , = = .

Слайд 36

Таблица 35. Тригонометрические формулы Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения = 2 , = 2 , = 2 = 2 . Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы = = = .