Пособие для выполнения практической работы по теме "Матрицы"
методическая разработка на тему

                                    Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Технологический колледж № 28»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТИ:

 «Технология мяса и мясных продуктов»

«Товароведение и экспертиза потребительских товаров»

«Монтаж и эксплуатация холодильно- компрессорных машин и установок»

         «Экономика и бухгалтерский учёт»

Авторы:  преподаватели

 Плотникова И.А.

Соколова Л.А.

Москва2014г

   Методические указания по выполнению практических работ по математике (алгебре и началам анализа) содержат следующие позиции:

- цель работы;

- какие знания и умения должен приобрести студент по выполнении работы;

- краткие сведения по теории;

- образцы решения примеров и задач по теме;

- задания для самостоятельного решения;

- контрольные вопросы для проверки теоретических знаний;

- общие рекомендации по выполнению самостоятельной работы.

          Методические указания     предназначены для студентов второго курса и преподавателей математики профессиональных колледжей.

Практическая работа

Свойства матриц и определителей, действия над ними

Цель работы:

- научить студентов пользоваться свойствами матриц и определителей;

-выработать умение доводить решение задачи до логического конца;

- развивать алгоритмическую культуру;

В результате выполнения работы студент должен приобрести следующие умения:

-выполнять действия над матрицами о определителями;

Для выполнения практической работы необходимо:

1.Ознакомиться  с целями и задачами  данной практической работы.

2. Ознакомиться  с теоретической частью работы.

3. Разобрать  решённые примеры.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Решить задания для самостоятельной работы.

6. Оформить решение заданий в тетради для практических работ.

Теоретическая часть

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

§1 ПОНЯТИЕ  МАТРИЦЫ.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел,    расположенных в n строк и m столбцов.

Для записи матрицы используются или двойные вертикальные или круглые   скобки.

                                           или    

Для краткого обозначения используют и одну большую латинскую букву (например, А), и символы, , иногда и с разъяснением: А= ,  где i – текущий номер строки (i  =1,2,3,…n),  j – текущий номер столбца (j = 1,2,3,…,m), -элемент матрицы А, стоящий в i –ой строке и  j – ом столбце.

Числа n и m называются порядком матрицы: n – количество строк, m –  количество столбцов. Говорят: матрица А размером n x m.

Если n=m, то матрица называется квадратной, ее размер n (или m).

Элементы квадратной матрицы  образуют главную диагональ матрицы А, идущую из левого верхнего угла в правый нижний угол. Элементы квадратной матрицы  образуют побочную диагональ матрицы А.

Пример:

А= - матрица размера 2 х 3; 2  строки, 3 столбца; .

В=- квадратная матрица 2-го порядка, элементы главной диагонали 5, 9, элементы побочной диагонали 11, -8.

Матрицы называются равными, если они одного порядка и соответствующие элементы равны.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица, у которой элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Если в диагональной матрице элементы главной диагонали равны единице (остальные нули), то матрица – единичная.

 Пример 1.1.:

К=,   Р=, Е=, О=, Н=, Д=, С=.

Е – единичная матрица 4-го порядка

О - нулевая матрица 2-го порядка

Н – диагональная матрица 3-го порядка

К и Р – равные матрицы ( обе размера 2 х 3, все соответствующие элементы равны между собой)

Д – матрица –строка (количество строк – 1, количество столбцов 5)

С – матрица – столбец (количество строк – 4, количество столбцов – 1).

§2 Основные операции над матрицами.

2.1 Сложение.        

Складывать можно матрицы одного порядка.

Пусть даны две матрицы А и В одного порядка.

А=            В=, тогда С=А+В, если ,

где i =1,2,3,…,n;  j = 1,2,3,…,m;  т.е.

С=

Из определения операции сложения матриц следует, что она обладает всеми теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1. А+В=В+А,  т.е. подчиняется переместительному (коммутативному) закону,

2. (А+В)+П= А+(В+П),  т.е. подчиняется сочетательному (ассоциативному) закону.

Это означает, что при сложении матриц не обязательно заботиться о порядке следования слагаемых матриц.

        Пример 2.1:

1. Матрицы К и А складывать можно, результат  Б=К+А=. Убедитесь, что при сложении А+К результатом будет та же матрица Б.
2. Матрицы Н и А или К и Н складывать нельзя.

Для С=А-В следует поступить: С=А+(-1)В.

Пример 2.2. Найти сумму матриц  и .

Решение.

Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:

Следовательно,

2.2. Умножение матрицы на число.

Матрицы любого порядка можно умножать на число. Для этого каждый элемент матрицы следует умножить на это число.

         Пример 2.3.:

.

 Эта операция подчиняется следующим законам:

1. ()А= (А) -  ассоциативный закон относительно числового множителя;

2.(А+В)=А+В – распределительный (дистрибутивный) закон      относительно суммы матриц;

3. (+)А=А+А  – дистрибутивный закон относительно суммы числовых   множителей.

Пример 2.4. Найти матрицу 5А – 2В, если

                .

Решение.

.

Итак, 5А – 2В .

2.3.  Умножение матриц

Внимание!  Умножать одну матрицу на другую не всегда возможно!.

Матрицу А можно умножить на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В. Например, матрицу К (см. примеры матриц выше) можно умножить на матрицу Н, но Н на К нельзя.

И сразу сделаем первый вывод по операции умножения двух матриц: оно не коммутативно. Итак, пусть А=и В=, где i=1,2,3,…,m;  j =1,2,3,…,n для А (порядок матрицы А – m x n), а для матрицы В:   i=1,2,3,…,n;  j=1,2,3,…,p (порядок матрицы В -  n x p).  Нужно получить  С=AB, С=,  где i=1,2,3,…,m;  j=1,2,3,…,p     (получается, что порядок матрицы С - m x p). Каждый элемент матрицы С определяется так:

 (i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,p).

 Т.е.

Отсюда следуют следующие свойства умножения матрицы А на матрицу В:

1.    –  ассоциативность;
2.   –   дистрибутивность.

!!!Коммутативность не выполняется. Для доказательства этого факта достаточно перемножить АВ и ВА для, например, следующих матриц:

А=  ,  В=.            АВ=,      а        ВА=.

Заметим, что в некоторых случаях коммутативный закон все-таки работает. Это относится к диагональным матрицам, и особо важны в этом отношении единичные матрицы и нулевые. Для них всегда АЕ=ЕА=А,  АО=ОА=О,  где Е – единичная матрица, О – нулевая матрица, А – квадратная матрица. Все три матрицы А, Е, О – одного порядка.

       Пример 2.5.

Дано: В=, А=, С= (2  8).

 Найти: АВ, ВА, ВС, СА, АС

      Решение:

1.АВ – найти нельзя, так как количество столбцов в А не равно количеству строк в В.

2.ВА= . ==.

3.CA=(2 8) = =(18).

4.AC =(2 8)== .

Пример 2.6. Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы

                            и .

Если произведение существует, вычислить его.

Решение.

Сравним размерности матриц А и В: A[3×2], B[2×2]. Следовательно,  поэтому произведение АВ[3×2] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)11 = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)12 = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (ab)21 = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(ab)22 = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)31 = 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (ab)32 = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

Таким образом, , ВА не существует.

Пример 2.7. Найти АВ и ВА, если

                  .

Решение.

Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.

A[2×4], B[4×2]. Следовательно, n = l = 4, m = k = 2, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[2×2], BA[4×4].

Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В:

                с11 = 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9

(сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс – номер столбца В);

               с12 = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5;

               с21 = -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9;

               с22 = -3 · 2 + 1 · 0 + (-1_ · 1 + 1 · 4 = -3.

Следовательно,

                             .

При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А:

 d11 = 3 · 2 + 2 · (-3) = 0;    d12 = 3 · (-2) + 2 · 1 = -4;   d13 = 3 · 1 + 2 · (-1) = 1;

 d14 = 3 · 0 + 2 · 1 = 2;        d21 = -1 · 2 + 0 · (-3) = -2;  d22 = -1 · (-2) + 0 · 1 = 2;

 d23 = -1 · 1 + 0 · (-1) = -1;  d24 = -1 · 0 + 0 · 1 = 0;       d31 = 1 · 2 + 1 · (-3) = -1;

 d32 = 1 · (-2) + 1 · 1 = -1;   d33 = 1 · 1 + 1 · (-1) = 0;     d34 = 1 · 0 + 1 · 1 = 1;

 d41 = 2 · 2 + 4 · (-3) = -8;   d42 = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0;     d43 = 2 · 1 + 4 · (-1) = -2;

 d44 = 2 · 0 + 4 · 1 = 4.

Таким образом,

                               . 

          Контрольные вопросы.

1. Дать определение матрицы.
2. Классификация матриц по размерам.
3. Что такое нулевая и единичная матрицы?
4. При каких условиях матрицы считаются равными?
5. Когда возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат?
6. Как найти произведение матрицы на число?
7. Когда возможна операция умножения матриц? Какова размерность результата умножения?
8. По какому правилу вычисляется элемент матрицы - результата при перемножении матриц?
9. Какие матрицы называются взаимно обратными?

         Задания для самостоятельного решения.

Даны матрицы 
,   ,  ,   .

1. Какую матрицу нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную матрицу Е?
2. Найти А+В.
3. Найти (-3)А.
4. Найти 5А.
5. Найти 2А+3В-2С.
6. Можно ли умножать матрицы и, если можно, указать размерность результата:
    а) ,  б) , в) .
7. Найти произведения АВ и ВА и сравнить результаты.
8. Найти АD и DА.
9. Найти АЕ и ЕА (Е - единичная матрица) и сравнить результаты.

Ответы

1. ;       2. ;       3. ;
4. ;    5. ;     6. а) можно, 2,5, б) нельзя, в) можно,2,15;
7. АВ = ,      ВА = ,    не равны;
8. , DA - не существует;     9.

         Самостоятельная работа № 1.

Матрицы. Операции над матрицами.

1.  Сложить матрицы А и В.

1)

2) ;

3) .

2.  Умножить матрицу на число .

1) ;

2) .

3.  Вычислить линейную комбинацию матриц.

1) ;

2) .

4.  Найти произведение матриц  А и В.

1) ;

2) ;

3) .

Список рекомендуемой литературы

1. Богомолов Н.В., Математика, Учебник для ССУЗов . – М.: Дрофа. 2010.  – 398 с.
2. Григорьев С.Г.Математика. Учебник для ССУЗов . – М.: Академия. 2010. – 384 с.        
3. Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.,: Академия. 2011. – 256 с.

Дополнительная литература

4. Г.Н. Матвеев  «Алгебра и начала анализа» ч.1. – М.: Наука. 2002. – 465стр.