Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень
тест на тему

№1

Решим   уравнение  sin2x  = 2 cos2x.

2sin xcos x - 2cos2x = 0,               2 cosx (sinx - cosx) = 0,    

1. 2 cosx = 0, X = + Пn, nZ,         
2.   2.sinx - cosx = 0, │ : sinx ≠ 0,(  Так как  cos x =0,  то  sinx≠0,nZ.)                                                                                         ctgx  =  ,  

  Ответ. X = + Пn, nZ,         x =  +Пk, kZ.

№2

Решим  уравнение     9х  +  6х = 24х,   

  32х +2х 3х - 222х = 0,|: 2х3х≠0,

t>0, тогда получим уравнение     t  + 1 - =0.  Так как  t≠0,  то  t2+t -2 =0,    t1=-2,  t2=1.

-2  не удовлетворяет  условию  t>0.   Вернёмся к переменной х:

=1,  =,  х=0.

Ответ: х=0.

№3

Решим уравнение  4|sinx|+ 2cos2x =3,   

1.                2.  

Решим первую систему.

а) 4sinx +2cos2x =3,     4sinx +2( cos2x – sin2x) =3, 4sinx+2(1-sin2x –sin2x) =3,

4sinx+2(1-2sin2x)=3,      4sinx +2 -4sin2x -3 = 0,  4sin2x- 4sinx + 1 = 0,

Пусть  sinx =t,  |t|≤1,  тогда   4t2 – 4t +1 =0,  (2t – 1)2 =0,   2t – 1 =0,

t =-удовлетворяет условию |t|≤1.  Вернёмся к переменной х:

sin x =,      x=(-1)n

б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx ≥0:

Решим вторую систему.

а) – 4 sinx + 2 cos2x – 3 =0,  -4 sinx + 2(cos2x – sin2x) – 3 =0,

-4 sinx + 2 ( 1 – sin2x- sin2x) – 3 =0,  -4sinx + 2 – 4sin2x – 3 =0,

4sin2x +4sinx +1 =0, Пусть  sinx =t,  |t|≤1,  тогда  тогда  4t2 + 4t +1 =0,

(2t  + 1)2 =0, 2t  + 1 =0,

t = - -удовлетворяет условию |t|≤1.  Вернёмся к переменной х:

sin x = - ,      x=(-1)k+1

б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx < 0:

Ответ:   

№4

Решим уравнение  log2 + log2(x2- 25) = 0,

1.ОДЗ:           х2  -  25  > 0,    (х-5)(х+5)  > 0.

Решим методом интервалов:

           +                       -                           +              

                 -5                            5

 OДЗ: (-∞; -5)(5;  +∞).

2.log2+log2(x2- 25) = 0     log2(x-5)2=0,   (x-5)2=20 ( по определению логарифма),    (x-5)2=1,    

   a) x-5 = 1                                            б)  х-5 = -1,

  Х=6,  6ОДЗ.                                    Х=4,   4ОДЗ.

Ответ:   х = 6.

№5

Решим уравнение   arcsinx  +  arcsin(x)  = .

Так как правая часть уравнения положительна, то Х>0. В противном случае

 левая часть будет отрицательной.

ОДЗ:  

2.Так как   функция  у=  arcsinx  + arcsinx возрастающая на ОДЗ, то

cos(arcsinx  + arcsinx)   = cos,  Применим формулу сложения для косинуса:

 cos(arcsinx)  cos(arcsin(x)) -  sin(arcsinx)sin(arcsin(x)) =cos,

Левая и правая части последнего уравнения  неотрицательны.

Возведём обе части в квадрат:     (1-х2)(1-3х2) =3х4.  Пусть х2=t, t>0,  тогда получим уравнение  (1-t)(1-3t) =3t2,            3t2 -4t +1 = 3t2,          -4t=-1,  

t =,     удовлетворяет условию t>0.

Вернёмся к переменной х:  х2 =, х1,2 = ±.  -ОДЗ,  ОДЗ.

Ответ:   х=.

№6

Решим систему уравнений

1.ОДЗ:

2.         

  (*)             Разделим первое уравнение на второе:

=,    х =.  Подставим  вместо  х  его значение в уравнение (*), получим

  у=64,  у3 =642,   у3=212,  у=24 = 16.  Найдём х:

Х=,   х = 4.          4  и   16  ОДЗ.

Ответ:   (4;  16).

№7

Решим систему уравнений   

   Сложим и вычтем  эти уравнения и получим систему:

Сложим и вычтем   уравнения  этих систем  и получим:

Ответ:    (      ),   (