Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень
тест на тему

№1

Решим   уравнение  sin2x  = 2 cos2x.

2sin xcos x - 2cos2x = 0,               2 cosx (sinx - cosx) = 0,    

1. 2 cosx = 0, X = + Пn, nZ,         
2.   2.sinx - cosx = 0, │ : sinx ≠ 0,(  Так как  cos x =0,  то  sinx≠0,nZ.)                                                                                         ctgx  =  ,  

  Ответ. X = + Пn, nZ,         x =  +Пk, kZ.

№2

Решим  уравнение     9х  +  6х = 24х,   

  32х +2х 3х - 222х = 0,|: 2х3х≠0,

t>0, тогда получим уравнение     t  + 1 - =0.  Так как  t≠0,  то  t2+t -2 =0,    t1=-2,  t2=1.

-2  не удовлетворяет  условию  t>0.   Вернёмся к переменной х:

=1,  =,  х=0.

Ответ: х=0.

№3

Решим уравнение  4|sinx|+ 2cos2x =3,   

1.                2.  

Решим первую систему.

а) 4sinx +2cos2x =3,     4sinx +2( cos2x – sin2x) =3, 4sinx+2(1-sin2x –sin2x) =3,

4sinx+2(1-2sin2x)=3,      4sinx +2 -4sin2x -3 = 0,  4sin2x- 4sinx + 1 = 0,

Пусть  sinx =t,  |t|≤1,  тогда   4t2 – 4t +1 =0,  (2t – 1)2 =0,   2t – 1 =0,

t =-удовлетворяет условию |t|≤1.  Вернёмся к переменной х:

sin x =,      x=(-1)n

б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx ≥0:

Решим вторую систему.

а) – 4 sinx + 2 cos2x – 3 =0,  -4 sinx + 2(cos2x – sin2x) – 3 =0,

-4 sinx + 2 ( 1 – sin2x- sin2x) – 3 =0,  -4sinx + 2 – 4sin2x – 3 =0,

4sin2x +4sinx +1 =0, Пусть  sinx =t,  |t|≤1,  тогда  тогда  4t2 + 4t +1 =0,

(2t  + 1)2 =0, 2t  + 1 =0,

t = - -удовлетворяет условию |t|≤1.  Вернёмся к переменной х:

sin x = - ,      x=(-1)k+1

б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx < 0:

Ответ:   

№4

Решим уравнение  log2 + log2(x2- 25) = 0,

1.ОДЗ:           х2  -  25  > 0,    (х-5)(х+5)  > 0.

Решим методом интервалов:

           +                       -                           +              

                 -5                            5

 OДЗ: (-∞; -5)(5;  +∞).

2.log2+log2(x2- 25) = 0     log2(x-5)2=0,   (x-5)2=20 ( по определению логарифма),    (x-5)2=1,    

   a) x-5 = 1                                            б)  х-5 = -1,

  Х=6,  6ОДЗ.                                    Х=4,   4ОДЗ.

Ответ:   х = 6.

№5

Решим уравнение   arcsinx  +  arcsin(x)  = .

Так как правая часть уравнения положительна, то Х>0. В противном случае

 левая часть будет отрицательной.

ОДЗ:  

2.Так как   функция  у=  arcsinx  + arcsinx возрастающая на ОДЗ, то

cos(arcsinx  + arcsinx)   = cos,  Применим формулу сложения для косинуса:

 cos(arcsinx)  cos(arcsin(x)) -  sin(arcsinx)sin(arcsin(x)) =cos,

Левая и правая части последнего уравнения  неотрицательны.

Возведём обе части в квадрат:     (1-х2)(1-3х2) =3х4.  Пусть х2=t, t>0,  тогда получим уравнение  (1-t)(1-3t) =3t2,            3t2 -4t +1 = 3t2,          -4t=-1,  

t =,     удовлетворяет условию t>0.

Вернёмся к переменной х:  х2 =, х1,2 = ±.  -ОДЗ,  ОДЗ.

Ответ:   х=.

№6

Решим систему уравнений

1.ОДЗ:

2.         

  (*)             Разделим первое уравнение на второе:

=,    х =.  Подставим  вместо  х  его значение в уравнение (*), получим

  у=64,  у3 =642,   у3=212,  у=24 = 16.  Найдём х:

Х=,   х = 4.          4  и   16  ОДЗ.

Ответ:   (4;  16).

№7

Решим систему уравнений   

   Сложим и вычтем  эти уравнения и получим систему:

Сложим и вычтем   уравнения  этих систем  и получим:

Ответ:    (      ),   (     

№8

Решим систему уравнений  

ОДЗ:

Упростим  первое  уравнение:          2( = 5,

 =.

Упростим   второе   уравнение:    

,  (x-y)(x+y) =3.

Получим систему уравнений:  (*)  Пусть =t,  тогда   t +,

t2 + 1 = t   2t2 -5t+2=0,  D =25-16 =9,  t1,2=,  t1=2, t2=.

Вернёмся к переменным х и у:  

1. =2,      х = 2у. Подставим это значение во второе уравнение системы (*).  

3у2=3,   у2 = 1,  у1.2 =±1,    найдём х:  х1,2=±2. Решение:  (2; 1), (-2;-1).

(-2;-1) не удовлетворяет условию х+у>0,  (2; 1)ОДЗ.

2.  =,    х= у. Подставим это значение во второе уравнение системы (*).  

-уу =3,  =3 - не имеет действительных корней.

Ответ:  (2; 1).

№9

Решим неравенство   

(*)

1.ОДЗ:                

ОДЗ: (-∞;  0)U(0;1)U(1;2)U(2;3).

Неравенство (*) равносильно системам:

а)                                               б)

Так как  (х-1)2<1   при  0 2>0  при x<0 , x>2, то получим:

(0;2).                                                                                 (-∞; -1)U(2;+∞).

С учётом ОДЗ получим:  (-∞; -1)U (0;2) U (2;3)

Ответ:  (-∞; -1)U (0;2) U (2;3)

№10

Решим   неравенство   .

1.ОДЗ:   решим первое неравенство: 7+12х-4х2≥0.

Применим метод интервалов:  -4(х+)(х-)≥0,     (х+)( х -)≤0,

        +                              -                          +                                      

                   -                                                                                                                      

Решение неравенства :      .  Итак,  ОДЗ:

1. ,   Так как   числитель- неотрицательное число, по определению арифметического квадратного корня, то получим

  (*)

X=- [],  x=[],

Решение системы (*):     x=, [].

 С   учётом ОДЗ получим: .

Ответ:

№11

Решим неравенство  x2 + 4x < arcsin(sin5).

1.    Так как≤ arcsin(sin5)≤ , то х2+4х <,
2. D = 16 - 2 П,  16 - 2 П >0 . Уравнение  x2 + 4x + = 0 имеет два корня:

Х1,2= ,

Решение   неравенства x2 + 4x + < 0:  (

 2.Так как

Следовательно, arcsin(sin5) = arcsin(sin(5-2П)) = 5- 2П.

Получим   неравенство  x2 + 4x <5- 2П,     x2 + 4x -5 +  2П<0,

D = 36 - 8 П,  36 - 8 П >0 . Уравнение  x2 + 4x -5 +  2П = 0 имеет два корня:

Х1,2= ,

Х1 = -2 + ,  х2 = -2 - . Получим неравенство :

(х-(-2+))(х- (-2-))<0, (х+2-)(х+2+)<0.

 Применим метод  интервалов:

            +                                          -                                        +

                        -2 -                                   -2 +

Решение   неравенства x2 + 4x -5 +  2П<0:  (-∞;  -2-)U  (-2+).

 С  учётом условий 1 и2 получим: (-2- 

Ответ:   (-2-   

№12

Решим неравенство  .

 Преобразуем: Cгруппируем слагаемые:    

  Вынесем общий множитель:                      Это неравенство равносильно двум системам:

1.     2.

Решим первую систему неравенств.

Решим вторую систему неравенств.

        х=0

Ответ:   (-∞;), х=0

№13

Решим уравнение с параметром   sin2x  + 2cosx =a.

1-cos2x + 2cosx =a,          -cos2x +2cosx +1 –a =0,      cos2x  -2cosx -1 +a =0.

Пусть  cosx =у,  |у|≤1, тогда  у2 -2у-1 +а =0.

Квадратное уравнение у2 -2у-1 +а =0 :

1.Не имеет корней, если D <0:     8-4a <0,    a>2.

2.Имеет один  корень, если  D =0, 8-4a =0,  a=2.

При а=2 получим уравнение  у2 -2у +1 =0 ,  (у-1)2=0, у-1 =0, у=1.

У=1 удовлетворяет условию |у|≤1.

Вернёмся к переменной х:  cosx =1,  x=2Пn, nZ.

3.Имеет два различных корня при  условии, что  D >0: 8-4a >0, a<2.

Y1,2=,    y1 =   , y2  =.

y1= не удовлетворяет  условию |у|  1.

Вернёмся к переменной х:  cosx =,  х= ±arccos()+2Пk,kZ.

Ответ:    При а>2    корней нет,

при    а=2  x=2Пn, nZ,

при а<2   х= ±arccos()+2Пk,kZ.

№14

При каких значениях  параметра  а неравенство

 выполнено при любых значения х?

Решение:

Перенесём  -1  в  левую  часть и приведём к общему знаменателю.

Квадратный трёхчлен х2 -3х+4>0 при всех значениях   переменной  х,

 так как старший коэффициент положительный   и  D<0  ( D= -7).

   х2-ах -2 +х2 -3х +4 >0,    2х2 –(а+3)х +2 >0.

Чтобы это неравенство было выполнимо при любых значениях  х, должно выполняться   условиe:  

а=2>0,    D =(a+3)2-16,      (a+3)2- 16<0,    (a+3-4)(a+3+4)<0,

(a -1)(a+7)<0,      Применим метод интервалов:

                  +                                       -                             +                                              

                             -7                                              1                                                          

(-7; 1).

Ответ. -7