Методическая разработка Олимпиады по математике
олимпиадные задания на тему

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Отрадненский государственный техникум»

Методическая разработка олимпиады

по учебной дисциплине  Математика

г.о. Отрадный

2014г

Пояснительная записка

Олимпиада по математике проводится в рамках Декады профессий.

Основная цель данного мероприятия  проверить умение обучающихся логически рассуждать, умение выбирать правильные ответы, развивать познавательную активность, «видеть» математические задачи даже там, где ее нет

Выполнять  задания могут все обучающиеся,  знающие азы науки математика

Олимпиада рассчитана на широкую аудиторию студентов.

Олимпиада по математике

1.  Каких чисел не бывает?

а) простых;                b) натуральных;                с) рациональных;                d)естественных;        e) действительных

2. Предположим, что фраза «Завтра будет лучше, чем вчера» верна каждый день. Какое из утверждений может тогда быть неверным?

а) Послезавтра будет лучше, чем сегодня;        b) Сегодня будет лучше, чем позавчера;                

c) Завтра будет лучше, чем позавчера;                  d) естественных;        

г) Послезавтра будет лучше, чем позавчера;        e) В 2014 году 1 апреля будет лучше, чем позавчера

3. Какое самое маленькое значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?

а) 3;                b) 4;                c) 9;                d) 6;                        e) 10

4.  Прямые y=2x+3 и  y=kx-3 пересекаются в первой четверти, причем ниже прямой у=5. тогда обязательно…

а) k≤0;                        b) 08

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

(Математическая монета или симметричная монета,  лишена многих качеств настоящей монеты. У нее нет цвета, размера, веса и достоинства. Она сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая – «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи).

6. Учитель математики, проверив контрольные работы у трех друзей: Алексея, Бориса и Василия, сказал им: «Все вы написали работу, причем получили разные отметки («3», «4», 5»). У Василия — не «5», у Бориса — не «4», а у Алексея, по моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель ошибся: одному ученику сказал отметку верно, а другим двум неверно. Какие отметки получил каждый из учеников?
7. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначально цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Критерии оценивания заданий

Задача 1. За правильный ответ без обоснования-2 балла, с обоснованием- 3 балла.

Задача 2. За правильный ответ без обоснования-12 балл,  за обоснование в 3 и более шагов- 2 баллов, за  полное решение -3 баллов.

Задача 3. За правильный ответ без обоснования-2 балла,  с обоснованием-4 баллов.

Задача 4. За правильный ответ без обоснования-2 балла, с обоснованием-5 баллов.

Задача 5.    За правильный ответ без обоснования-2 балла, за подсчет всех возможных исходов-3 балла, за подсчет всех возможных и благоприятных исходов-4 балла, за полное решение-7 баллов.

Задача 6.  За правильный ответ без обоснования- 2 балла,  за рассмотрение 2 частных случаев -3 балла,  за  полное решение -7 баллов.

Задача 7.  За правильный ответ без обоснования-1 балл, решена задача для частного случая -2 балла. Составлено уравнение, но не решено – 3 балла, составлено уравнение, но допущена вычислительная ошибка – 5 баллов. Полное решение - 7 баллов 

Распределение мест

I место – 33- 36 баллов

II место – 28-32 балла

III место – 24-27 баллов

IV место – 19-23 балла

V место – 15-18 баллов

Ответы и решения:

1. d) естественных  чисел  в природе не существует

Примеры: простые числа: 3,5,11,89,…., натуральные числа: 1,2,3,4,5,…; рациональные числа -5,-6,- …. действительные числа - ,5,15,2222,…

2. Завтра будет лучше, чем позавчера.-d

Чтобы решить эту задачу надо понять что улучшение идет через день : завтрашний день будет лучше вчерашнего, но не обязан быть лучше сегодняшнего. Поэтому среди ответов надо найти такой, в котором между указанными днями расположено четное число дней, - тогда от одного дня до другого нельзя «добраться по цепочке» … вчера – завтра – послевчера - …. Сразу видно, что из ответов b  и d верным может быть только один, ведь для них промежутки между указанными днями отличаются ровно на дин день. Но для вчерашнего дня позавчера – это вчера, а сегодня для него – завтра. Ключевая фраза задачи верна каждый день, значит, она была верна и вчера, следовательно, сегодня лучше, чем позавчера. А вот завтрашний день может оказаться хуже и сегодняшнего и позавчерашнего.

3. с) 9.. Исходя из неравенства сторон треугольника: Сумма двух других сторон больше третьей стороны

4. e) k >8

4. Ответ: 0,375. 

Решение:

 Какие возможны исходы трех бросаний монеты?
1) Решка, решка, решка.
2) Решка, решка, орел.
3) Решка, орел, решка.
4) Орел, решка, решка.
5) Решка, орел, орел.
6) Орел, решка, орел.
7) Орел, орел, решка.
8) Орел, орел, орел.

Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 5-го, 6-го или 7-го события.
Всего возможных исходов - 8.
Благоприятных иcходов - 3.
Отношение 3/8 = 0,375.

6: Алексей получил «5», Борис – «4», Василий – «3».

Рассмотрим три случая.

1 случай. Пусть учитель сказал верно Алексею. Значит, у Алексея – «4». Т.к.  Борису и Василию учитель назвал неверные отметки, то у Бориса – «4», а у Василия – «5». Получилось, что у двух учеников оказались одинаковые отметки, что противоречит условию задачи. Данный случай невозможен.

2 случай. Пусть учитель сказал верно Василию. Тогда у Василия отметка – не «5». Т.к. учитель сказал неверно об отметках Алексея и Бориса, то  у Алексея отметка не «4», а у Бориса – «4». Тогда у Алексея – «5», у Василия – «3».

3 случай. Пусть учитель сказал верно Борису. Тогда Борис получил не «4». Т.к. утверждения про отметки Алексея и Василия ложные, то у Алексея – не «4», у Василия – «5». Получается, что отметку «4» никто не получил. Этот случай тоже противоречит условию задачи.

7.   Ответ: одинаково

Решение: Пусть х рублей первоначальная цена молока.

В первом магазине цена уменьшилась на 40%, то есть составила 0,6х рублей. Во втором    магазине после первого понижения цена была 0,8х рублей, а после второго - 0,75(0,8х)=0,6х. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково.

Ответ без обоснования 1 балл.

Решена задача для частного случая -  2балла.

Составлено уравнение, но не решено –3балла

 Составлено уравнение, решено, но допущена вычислите6льная ошибка – 5 баллов

Полное решение 7 баллов

Литература:

1. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 5-8 класс. Часть 1/Под ред.Лысенко Ф.Ф. – Ростов – на –Дону: Легион;Легион – М,2010
2. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 6-9 класс. Часть 2/Под ред.Лысенко Ф.Ф. – Ростов – на –Дону: Легион;Легион – М,2010
3. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи – М.:Дрофа,2006
4. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы – М.: Айрис-пресс,2007
5. Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы– М.:Айрис-пресс,2006