Методическая разработка практического занятия для студента "Интегральное исчисление"
учебно-методический материал по теме

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 3

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Интегральное  исчисление

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская

Минусинск, 2013

Тема. Интегральное исчисление

Уважаемые студенты!

Неопределенный интеграл – одно из важнейших понятий математики, возник-шее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).

Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных за-дач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.

Цели занятия

Студент должен уметь:

• находить первообразные функции, неопределенный интеграл;
• применять метод непосредственного интегрирования и замены переменной.
• Вычислять определенный интеграл.
• Решать прикладные задачи с применением определенного интеграла.

Студент должен знать:

• определение понятия первообразной, неопределенного интеграла;
• свойства неопределенного интеграла;
• таблицу интегралов;
• методы интегрирования;
• область применения неопределенного интеграла.
• Понятие определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница.
• Свойства определенного интеграла.
• Геометрический смысл определенного интеграла.
• Области применения определенного интеграла.

Материал для повторения: лекция 6,7,8

Оснащение: таблица основных интегралов, дидактический материал.

Этапы самостоятельной работы:

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

ИНФОРМАЦИЯ:

Таблица основных интегралов (записать)(5 мин).

Вычисление площади плоской фигуры (записать)(5 мин).

        Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми ,  и отрезком  [a;b] оси Ox, вычисляется по формуле:

        Площадь фигуры,  ограниченной кривыми  и ,  прямыми и , находится по формуле:

Графики основных функций

          график – прямая.  

          график - парабола

       график – кубическая

  - показательная функция

        арифметический корень

             гипербола

             - формула Ньютона-Лейбница

Вычисление объемов тел (записать).

                                - объем тела вращения, образованного вращением графика функции f(x) 

                                     вокруг оси на отрезке [a; b].

Вычисление длины дуги кривой (записать).

                                         - длина дуги линии f(x) – на отрезке [a; b].

Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*),  обязательны для выполнения!

1. Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;
2. данный интеграл после применения свойств 4 и 5 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 4 и 5  приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

1. Найти интегралы, воспользовавшись основной таблицей интегралов и простейшими правилами интегрирования.  (таблица основных интегралов  см. информация )

Цель: Научиться находить интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение: основываясь на свойстве 4 и табличного интеграла 2. из таблицы имеем:

2. *
3. *
4. *
5. *
6. 
7. *
8. *
9. 
10. *
11. *
12. *
13. *
14. 
15. *
16. *
17. 

Решение: основываясь на свойстве 4 и интеграла 3. из таблицы интегралов имеем:

18. *
19. *
20. *;
21. *
22. *
23. *
24. *
25. 

Решение: Основываясь на 7. табличный интеграл имеем:

27. *
28. *
29. 
30. *
31. *
32. *
33. *
34. *
35. 

Решение: Основываясь на свойствах tg x и на интеграле3.  из таблицы, имеем:

37. *
38. *
39. *
40. *
41. 
42. *
43. 

2. Замена переменной.

Это наиболее часто используемый метод. Он применяется, когда подынтегральная функция является сложной функцией.

где  (-  непрерывная функция, имеющая непрерывную производную)

2. Вычислить интеграл методом замены переменной.

Цель: Научиться находить интеграл методом замены переменной.

Решение:        

2. * (подстановка ).
3. (подстановка ).
4. * (подстановка ).
5. .

3. Интегрирование по частям.

• формула интегрирования по частям.

 Этот метод применяется, когда подынтегральная функция содержит:

• какую-либо обратную функцию: ln x, arcsin x, arccos x, и т.д.
• произведение степенной функции на экспоненту () или тригонометрическую функцию:  и т.д.
• произведение экспоненты на тригонометрическую функцию.

3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям.

Цель: Научиться находить интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:

2. 
3. *
4. *
5. 

Решение:

6. *
7. *
8. 
9. *
10. *

4. Определенный интеграл.

4. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница (формула Н-Л см. информация ).

Цель: Научиться вычислять определенный интеграл, используя методы нахождения неопределенного  интеграла и  формулу Ньютона – Лейбница.

Решение: Используя методы непосредственного интегрирования и формулу Ньютона-Лейбница, имеем:

2. *
3. *
4. 
5. *
6. *
7. *
8. 
9. *
10. *;
11. 
12. *
13. *
14. 

5. Найти  площадь фигуры, ограниченной линиями  (формулы см. информация )

Цель: Научиться высчитывать площадь криволинейной трапеции, используя определенный интеграл.

1. .

Решение: Построим графики этих функций и вычислим площадь по формуле (1):

2. *
3. *
4. 
5. 

Решение: Построим графики этих функций и вычислим площадь по формуле (2):

6. *
7. *
8. 
9. *

(Замечание: координаты вершины параболы найти по формулам: ,  ).

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями (формула см. информация ).

Цель: Научиться высчитывать объемы тел вращения, используя определенный интеграл .

1)  *

Решение:  Построим графики данных функций и получим тело вращения.

7. Найти длину дуги окружности радиуса R (формула см. информация ).

Цель: Научиться высчитывать длину дуги кривой, используя определенный интеграл .

 – 10 мин.

Решение: Построим график функции и обозначим дугу, длину которой нужно найти:

8.   Найти длину четверти окружности с радиусом R = 2.

Домашнее задание:

1 вариант

1. Найти неопределенный интеграл:

2. Вычислить определенный интеграл:

3. Вычислить  площадь фигуры, ограниченной линиями:

2 вариант

1. Найти неопределенный интеграл:

2. Найти определенный интеграл:

1. ;
2. 

Проверочная работа.

Тема. Интегральное исчисление

1 вариант

1. Найти неопределенный  интеграл.

2. Вычислить определенный интеграл:

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

3 вариант

1. Найти неопределенный  интеграл.

2. Вычислить определенный интеграл:

5 вариант

1.   Найти неопределенный  интеграл.

2. Вычислить определенный интеграл:

2 вариант

1. Найти неопределенный интеграл.

2. Вычислить определенный интеграл.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

4 вариант

1. Найти неопределенный  интеграл.

1. 
2. 
3. .

2. Вычислить определенный интеграл.

6 вариант

1.   Найти неопределенный  интеграл.

1. 
2. 
3. .

2.  Вычислить определенный интеграл.

Тест

Тема. Интегральное исчисление

 1 вариант

1. Выражение  - это есть:

1. определенный интеграл;
2. неопределенный интеграл;
3. множество производных;
4. подынтегральная функция.

2. Интеграл  равен:

3. В интеграле   - это:

1. переменная интегрирования;
2. подынтегральное выражение;
3. первообразная функции;
4. подынтегральная функция.

4.  Если , то производная функции  равна:

1. 
2. С;
3. 
4. 

5. Найти неопределенный интеграл

1. 
2. ;
3. 
4. 

6. Вычислить  определенный интеграл

7. Производная   равна:

8. Вычислить определенный интеграл

1. 2;
2. 0;
3. 1;
4. 

9. Найти неопределенный интеграл

10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Тест

Тема. Интегральное исчисление

2 вариант.

1. Выражение  - это есть:

1. подынтегральная функция;
2. множество производных;
3. множество первообразных;
4. определенный интеграл.

2. Интеграл  равен:

3. В интеграле   - это:

1. подынтегральное выражение;
2. переменная интегрирования;
3. первообразная функции;
4. подынтегральная функция.

4. Если , то ее первообразная  равна:

5. Найти неопределенный интеграл

6. Вычислить определенный интеграл

1. 1;
2. –1;
3. 
4. 0.

7. Дифференциал  равен:

8. Найти неопределенный интеграл

9. Вычислить определенный интеграл

1. 2;
3. 0;
4. 5.

10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задания для самостоятельного решения:

1. Найти неопределенные интегралы:

5. .

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Найти  длину дуги кривой  от x = 0  до x = 1 ().

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой

4.  и прямой x = 2.

Контрольные вопросы:

1.  Дать определение первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Перечислить основные свойства неопределенного интеграла.
4. Назвать основные методы интегрирования.
5. - назвать основные компоненты.
6. Указать название и вид формулы для вычисления  определенного интеграла.
7. К вычислению каких величин применяется определенный интеграл?
8. Перечислить основные свойства определенного интеграла.
9. На чем основано  нахождение  неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.
10. В чем состоит суть метода замены переменной.
11. Как осуществляется интегрирование по частям?

ОТВЕТЫ:

1. 1)  2)  3)  4)  5)                   6)  7) 8)  9)   10)          11)  12)  13)  14)  15) 16)  17)  18)  19) 20) 21)                    22)  23)  24)  25)  26)     27)   28)  29)  30)  31)  32)  33)  34) 35)  36)  37)  38)  39) 40)  41) 42)                 43)
2. 1)  2)  3)  4)   5)
3. 1)  2)  3)                                               4)    5)   6)   7)           8)   9)   10)
4. 1)  2)  3)  4) 5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13) 14)
5. 1)  9, 2) 6, 3)  4)  5)   6)  7)  8)  9)
6. 1)  2) .
7. .
8. .