"Приложения определённого интеграла". Исследовательский проект учеников 11 класса.

Слайд 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Гимназия № 19 им. Н.З.Поповичевой Приложение определённого интеграла Проект выполнили: Котиков Александр Сафонова Софья Шумская Анастасия Щедрин Алексей Руководитель: Павлюк Ирина Владиславовна

Слайд 2

Содержание: 1. Типология проекта; 2. Поднятая проблема; 3. Цель проекта; 4. Методические задачи проекта; 5. Историческая справка; 6. Общие понятия приложения определённого интеграла; 7. Применение приложения определенного интеграла для решения задач; 9. Заключение; 10.Список использованной литературы.

Слайд 3

1. Типология проекта: практико-ориентированный, интегрированный. 2. Проблема: дидактика заданий приложения определённого интеграла. 3. Цель проекта: составление систематизированного сборника задач для работы с приложением определённого интеграла. 4. Методические задачи проекта: а) введение общих понятий приложения определённого интеграла; б) рассмотрение исторической справки интеграла; в) систематизация задач по основным учебным дисциплинам: геометрия, физика, биология.

Слайд 4

Введение. Интеграл — одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным, а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. д. Данный символ введён Лейбницем в 1675 году. Само слово интеграл придумал Бернулли в 1690 году. В 1696 году появилось название новой ветви математики — интегральное исчисление. Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввёл Лагранж в 1797 году. В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределённым интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определённым интегралом, обозначение которого ввёл Фурье, но пределы интегрирования указывал уже Эйлер.

Слайд 5

Историческая справка. Возникновение задач интегрально исчисления связано с нахождение площадей и объёмов. Некоторые задачи были решены математиками Древней Греции. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Труды Архимеды стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления .Немного позже применялся метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. . Так, П.Ферма уже в 1629 году решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.Кеплер опирался на идею приближенного интегрирования. И.Барроу подошёл к пониманию связи интегрирования и дифференцирования.

Слайд 6

Однако исчисления ещё не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло ещё научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления. Но главное было уже сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский, В.Я.Буняковский, П.Л.Чебышев. Строгое изложение теории интегралов появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, Б.Римана, Г.Дарбу.

Слайд 7

Общие понятия приложения определённого интеграла

Слайд 8

Дифференцирование — процесс нахождения производной по заданной функции Интегрирование — процесс нахождения функции по заданной производной Первообразная функция для функции F(x) — функция, производная которой равна данной функции. Всё множество первообразных функций называется определённым интегралом и обозначается ∫f(x)dx = F(x) + С, где f(x)dx — подынтегральное выражение, а f(x) — подынтегральная функция

Слайд 9

Формула Ньютона-Лейбница Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Слайд 10

Геометрия

Слайд 18

Теорема Лагранжа .

Слайд 31

Физика

Слайд 32

1.Вычисление работы переменной силы.

Слайд 37

2.Давление жидкости.

Слайд 42

БИОЛОГИЯ

Слайд 47

Сборник задач (геометрия) № 1 Вычислить объем пирамиды, площадь основания которой равна S, а высота H № 2 Вычислить объем шарового слоя, отсеченного от шара x^2+y^2+z^2=9 плоскостями x=1 и x=2. № 3 Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x2 и x = y2. № 4 Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0. № 5 Найти длину дуги кривой l. y=x24−lnx2,1≤x≤2. № 6 Найти длину дуги кривой. ρ=2φ,0≤φ≤1.

Слайд 48

№ 7 Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: x=3(1−cost)cost,y=3(1−cost)sint,0≤t≤π. № 8 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Построить чертеж. № 9 Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси OX. № 10

Слайд 49

№ 11 № 12 № 13 № 14

Слайд 50

№ 15 № 16 № 17 № 18

Слайд 51

Сборник задач по физике 1. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 5Н. 2. Скорость движения тела задано уравнением v(t)=1+6t2 (м / с). Найдите расстояние, которое преодолело тело: за первые 10 с. за третью секунду. 3. Сила 4Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу нужно исполнить, чтобы растянуть пружину на 8 см? 4. Линейная плотность неоднородного стержня меняется по закону p(l)=32l+2(кг/м). Найдите массу стержня, если его длин на равна 25 см. 5. Тело массой 2 кг движется прямолинейно под действием силы F(t)=12t-8(Н). Найдите закон его движения, если в момент времени t=3с скорость тела равна 10м/с, а координата 21м.

Слайд 52

6. Вычислите работу, которую необходимо выполнить, чтобы откачать воду из цилиндрической цистерны, радиус которой равен R, а высота – Н. 7. Скорость движения тела задано уравнением v(t)=2t-3(м/с). Найдите расстояние, которое преодолело тело за первые 5с. 8. Линейная плотность неоднородного стержня изменяется по закону р(l)=8l+1(кг/м). Найдите массу стержня, если его длина равна 50см. 9. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) (м/с). Вычислите путь, который пройдет тело за промежуток времени от t=t1 до t=t2, если: 1) v(t)=3t2+1, t1=0, t2=4; 2) v(t)=2t2+t, t1=1, t2=3. 10. Скорость движения тела в момент времени t(с) задано формулой v=15-3t (м/с). Какой путь преодолеет тело от начала движения до полной остановки?

Слайд 53

11. Какую работу нужно выполнить для сжатия пружины на 4 см, если известно, что сила 2Н сжимает эту пружину на 1см? 12. Вычислите величину заряда , переносимого через поперечное сечение проводника за 20с , если сила тока изменяется по законом I(t)=2t+1(А). 13. Скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону v(t)=t+3t^2. (Время t измеряется в секундах, v – в метрах в секунду). Найдите зависимость изменения координаты точки, если в момент t = 0: 1) точка находилась в начале координат; 2) координата точки равна 1. 14. Зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно, выражается формулой v = cоs πt. (v – скорость в метрах в секунду, t – время в секундах). Найдите: 1) координату точки в момент времени t = 1,5, если при t = 2 она равна 2; 2) координату точки при t = 3,5, если в момент t = 1 она равнялась 1.

Слайд 54

15. Имеется неоднородный стержень длины l. Какова масса куска стержня длины x, считая от начала, если линейная плотность ρ стержня выражается законом: 1) ρ (x) = 3x – sin 2x, x є [0; ℓ]; 2) ρ (x) = 2x + cos 3x, x є [0; ℓ]? 16. Камень подброшен вертикально вверх с крыши здания высотой 20 м. Какова начальная скорость камня, если через 1 с он находился на высоте 30 м? 17. Камень подброшен вертикально вверх с крыши здания с начальной скоростью v0 = 15 м/с. Какова высота здания, если через 2 с после начала полета камень находился на высоте 30 м? 18. Найти давление, оказываемое газом хлор на стенки резервуара массой 2 кг при t°= 25°С .

Слайд 55

19. Тело движется неравномерно по закону найдите ее перемещения за первые 20 секунд. 20. Вычислите электрический заряд, переносимый за интервал времени от 0 до 50 секунд, проходящий через поперечное сечение проводника, если сила тока меняется по формуле:. i(t) = t^2 — t + 1 21. Сила упругости F пружины, растянутой на 11 = 0,05 м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 12 =0,1 м? 22. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м3), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.

Слайд 56

23. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v = 9t 2 -2t-8 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 3 секундs от начала движения. 24. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v 1 =(2t 2 +4t)м/с, м/с, второе – со скоростью v 2 =(3t+2)м/с, м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с? 25. Силу упругости F пружины, растянутой 1 1 =0,02 м, равна 2H. Какую работу надо провести, чтобы растянуть пружину на 1 2 =0,05м? 26. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 нужна сила 10 Н.

Слайд 57

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определённого интеграла для их разрешимости. Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления. В процессе выполнения проекта нами были рассмотрены примеры практических задач в области геометрии, физики и биологии. Более того, определённый интеграл используется для изучения самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Определенный интеграл — фундамент для изучения математики. Дальнейшая наша работа над проблемными вопросами планируется в направлении рассмотрения методики и линий изучения определенного интеграла в рамках школьных дисциплин.

Слайд 58

С.М.Никольский. Курс математического анализа А.Г.Мордкович. А.С.Солодовников. Математический анализ. Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике Г.Н.Бергман. Сборник задач по курсу математического анализа М.И.Ббашмаков. Алгебра и начало анализа Н.Я.Виленкин. Алгебра и математический анализ Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справ.пособие к решению задач. Давыдов Н. А. Сборник задач по математическому анализу. П. Н. Коровкин, В. Н. Никольский. Изд. 4-е, доп. М., «Просвещение», 1973 Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. пособие для студентов Зорич В. А. Математический анализ. Кудрявцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.