Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

«РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

МНОГОУГОЛЬНИКОВ»

Авторы: ученики 11 «И» класса

Дубица Ольга Сергеевна

                                                                 Кондрашкина Алина Андреевна

Руководитель: учитель математики

Новолодская Лариса Владимировна

г. Когалым, 2017

СОДЕРЖАНИЕ:

Вступление …………………………………………………………………..3

Историческая справка……………………………………………………...5

Великие математики о вычислении площадей………………………….6

Георг Пик и его теорема……………………………………………………7

Способы вычисления площадей многоугольников…………………….8

Заключение …………………………………………………………………12

Литература ………………………………………………………………….13

Приложение …………………………………………………………………14

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, -

это быть точным, второе –

быть ясным и, насколько можно, простым.
                                                          Лазар Карно

Вступление

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью. Так при изучении  темы «Площади многоугольников» встаёт вопрос:  есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике геометрии. Есть ли другие способы вычисления площадей многоугольников? Можно ли вместо многочисленных формул для  вычисления площадей различных многоугольников использовать одну универсальную формулу? Особенно остро этот вопрос встал в период подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике. В контрольно- измерительных материалах ЕГЭ по математике присутствуют задания на вычисление площадей многоугольников. Мы провели опрос у старшеклассников, и из 25 учеников у 18 задание на нахождение площадей многоугольников вызывало затруднения, поэтому мы решили исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Мы изучили литературу, Интернет-ресурсы  по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: задачи  на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.    

 Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика.

             Для достижения поставленной цели необходимо  решение следующих задач :

1. Изучить  литературу  по исследуемой теме.
2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
4. Расширить кругозор, изучив дополнительный материал по истории вычисления площадей.
5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна             площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

Актуальность: Задачи на нахождение площадей решетчатых многоугольников часто встречаются на ЕГЭ по математике.

ИСТОРИЧЕСКАЯ  СПРАВКА

В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным  илом, и вычислять их площади. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность  невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции  и других многоугольников.   Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.  Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади четырехугольника  умножались  полусуммы  противоположных сторон.

ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ

          Тема нахождения площадей многоугольников всегда волновала умы многих великих математиков. В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид  сравнивал площади разных фигур между собой.  Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников.  Имя Герона  навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a, b, c:

    где  p = .

Великому Архимеду принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания.                                                                                        

Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Не остался в стороне и всем известный Пифагор. С помощью его знаменитой теоремы доказаны и выведены многие формулы для вычисления некоторых многоугольников.

ГЕОРГ ПИК И ЕГО ТЕОРЕМА

            Настоящая  жемчужина  нашего исследования задач на нахождение площадей – это формула  Пика. Сто лет назад немецкий математик Георг Пик открыл и доказал замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. У формулы Пика есть связь со знаменитой формулой Эйлера, связывающей количества вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника.      

S = B + Г/2 – 1

Георг Алекса́ндр Пик  (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье (Приложение 1).

Круг математических интересов  Пика был чрезвычайно широк. Им написаны  работы в области математического  анализа, дифференциальной  геометрии, в теории дифференциальных уравнений  и т. д., всего  более  50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.                                                                      

         Для начала рассмотрим, как можно вычислить площадь прямоугольника, применив теорему Пика.

         Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (Приложение 2).  Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна
S = В + + 4 · = В + - 1 . 

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 . Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки.

СПОСОБЫ  ВЫЧИСЛЕНИЯ  ПЛОЩАДЕЙ  МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

           Мы провели исследование с целью выявления и сравнения различных способов вычисления многоугольников.

Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги (Приложение 3).  Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах  и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.  Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!).

Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Если даны более простые многоугольники, например, треугольник, параллелограмм или трапеция, то достаточно применить известные в общеобразовательной программе формулы для вычисления площадей.

Итак, рассмотрим способы вычисления площади на самом простом примере многоугольника: на треугольнике (Приложение 4).

Задача: на клетчатой бумаге 1 см × 1 см изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

1 способ. «Считаем по клеточкам» (Приложение 5).

1.Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника. (10 )

2.Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток. (5 )

3. Сложим полученные количества полных клеток:  ( 10+5 = 15 )

Ответ:15

2 способ. «Формула площади фигуры» (Приложение 6).

1.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:

       Sтр=(а•h)/2, где а – основание треугольника, h – его высота, проведенная к этому основанию. а=6, h=5

Получаем

       Sтр=(6•5)/2=15

Ответ: 15

3 способ. «Сложение площадей фигур» (Приложение 7).

1.Разобьем данный треугольник на два прямоугольных треугольника, для этого проведем высоту.

2.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 : S1 = (5Х5)/2=12,5

3.Найдем площадь прямоугольного треугольника  S2: S2 = (5х1)/2=2,5

4.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:

       Sтр=S1+S2

       Sтр=12,5+2,5=15

Ответ: 15.

4 способ. «Вычитание площадей фигур» (Приложение 8).

1.Достроим до прямоугольника со сторонами 5 и 6.

2.Найдем площадь прямоугольника: Sпр=5Х6=30

3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 : S1 = (5Х5)/2=12,5

4.Найдем площадь прямоугольного треугольника  S2: S2 = (5х1)/2=2,5

5.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:

       Sтр=Sпр-(S1+S2)    Sтр=30-(12,5+2,5)= 15

Ответ: 15

          Но если треугольник будет иметь другое расположение, то основание и высоту в таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади (Приложение 9).

         Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника.

Sпрямоугольника = 6*5 = 30 см2, S1=  ½ *5*2 = 5 см2, S2 = ½ *4*2=4 см2., S3=½*6*3 = 9 см2                                                                                                            Тогда Sтреугольника  = Sпрямоугольника - S1 - S2 - S3 = 30 – 5 – 4 – 9 = 12 см2 

Все другие способы, рассмотренные здесь тоже достаточно трудоёмки.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. И вот тут на первый план выходит ещё один способ.

5 способ. «Формула Пика» (Приложение 10).

Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика: S=Г/2+В-1,

где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах),

В – количество узлов внутри треугольника.  Г = 12, В = 10,

Получаем S=12/2+10-1=15

Ответ: 15

Как видите, формула Пика очень удобна и проста в применении.

А теперь давайте попробуем вычислить площадь этого треугольника  с помощью  формулы Пика (Приложение 11).

 В = 10, Г = 6.

S = 10 + 6/2 – 1 = 12. Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае!
А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки,  то для него верна формула Пика (Приложение 12).

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Задача 1.  Найдите площадь прямоугольника АВСD  (Приложение 13).
Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 8, Г = 6
S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)
Ответ: 10 см².

Задача 2. Найдите площадь параллелограмма АВСD (Приложение 14).
Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)
Ответ: 8 см².

Задача 3. Найдите площадь треугольника АВС (Приложение 15).
Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)
Ответ: 7,5 см².

Задача 4. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (Приложение 16).

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)
Ответ: 7,5 см².

Согласитесь, рассмотренные задания аналогичны заданию В3 из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике. Теперь, зная  формулу Пика, мы можем вычислить площадь любого многоугольника, даже самой причудливой  формы, если он изображён на клетчатой бумаге.

                                         ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы  изучили  литературу  по исследуемой теме, проанализировали и систематизировали полученную информацию, познакомились со способами вычисления площадей  многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика.

Задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В ходе своей исследовательской работы мы нашли и изучили различные способы вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге, сопоставила их. Любой из этих способов применим для решения задач типа В3 ЕГЭ по математике. Но наиболее удобен, на наш взгляд, способ «Формула Пика», который имеет перед другими способами ряд преимуществ:

1. Для вычисления площади  многоугольника, нужно знать всего одну формулу:  S = В + - 1 .
2. Формула Пика очень проста для запоминания.
3. Формула Пика очень удобна и проста в применении.
4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой  формы.

Даже великие ученые говорили, что геометрия является могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Приложение 1                 Приложение 2                          Приложение 3                      

Приложение 4        Приложение 5                 Приложение 6

Приложение 7        Приложение 8                  Приложение 9

Приложение 10                           Приложение 12                      Приложение 13              

Приложение 14        Приложение 15        Приложение 16