Метод вспомогательной окружности

Слайд 1

«Метод вспомогательной окружности» МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ №82 Научное общество учащихся Работу выполнил: Юрченко Александр, ученик 9 «В» класса. Учитель: Шмонина Ольга Валерьевна

Слайд 2

Цель исследования : познакомиться с понятием окружности, изучить особые свойства вспомогательной окружности Задачи исследования: Изучить метод вспомогательной окружности Рассмотреть особые свойства вспомогательной окружности, доказать их Показать применение свойств метода вспомогательной окружности при решении задач

Слайд 3

Окружность. Вспомогательная окружность. Метод вспомогательной окружности Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Причем в школьных общеобразовательных учебниках о нём практически ничего не говорится. Ниже изложена суть этого метода и признаки, при которых он применяется. Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.

Слайд 4

Признаки вспомогательной окружности Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём ∠ АВD= ∠ ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Слайд 5

признак №2 Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём ∠ АВD= ∠ ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности. Дано : 1. Точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD ; 2. ∠ ABD= ∠ ACD Доказать : точки А, В, С, D принадлежат одной окружности Доказательство : Предположим, что точка С не лежит на окружности, описанной около ΔABD . Тогда возможны два случая: 1) Точка С лежит вне окружности 2) Точка С лежит внутри окружности В С А D

Слайд 6

Точка C лежит вне данной окружности ∠ АСD= ∠ АКD- ∠ CDK . По теореме о вписанном угле ∠ ABD= ∠ AKD . Значит, ∠ ACD< ∠ ABD , получили противоречие с ∠ ABD= ∠ ACD

Слайд 7

Точка С лежит внутри окружности ∠ ACD= ∠ AKD+ ∠ C DK . Следовательно, ∠ ACD> ∠ ABD , получили противоречие с ∠ ABD= ∠ ACD .

Слайд 8

Брахмагупта (598-668) Вклад в математику Работа: «Брахма-спхута-сиддханта» Определение нуля как результат вычитания из числа самого числа. Согласно ему: деление нуля на нуль есть нуль; деление положительного или отрицательного числа на нуль есть дробь с нулём в знаменателе; деление нуля на положительное или отрицательное число есть нуль. Предложил три метода умножения многозначных чисел в столбик, которые близки к тем, что используются в настоящее время, формулу вычисления площади четырёхугольника, вписанного в окружность. Тождество Брахмагупты утверждает, что произведение двух сумм двух квадратов само является суммой двух квадратов, причём двояким образом. Так же, используя вспомогательную окружность, решил «задачу Брахмагупты» и доказал теорему Брахмагупты.

Слайд 9

Задача Брахмагупты В любом треугольнике произведение двух смежных сторон равно удвоенному произведению радиуса описанной окружности на высоту, проведённую к третьей стороне. Дано: треугольник ABC , h -высота, проведённая к основанию , R -радиус, описанной около треугольника окружности. Доказать: b  c=h  2R . b b c c

Слайд 10

Треугольник ABC – вписанный АА 1 - диаметр соединим точки С и А 1 . b b c c Доказательство

Слайд 11

Формула Брахмагупты Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон a , b , c , d и полупериметр , то его площадь S выражается формулой: Доказательство: ABCD - вписанный, следовательно ∠ DAB = 180  -∠ DCB , значит sinA= sinC : По теореме косинусов для стороны DB Δ ADB и Δ BDC получаем: a 2 + d 2 -2 adcosA = c 2 + b 2 -2 cbcosC cosC = - cosA , преобразовав получаем: 2 cosA ( ad + bc )= a 2 + d 2 - c 2 - b 2 . Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

Слайд 12

Применим формулу разности квадратов: : Так как полупериметр равен: , то Проведя преобразования и выделив квадратный корень получаем: .

Слайд 13

Свойство из формулы Брахмагупты Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами ABCD описана окружность. Доказать, что отношение длин его диагоналей выражается как . ABCD - четырёхугольник , AB = a , BC = b , CD = c и AC = d . S ABCD = S ABD + S BCD ; Тогда , Следовательно, , где R - радиус окружности. После преобразований получим: .

Слайд 14

Теорема Брахмагупты Во вписанном четырёхугольнике диагонали пересекаются под прямым углом в точке М. Две пары антимедиатрис проходят через эту же точку. Доказать, что AF = FD . Дано: АВС D -четырехугольник, вписанный в окр .(О, r ) AC , BD – диагонали, AC ┴ BD ; EF ┴ BC; M  EF; AC  BD=M Доказать: AF = FD

Слайд 15

Доказательство: 1)∠ DMF =∠ BME =∠ MC В= ∠ ACB =∠ ADB =∠ FDM (как вертикальные и опирающиеся на одну и ту же дугу), следовательно, ∆ FMD равнобедренный (по двум углам) 2) ∠ AMF =∠ EMC =∠ DAM =∠ FAM (как вертикальные и опирающиеся на одну и ту же дугу), следовательно, ∆ FMA равнобедренный (по двум углам) 3) AF = FM = FD Следовательно, AF = FD . Что и требовалось доказать.

Слайд 16

Теорема о квадрате биссектрисы Квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону, на которую падает. Дано : ΔАВС ; l – биссектриса ; ВС =a; СА =b; BD= a 1 ; DA= b 1 ; ∠ BCD= ∠ DCA . Доказать: l 2 = ab - a 1 b 1

Слайд 17

Доказательство: 1. Δ ABC - вписанный 2. l  окр .( O;r) = k 3. Соединим точки B и K . 4. Δ C В K ~ Δ С DA 5. 6. Значит l 2 = ab - a 1 b 1 ( lx = a 1 b 1 – по теореме об отрезках пересекающихся хорд). l 2 = ab - a 1 b 1

Слайд 18

Задача №1 В остроугольном треугольнике проведены высоты AP , BQ и CR . Доказать, что ∠ ABH = ∠ APR . Решение: Н – точка пересечения высот треугольника. Так как ∠ A Р B и ∠ С R В прямые, то около четырехугольника ВРН R можно описать окружность, ВН - диаметр. ∠ ABH = ∠ APR . В случае, если ∠ В треугольника АВС тупой, равенство ∠ ABQ = ∠ APR не сохраняется. A B C Q R P H

Слайд 19

Задача № 3 Высота и медиана вписанного треугольника, проведенные из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный. ABC - вписанный. СМ  окр .( O;r)= D . Рассмотрим треугольники ACH и BCD . ∠ AC Н= ∠ BCD . ∠ A = ∠ D Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Значит ∠ A Н C = ∠ СBD=90° Центр окружности лежит на диаметре CD и на перпендикуляре m к стороне АВ в ее середине М . CD и m имеют только одну точку М- центр окружности. АВ – диаметр окружности и ∠ АСВ=90° , значит треугольник АВС прямоугольный. А В С Н М D

Слайд 20

Задача №4 На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты АСА 1 А 2 и ВСВ 1 В 2 . Доказать, что прямые АВ 1, А 1 В и А 2 В 2 пересекаются в точке С 1 . Квадраты АСА 1 А 2 и ВСВ 1 В 2 -вписанные Окр.1( O;r)  Окр. 2 ( O;r)= С ; С 1 . ∠ А 2 С 1 С= ∠ СС 1 В 2 =90° , как вписанные и опирающиеся на полуокружность. Их сумма равна 180°, т.е. луч С 1 А 2 и С 1 В 2 - одна прямая. ∠ А 1 С 1 С= ∠ СС 1 В 1 = ∠ В 2 С 1 В= ∠ АС 1 А 2 = 45°, как вписанные в окружность и опирающиеся на дуги, длины которых равны четвертям длин окружностей. Значит точка С 1 лежит на прямых АВ 1 , А 1 В и А 2 В 2. А 1 А 2 А С С 1 В В 2 В 1

Слайд 21

Задача №5 Через некоторую точку плоскости проведены три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 60. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника. Прямые пересекаются в точке О М –точка плоскости, А,В,С – основания перпендикуляров. Точки О, М, А, В ,С лежат на одной окружности с диаметром ОМ . ∠ АВС = ∠ АОС =∠ ACB =∠ BAC =∠ BOA =∠ BOK =60 °. ΔАВС – равносторонний О М A B C K

Слайд 22

Задача №9 В треугольнике ABC с острым углом при вершине А проведены биссектриса АЕ и высота ВН. Известно, что  AEB = 45°. Найдите угол  ЕНС. B ’ – точка симметричная точке В относительно биссектрисы АЕ. B ’ лежит на стороне АС между точками С и Н  ВЕВ’=2  AEB =90  . Четырёхугольник ВЕВ’Н- вписанный :  ВНЕ=  ЕНВ’ =45  . А В С Н Е B’

Слайд 23

Заключение В работе были рассмотрены следующие темы: окружность, вспомогательная окружность, метод вспомогательной окружности, признаки вспомогательной окружности, задача Брахмагупта , теорема о квадрате биссектрисы. В работе было показано применение изученных признаков вспомогательной окружности. Придумана и доказана задача, связанная с изучаемой темой Цель исследования достигнута. Поставленные задачи выполнены.