"Парадоксы в математике"

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Цели проекта Фантазия и математика Понятие парадокса Понятие софизма Примеры парадоксов и софизмов

Слайд 3

Цели и задачи Ознакомиться с понятиями парадокса и софизма. Привести примеры парадоксов и софизмов. Найти математические обманы . Показать, что математика не так скучна, как кажется.

Слайд 4

Фантазия и математика Леонардо да Винчи говорил: «Никакое человеческое исследование не может быть названо истиной, если оно не проходит через математические доказательства». В своей работе я попытаюсь доказать, что математика - это не сухая наука. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии. Напрасно думают, что фантазия нужна только поэту. Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, потому что любое математическое открытие невозможно было бы без фантазии. А один из великих ученых говорил совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе.

Слайд 5

Понятие парадокса Парадокс в широком смысле — это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется "безусловно правильным". Само греческое слово, от которого произведено наше слово "парадокс", буквально означало "необычное, странное, невероятное, замечательное". Парадокс в более узком и более современном значении — это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.

Слайд 6

Понятие софизма Софизмом называется такое суждение, в котором неправильные (ложные) предпосылки выдаются за истинные, в результате чего мы приходим к нелепым умозаключениям. В математическом софизме заведомо допускается замаскированная ошибка, которая в процессе вывода приводит к абсурдному результату. Разобрать софизм это значит найти ошибку. Первая работа в России, посвященная математическим софизмам, вышла в 1884 году; автором ее был Василий Иванович Обреимов . Разберем один математический софизм.

Слайд 7

И не удивляйтесь 1) 4р. = 40000к. Возьмем верное равенство: 2р. = 200к. Возведем обе его части в квадрат, получим: 4р. = 40000к. 2) 5коп. = 50коп. 5к . = = р. = р. = 50к. Объяснение: Математические операции с деньгами не имеют смысла.

Слайд 8

Задача о разрезанном треугольнике Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка . Секрет в том, что синий и красный треугольники имеют неравные углы, что визуально незаметно из-за слишком малой разницы. Поэтому на первом рисунке создаётся излом внутрь, а на втором — наружу . Это легко проверить наложением и вычислениями . Площадь каждого треугольника 13×5 не равна площади частей, из которых они составлены. «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией.

Слайд 9

Действительно, общая площадь четырёх частей (жёлтой, красной, синей и зелёной) равна 32 кв. ед., а площадь треугольника 13×5 равна 32,5 кв. ед. Отношение длин катетов синего треугольника 5:2, а красного — 8:3, поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы. Гипотенузы в обоих треугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями. Если наложить треугольники 13×5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. Эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью-Йорка Пол Карри в 1953. Однако принцип, заложенный в неё, был известен ещё в 1860-е годы.

Слайд 10

Исчезающий квадрат В другой похожей головоломке, большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится. При следующем развороте маленький квадрат появится снова. Этот парадокс объясняется тем, что сторона (и площадь) нового большого квадрата немного отличается от стороны (и площади) того, который был в начале. Таким образом, можно заключить, что ошибка, замаскированная в условии, состоит в том, что центры вращения составляющих 4-угольников находятся не там, где это представляется при визуальном осмотре картинки (не в точках пересе - чения их диагоналей). Они находятся в вершинах квадрата.

Слайд 11

2 × 2=5 Пусть имеем два числа: а=4, b =5. Обозначим их полусумму через d ; d =(а+ b) /2; а+ b=2d , так что а=2 d – b , 2d – a=b . Умножим последние два равенства почленно ; тогда 2 da – a 2 =2db – b 2 . Умножим обе части равенства на – 1. Получим: а 2 – 2 da=b 2 – 2db . Прибавим к обеим частям по d 2 , тогда получим: а 2 – 2 da + d 2 =b 2 – 2db + d 2 , то есть ( а – d ) 2 =( b – d) 2 ; следовательно, а – d = b – d ; отсюда а = b ; но а=4; b =5; значит, 4=5, то есть 2 × 2=5, ч.т.д . Объяснение : О шибка сделана в момент извлечения квадратного корня; равенство степеней не всегда говорит о равенстве их оснований.

Слайд 12

Ноль равен бесконечности Для доказательства рассмотрим сумму бесконечного числа равных слагаемых и обозначим её х: х= а+а+а+а +... . (1) Но сумма ряда (1) будет также равна х, если мы начнем счёт со второго слагаемого. Тогда можно записать иначе: x = а+х (2) или: х-х=а , (3) т.е.: а=0. Вставим найденное для а значение в выражение (1): x =0+0+0 +... . ( 5 ) Из выражения (1) видим, что значение х, с одной стороны, должно равняться бесконечности, а с другой — из выражения (5) — x =0 . Следовательно: 0 =∞

Слайд 13

Объяснение Из равенства (1) имеем х=∞ . Следовательно, в равенстве (3) будем иметь: ∞- ∞=а …(1). Но ∞-∞≠0 , поэтому а величина неопределенная

Слайд 14

Площадь прямоугольника равна нулю Отметим на окружности тригонометрического круга точку М, представляющую собой конец некоторой дуги первой четверти α = АМ . Проведём хорды MM 1 ┴ АА 1 , MQ ┴ B B 1 M 1 Q 1 ┴ BB 1 где АА 1 и ВВ 1 - пара взаимно перпендикулярных диаметров тригонометрического круга, и получим прямоугольник MQQ 1 M 1 . Найдём его площадь. Сторона M 1 Q 1 равна отрезку ОР, который является линией косинуса для угла α , причём OP=r cos α , где r — радиус тригонометрического круга. Сторона MM 1 прямоугольника представляет собой сумму двух отрезков РМ и PM 1 . Первый из этих отрезков — линия синуса для угла α , то есть РМ = r sin α , второй же является линией синуса для угла (- α ), а значит, PM= rsin ( - α ) = - rsin α . Далее получаем: М 1 М = РМ+РМ 1 ; M 1 M = r sin α + ( - r sin α )= r(sin α - sin α )= 0; S=OP x M 1 M=r cos α • 0=0.

Слайд 15

Объяснение Чтобы получить высоту прямоугольника со знаком плюс, мы должны двигаться от точки М 1 к точке М в одном и том же направ лении, то есть вверх, поэтому формула М 1 М=РМ+РМ 1 неверна. Правильной же будет формула М 1 М=М 1 Р+РМ , или М 1 М=РМ+М 1 Р . Заметив, что М 1 Р = - РМ 1 = - ( -r sin α ) = +r sin α , получим: M 1 M = r sin α + r sin α =2r sin α . Именно так и должно быть. Разъяснить этот софизм можно было бы гораздо проще, указав, что при вычислении площади прямоугольника мы должны брать лишь его размеры, не принимая во внимание знаков.

Слайд 16

Длина всякой окружности равна её диаметру

Слайд 17

Объяснение

Слайд 18

Неравные числа равны Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а- b = с . Умножив обе части этого равенства на ( а-b ) , получим (a-b) 2 = c(a-b) , a раскрыв скобки, придем к равенству a 2 -2ab+b 2 = ac - bc , из которого следует равенство a 2 -аb-ас = аb -b 2 -bc . Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим а(а-b-с) = b(а-b-с). Разделив последнее равенство на (а- b -с) , получаем, что a=b , значит, два неравных между собой произвольных числа равны . Объяснение: Т.к. у a-b-c =0, то сокращая на этот многочлен, получаем сокращение на 0, что нельзя делать по законам математики.

Слайд 19

Литература Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике пособие для учителей/ М.Б.Балк . – М.: Учпедгиз , 1956. Гарднер М. Математические досуги. – М.:Оникс , 1995. Очевидно – невероятно.//Математический клуб «Кенгуру», Вокруг квадратного трехчлена, СПб. – 2002. Подашов А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. – М.: Учпедгиз , 1962 . Михеева Т.Н. Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия. Пособие для учащихся и учителей средней школы. М: «Грамотей», 2007.

Слайд 20

Заключение Я рассмотрел различные математические парадоксы и как сказал Ломоносов М.В.: «Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным». Я думаю, что после всего рассмотренного никто не скажет, что математика – это сухая, неинтересная наука и ,чтобы все это сочинить и доказать, любой математик должен быть в душе поэтом.